2026年中考决胜最后一卷•数学【贵州专用】

**基本信息** 以神舟十三号返回舱视图、AI软件选择等科技热点及《孙子算经》文化素材为情境，覆盖初中数学核心知识，梯度设计合理，注重实践探究与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|实数、视图、数轴、三角形等|结合神舟十三号返回舱考俯视图（空间观念），《孙子算经》问题考方程建模（模型意识）| |填空题|4/16|计算、概率、函数交点|AI软件选择考概率（数据意识），龙卷风影响范围考距离比较（几何直观）| |解答题|9/98|统计、几何证明、函数应用等|过山车滑道考抛物线表达式（抽象能力），测量距离课题考解三角形（应用意识），动态几何探究考推理能力（推理意识）|

2026年中考决胜最后一卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，最小的数是（     ） A． B． C．0 D． 2．如图，北京时间2022年4月16日9时56分，“太空出差三人组”翟志刚、王亚平、叶光富乘坐神舟十三号返回舱安全回家．若将这个返回舱近似的看成一个规则的几何体，则其俯视图是（    ） A．B．C． D． 3．如图，数轴上点表示的数是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 7．下列哪个值是不等式的一个解（    ） A． B．0 C． D．2 8．方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（    ） A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≤0 D．b2-4ac≥0 9．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（   ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 10．《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，在中，，，根据作图痕迹，可知（   ） A．70° B．60° C．50° D．45° 12．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（    ） A． B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是 C．线段的长为3 D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13．计算：______． 14．龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 15．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________． 16．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 3、 解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算： ①；②；③；④；⑤． （2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．    B．    C．   D．    E． 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 19．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若且，，求四边形的面积． 20．“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵． (1)八（1）班男生、女生各有多少人？ (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？ 21．长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 22．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1． 【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长． 23．如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段是一段直线滑道，且长为米，点到地面距离米，点到地面距离米，滑道可以看作一段抛物线，最高点为． (1)求滑道部分抛物线的函数表达式； (2)当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点的水平距离是多少？ (3)现在需要对滑道部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架，，．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金． 25．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点． (1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度． (2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页· 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考决胜最后一卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，最小的数是（     ） A． B． C．0 D． 2．如图，北京时间2022年4月16日9时56分，“太空出差三人组”翟志刚、王亚平、叶光富乘坐神舟十三号返回舱安全回家．若将这个返回舱近似的看成一个规则的几何体，则其俯视图是（    ） A．B．C． D． 3．如图，数轴上点表示的数是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 7．下列哪个值是不等式的一个解（    ） A． B．0 C． D．2 8．方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（    ） A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≤0 D．b2-4ac≥0 9．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（   ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 10．《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，在中，，，根据作图痕迹，可知（   ） A．70° B．60° C．50° D．45° 12．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（    ） A． B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是 C．线段的长为3 D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13．计算：______． 14．龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 15．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________． 16．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 3、 解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算： ①；②；③；④；⑤． （2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．    B．    C．   D．    E． 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 19．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若且，，求四边形的面积． 20．“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵． (1)八（1）班男生、女生各有多少人？ (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？ 21．长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 22．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1． 【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长． 23．如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段是一段直线滑道，且长为米，点到地面距离米，点到地面距离米，滑道可以看作一段抛物线，最高点为． (1)求滑道部分抛物线的函数表达式； (2)当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点的水平距离是多少？ (3)现在需要对滑道部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架，，．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金． 25．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点． (1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度． (2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页· 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考决胜最后一卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，最小的数是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵正数大于0，0大于负数， ∴最小的数是． 故选：A． 2．如图，北京时间2022年4月16日9时56分，“太空出差三人组”翟志刚、王亚平、叶光富乘坐神舟十三号返回舱安全回家．若将这个返回舱近似的看成一个规则的几何体，则其俯视图是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】俯视图是从上往下看几何体得到的图形，主视图是从前往后看几何体得到的图形，左视图是从左往右看几何体得到的图形，用俯视图的定义逐个判断． 【详解】 俯视图是从上往下看几何体得到的图形，返回舱近似圆台，俯视图应该是的形状． 故选A． 【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解决此类问题的关键． 3．如图，数轴上点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义判断数轴上实数的大小． 【详解】实数与数轴上的点是一一对应的，点在的位置，故选C． 【点睛】本题考查数轴的知识，要理解实数与数轴上的点是一一对应的． 4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 5．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案． 【详解】解：A、，含有因式，本选项符合题意； B、无法分解，本选项不符合题意； C、，不含有因式，本选项不符合题意； D、，不含有因式，本选项不符合题意； 故选：A． 6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8． 故选D． 7．下列哪个值是不等式的一个解（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查求一元一次不等式的解，求出不等式的解集，进行判断即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴2是不等式的一个解； 故选：D． 8．方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（    ） A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≤0 D．b2-4ac≥0 【答案】D 【分析】直接根据判别式的意义判断. 【详解】解:根据题意得△=≥0. 所以D选项是正确的. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当<0,方程没有实数根. 9．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（   ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 故选：C． 10．《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出两种乘车方式中人数的等量关系，并将其用含未知数的式子表示出来．设共有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，列方程即可． 【详解】解：设共有辆车， 依题意，得：． 故选：B． 11．如图所示，在中，，，根据作图痕迹，可知（   ） A．70° B．60° C．50° D．45° 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边对等角，属于中考常考题型． 根据，得出，由作图痕迹可知：，得出，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图痕迹可知：， ， 故选：A． 12．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（    ） A． B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是 C．线段的长为3 D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值 【答案】A 【分析】表示出平移后的函数解析式，联立平移后的一次函数与反比例函数，根据判别式为零，求解m的值可判断A选项；根据求解出的一次函数解析式，令，求解交点坐标判断B选项；联立一次函数与反比例函数，求解点A、B的坐标，再根据两点间距离公式求解可判断C选项；根据两个函数的图象即可判断D选项． 【详解】解：一次函数向下平移m个单位后的解析式为， A选项，若反比例函数与只有一个交点， ∴，即， 则有，即， 解得或， ∵，则平移后直线需在第一象限与双曲线有一个交点， 且当时，一次函数为与第一象限的双曲线不相交，故舍； ∴取，故A选项正确； B选项，，一次函数为， 令时，，解得， 平移后的直线与x轴的交点的坐标是，故B选项错误； C选项，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B， ∴，即，解得或， 当时，；当时，； ∴点，点， 由两点间距离公式可得，， ∴线段的长为，故C选项错误； D选项，由图象可知，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故D选项错误 ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的加法计算，先通分，再根据整式的加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【答案】不会 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【详解】解：∵龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，， ∴小明不会受到龙卷风的影响． 故答案为：不会． 15．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查简单事件的概率计算. 根据概率公式计算即可. 【详解】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种， ∴小赵选择“豆包”的概率为. 16．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3、 解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(1)请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算： ①；②；③；④；⑤． 【答案】选①②③，．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握实数的性质． 任意选取个式子，列出算式进行计算即可． 【详解】解：选①②③，列出减法算式为 ．（答案不唯一） (2)下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 【答案】任务一：三，分式的分母去掉了；任务二：见解析 【分析】本题考查了异分母分式加减法运算，解题的关键是熟练　运算法则． 任务一：根据异分母分式减法运算法则逐步判断即可得出答案； 任务二：根据异分母分式减法运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了； 故答案为：三；分式的分母去掉了； 任务二：原式 ． 18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．    B．    C．   D．    E． 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 【答案】(1)60， (2)见详解 (3)增强大课间和课间活动，做到人人动起来 【分析】（1）利用“A组人数其所占百分比”，即可求得次调查的样本容量；利用“组所占百分比”，即可求得D组对应的圆心角的度数； （2）首先计算被抽取学生中C组人数，然后补画频数分布直方图即可； （3）结合题意作答即可． 【详解】（1）解：， 即本次调查的样本容量是60； ， ∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是； （2）解：被抽取学生中，C组人数为（人）， 故可补画频数分布直方图，如下图所示： （3）解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来． 19．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若且，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据矩形的性质和题意，可以证明和全等，即可得到，再根据，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质和勾股定理可以得到的值，然后即可计算出四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又 ， 四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知：四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， 四边形是矩形，，， ，， 设的长度为，则，， ， ， ， 解得， 即， ． 20．“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵． (1)八（1）班男生、女生各有多少人？ (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？ 【答案】(1)八（1）班有男生25人，女生20人 (2)最多可以购买1333棵甲种树苗 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设八（1）班有女生x人、男生y人，结合已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵，列式，再解方程，即可作答． （2）设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵，因为学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，购买树苗的经费不超过16000元，所以列式，解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设八（1）班有女生x人、男生y人， 依题意得 解得 ∴八（1）班有男生25人，女生20人 （2）解：设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵， 依题意得， 解得 ∵m为正整数， ∴m的最大值为1333， ∴最多可以购买1333棵甲种树苗． 21．长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1)段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为 (2)草莓一天内最适合生长的时间有15小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为． 把代入，得， ． 当时，， 解得，即， 段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为． （2）解：设直线的函数关系式为． 把代入， 得 解得， 直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， （小时）． 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时． 22．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1． 【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长． 【答案】（1），两点间的距离约米；（2）的长为米 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）过点作交于点，根据，求出，再根据三角形的内角和，求出，最后根据，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，则，得到，再把米，米，代入即可求解． 【详解】（1）过点作交于点， ∵， ∴， ∵（米）， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， 答：计算，两点间的距离约米； （2）∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米． 答：的长为米． 23．如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由圆周角定理即可得到答案； （2）连接，交于点，推出，得到，即可得到结论； （3）连接，推出，得到，求出，得到． 【详解】（1）解：， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：如图，连接，交于点. 平分. ， ， ， . . ， 是的直径. . 是的切线. ， ， . （3）解：连接. . . ， ∴. ， ， . ∴. ∴. 24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段是一段直线滑道，且长为米，点到地面距离米，点到地面距离米，滑道可以看作一段抛物线，最高点为． (1)求滑道部分抛物线的函数表达式； (2)当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点的水平距离是多少？ (3)现在需要对滑道部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架，，．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金． 【答案】(1)（） (2)米 (3)675000元 【分析】（1）过点作交于点，则四边形为矩形，由勾股定理求出，点的坐标为．再用待定系数法求解即可； （2）根据当小车距离轴的垂直距离是2.5时，由，所以小车只可能在滑道上，令，代入（1）所求的函数解析式求解即可． （3）令，代入（1）所求的函数解析式求解，得出点，设（），则点，则，，则所有支架的长度和，化简得，然后由二次函数最值求解即可． 【详解】（1）解：如解图，过点作交于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∴点的坐标为． ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的函数表达式为，代入点得， 解得， ∴滑道部分抛物线的函数表达式为（）； （2）解：当小车距离轴的垂直距离是2.5时， ∵， ∴小车只可能在滑道上， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴此时小车到出发点的水平距离为米； （3）解：由题意得，， 令，解得（舍去），，即点， 设（）， ∴点，则，， ∴所有支架的长度和，化简得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为9，此时造价最高为元， ∴为了预算充足，至少要申请675000元资金． 25．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点． (1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度． (2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值． 【答案】(1)；30°； (2)两个结论均成立；证明见解析； (3)GN的最小值为1. 【分析】（1）根据已知和旋转的性质可得均为等边三角形，求出AE，BE，EN，从而可求出以及直线与相交所成的锐角的度数； （2）成立，连接AM、AN，证明， ，再证明△MAN∽△BAE即可得出结论； （3）方法同（2）可求出∠NMC=45°，由勾股定理得，进一步得出得，再根据垂线段最短可得结论． 【详解】（1）∵AB=AC，， ∴是等边三角形， ∵点E是边的中点 ∴AE⊥BC ∴ ∴ ∴ 由旋转的性质可得：AE=AF， ∴是等边三角形 ∴∠AEF=60°， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴AE=2EN ∴ ∴ 故答案为：；30° （2）上述两个结论均成立； 连接AM、AN ∵AB=AC， ∴△ABC为等边三角形 ∵M是BC中点， ∴AM⊥BC，即∠BMA=90° 在直角△ABM中，∠B=60°， ∴∠BAM=30°，， 同理可得∠EAN=30°，， ∴∠MAN=∠BAE，， ∴△MAN∽△BAE， ∴，∠AMN=∠ABE=60°， ∴∠NMC=∠AMC-∠AMN=90°－60°=30°， 综合得：，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°; （3）如图， ∵ ， ∴ ， ∵M是BC的中点， ∴， ∵ ， ∴ ， 同（2）可得， ， ∴， ∴ ， 根据垂线段最短可知：当时，GN最小， 此时，是等腰直角三角形，GN=1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考决胜最后一卷 数学（答案版） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A B A D D D C B A A 二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。 13. 6 14.不会. 16.￥5 2 三、解答题本题共9小题，共98分，需要写出必要的推理过程或解答过程， 17.(10分) (1)【详解】解：选①②③，列出减法算式为 3-π°--3-Vg =1-3-3 =-5.(答案不唯一)(5分) (2)【详解】解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分 母去掉了； 故答案为：三；分式的分母去掉了： 10 E务二：原武x-5x+5x6 x+5 10 x+5x-5x+5川x-5 X-5 x+5x-5 、1 x+5 (10分) 18.(10分) 【详解】(1)解：12÷20%=60， 即本次调查的样本容量是60： 360×6=36°， 60 ∴.在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是36°；(4分) (2)解：被抽取学生中，C组人数为60-12-21-6-3=18（人）， 故可补画频数分布直方图，如下图所示： 被抽取学生每天体育锻炼的时间 频数分布直方图 频数（人） 21 21 18 18 15 12 12 9 6 6 3 3 OA20B40C60D80E100时间（分）(8分) (3)解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来.(10分) 19.(10分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.ADBC, '.∠AMO=∠CNO,∠MAO=∠NCO, .O为对角线AC的中点， .'.OA=OC, 在△AOM和△CON中， ∠AMO=∠CNO ∠MAO=ㄥNCO OA=OC .∴.△AOM≌△CONAAS, ∴.AM=CN, 又.'AM‖NC, ∴.四边形ANCM为平行四边形；(5分) (2)解：由(1)知：四边形ANCM为平行四边形， .∵MN⊥AC, .∴.平行四边形ANCM是菱形， ∴.AM=AN=NC, .四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2, ∴.AD=BC=4,AB=CD=2, 设NC的长度为x,则AN=x,BN=4-x, ∠B=90° ∴.AB+BN2=AN2, .2+(4-x2=x2 解得×-号 即NC Γ2' S=NC-AB-号×2=5.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：设八(1)班有女生x人、男生y人， x+y=45 依题意得3x+5y=185 X=20 解得y=25 ∴.八(1)班有男生25人，女生20人(5分) (2)解：设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗4000-m棵， 依题意得6m+34000-m≤16000， 解得m≤1333 m为正整数， ∴.m的最大值为1333， .最多可以购买1333棵甲种树苗.（10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：设CD段所对应的反比例函数关系式为y kk≠0. 把D24,10代入，得k=24×10=240, y=240 X 当y=20时，20=240 解得x=12,即a=12, CD段所对应的反比例函数关系式为y=240, 自变量x的取值范围为12≤x≤24.(5 分) (2)解：设直线AB的函数关系式为y=mx+n0≤x≤2. 把0,101,2,20代入， n=10, 得2m+n=20, m=5 解得n=10 .直线AB的函数关系式为y=5x+10, 当y=15时，15=5x+10,解得x=1. 当y=15时，15=240 ,解得x=16, X 16-1=15(小时). 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时.(10分) 22.(12分) 【详解】(1)过点A作AH⊥PB交PB于点H, ,∠PBA=64° ∴.sin64°= AH0.9, AB .AB=60(米)， .AH≈54（米）， :∠P=180°-∠PAB-∠PBA=37°， sin37=AL≈0.6 AP AP≈90（米）， 答：计算A,P两点间的距离约90米：(6分) H (2),∠=∠DAP,∠PDA=∠FDE, △一△DAP, AP=AD EF DE AD=15米，DE=10米，AP≈90米， 90=15 EF 10 .EF=60米， 答：EF的长为60米.(12分) 23(12分) 【详解】(1)解：AC=AC, .∴.∠ABC=∠ADC 故答案为：∠ABC=∠ADC;(答案不唯一)(3分) (2)证明：如图，连接OD,交BC于点F」 .AD平分∠BAC .∴.∠OAD=∠CAD .OA=OD, ∴.∠OAD=∠ODA, ∴.∠CAD=∠ODA: ∴.OD‖AC .∠ACB=∠OFB, ,AB是⊙O的直径 .∴∠ACB=∠OFB=90. ,DE是⊙O的切线， .∠ODE=90°， .∠OFB=∠ODE=90°， ∴.BC‖DE D (7分) (3)解：连接BD BC‖DE .∠ABC=∠E .∠ABC=∠ADC, sin∠ADC=sin∠ABC=sin∠E= ∴.∠ADC=∠ABC=∠E=30°， .∴.∠B0D=90°-30°=60°， .OD=3. ·DE=OD =3V3. tan∠E ∴S阴=SRAODE-S扇形OBD= =1x3x33-60πx3-95-3m.(n分) 3602 24.（12分) 【详解】(1)解：如解图，过点B作BQ⊥OA交OA于点Q, 珠 A B O------- 1- EFiD衣 则四边形OEBQ为矩形， ∴.OQ=BE=3,OE=BQ, ,OA=6, .AQ=6-3=3, 在Rt△ABQ中BQ=RAE-AQ=6 ∴.点B的坐标为6,3. ,抛物线B-C-D的顶点为C8,4, 设抛物线B-C-D的函数表达式为y=ax-8+4代入点B6,3得3=a6-8+4 解得a=-1 41 滑道B-C-D常分抛物线简证数表达式为y=寻X-8+4(6Sx≤12)：(4分) (2)解：当小车距离x轴的垂直距离是2.5时， 2.5<3, ∴.小车只可能在滑道B-C-D上， 25-X-8+4,解得：X=8+6,X=8-6(不合超邀，金去)， 此时小车到出发点A的水平距离为8+6米：(8分) (3)解：由题意得CF=4,F8,0, 令y=-寻x-8+4=0.解得X=4<合去)，X=2,即点D12,0 设Hd,0(8<d<12), 点pd,4d-8P+4别pG=d-8PH=-寻d-8f+4 3所有支架的长度1=d-8+d-8+4小+4化简得L=一d-10+9, 8<d12,寻<0. .当d=10时，L有最大值，最大值为9，此时造价最高为75000×9=675000元， ∴.为了预算充足，至少要申请675000元资金，(12分) 25.(12分) 【详解】(1)，AB=AC,∠BAC=60, ∴△ABC是等边三角形， :点E是BC边的中点 .∴AE⊥BC ∠BAE= ∠BAC=30 ∴.AB=2BE AE-AB-BE-3BE 由旋转的性质可得：AE=AF,∠EAF=60° :.△AEF是等边三角形 ∴.∠AEF=60°， ∴.∠NEC=30° ,∠BAE=30° ∴.∠EAC=30 ∴.AE=2EN ∴.3BE=2EN ..MN=EN_3 BE BE 2 3 故答案为：2：30（4分) (2)上述两个结论均成立： 连接AM、AN .AB=AC,∠BAC=60° ∴.△ABC为等边三角形 M是BC中点， ∴.AM⊥BC,即∠BMA=90° 在直角△ABM中，∠B=60°， .∠BAM=30°，sinB=AM_3 AB 2 同理可得∠EAN=30,sin AEF=AV_3 AE 2 AN AM 3 .∠MAN=∠BAE, AE AB 2 .∴.△MAN-△BAE, :w=3 BE 2 ∠AMN=∠ABE-=60°， .∴.∠NMC-∠AMC-∠AMNN=90°-60°=30°， 综合得： MN_3 BE=2,直线BE和N相交所成的锐角的度数为30： B (8分) (3)如图， .AB=AB=6,∠BAC=90°， BC=62, M是BC的中点， MC-BC-392. CG号AB=22, ..MG=MC-CG=2 同(2)可得，△ABE~△AMN, .∠AMN=∠B=45, .∠NMC=45°， 根据垂线段最短可知：当GN⊥MN时，GN最小， 此时，△GMN是等腰直角三角形，GN=1. w (12分)