平面直角坐标系中的平行四边形问题、平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形与坐标系结合及与全等三角形综合两大模块，通过典例变式构建代数几何融合与纯几何推理的双路径训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面直角坐标系中的平行四边形问题|3例3变式|坐标计算、动点存在性、平移与重叠面积|以坐标系为载体，融合平行四边形对边平行且相等性质，实现代数表示与几何特征的转化| |平行四边形的性质与全等三角形综合问题|3例3变式|性质证明、全等应用、折叠与动态几何|以平行四边形性质为基础，通过全等三角形判定推理，构建“性质-判定-应用”的逻辑链条|

平面直角坐标系中的平行四边形问题、平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 平面直角坐标系中的平行四边形问题、平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 平面直角坐标系中的平行四边形问题 平行四边形的性质与全等三角形综合问题 考点一 平面直角坐标系中的平行四边形问题 例1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)或， (3)或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点，的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）设点的坐标为．由点在直线上，求出或．再求出相应的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：，解得， 点坐标为； 故答案为：； （2）解：将代入直线得：， ， ， 将点代入直线得： ， 解得， 直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ， ， 要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ， 解得或， 当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； （3）解：设点的坐标为． ∵点在直线上， 解得， 即或． 当时，，解得，此时点坐标为； 当时，，解得，此时点坐标为． 所以点的坐标为或． 例2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，点，可得，即可求解； （2）过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，可得，由题意得，，，，由的面积是平行四边形OABC面积的一半，可得，代入值即可求解； （3）由（2）可得，，，可得，取点，作点关于轴的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴点B的坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，延长交于点，过点作于点，过点作轴于点，取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴，是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得， 由题意得，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴由题意得，， ∴，符合题意， ∴当时，的面积是平行四边形面积的一半． （3）解：由（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， 取点， ∵， ∴要使最小，即在轴上找一点，使得最小， 作点关于轴的对称点， ∴当，，三点共线时，的最小值为， ∴的最小值为． 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为___________； (2)连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； (3)当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点作于点，然后根据题意可得点，进而问题即可求解； （2）由题意得，则有，当点、、三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时；②当以为对角线时；③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 解得， ， 四边形是平行四边形，， ， ； （2）解：由题意得：是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 当点、、三点共线时，如图， ， ， ， 解得， 当时，、、三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点运动到的中点时，则有， 解得， ， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分为如下： ①当为对角线时，，且， 又∵， ∴点C对应点Q，点P对应点M， ∵点C至点Q横坐标减1，纵坐标减1， ； ②当以为对角线时，，且， 又∵， ； ③当以为对角线时，即，且， 又∵， ， 综上所述：当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则点坐标为或或． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)P点坐标为或； (3)能，． 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）设P点坐标为，求得，根据题意得到，据此求解即可； （3）过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； （2）解：设P点坐标为， ∵，，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或； （3）解：能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则点， ∵， ∴， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴． 变式3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点F的坐标为； (3)符合条件的点的坐标为或或． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论； （3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴，， ∵点D是线段的中点， ∴； （2）解：如图，当点在点上方时， ∵，， 又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F， 设， ∴，， ∴， ∴； （3）解：第一种情况：为平行四边形的对角线， ∵，， ∴的中点坐标为， ∵点M在直线的图象上， 设， ∴中点坐标为， ∵为平行四边形的对角线， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：为平行四边形的边，则也为边， 即，， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式可设为， 当时，， ∴， 设， ∴ ①， 又点M在直线的图象上， ∴②， 由①②有或， ∴， 故符合条件的点的坐标为或或． 考点二 平行四边形的性质与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，推出，根据得，等量代换得，即可证明平分； （2）由，，推导出．根据以及三角形外角的性质，证明，即可得出； （3）在左侧构造，使得，在直线上，通过（2）中的条件和结论，先利用全等三角形说明，再利用（3）中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：中，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：， ， 又， ． ，， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，在左侧构造，使得，在直线上，连接，作，， 由作法，可知，，，，， 又由（2），得，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵，， 又， ∴，即， 解得． 例2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】（1）在中，由勾股定理可得的长，进而可得的长，再根据平行四边形的性质即可得解； （2）根据垂直的定义结合同角的余角相等可得，由平行四边形的性质可得，由平行线的性质等量代换可得，，根据“”即可证得；连接，，，证明，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：，，， 在中，由勾股定理得， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ； 解：如图2，连接，，， ， ，，，， 在中，是的中点， 是的中点，即， ，即， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 例3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）定义：若两个端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的“中分线”．例：如图，在中，连结，利用平行四边形的性质可证，则与面积相等，即线段是的“中分线”，同理线段也是． (1)如图1，请再画一条除线段外的“中分线”．（无需证明，保留作图痕迹） (2)如图2，在四边形中，连结．已知是四边形的“中分线”，过点作交于点F． ①若，求的长． ②延长交于点G，如图3所示，当时，请在图中找出一条不同于的四边形的“中分线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①1；②线段是四边形的中分线，见解析 【分析】）过对角线与交点的线段即可 (另：作对边的垂直平分线，取对边中点连线也可）． （）①连接，，根据同底等高可知，由中分线定义可得，进而得到代入计算即可． ②连接，，可证得四边形是平行四边形，得到平行线，即可证得，得到即可． 【详解】（1） （2）①解：如图，连接，， ∵， ∴ ， ∵ 是四边形中分线， ∴ ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ②解：线段是四边形的中分线， 理由如下：如图，连接，， 由①可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴线段是四边形的中分线． 变式1．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，在中，点E在边上，过点E作于点F，点G在边上，H在边上，且是等边三角形，连接． (1)如图1，若， ，求的长； (2)如图2，若平分，且，求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）证明，设，则，在中，利用勾股定理，求出x的值，即可求解； （2），过点G作交于点M，交于点N，过点M作交于点K，则，根据为等边三角形，可得，再证明，可得，再证明，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∴，解得：（负值舍去）， 即； （2）证明：如图，过点G作交于点M，交于点N，过点M作交于点K，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于G，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 的性质得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 在中，， 根据解析①可得：， ∴， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； （2）解：当在边上时（图1）， 由折叠可知，根据解析（1）可得：，， 过D作， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据解析（1）可得：， ， 由折叠，； 当在边上时（图2）， 由折叠，，， 又，故是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或或． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值． (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）在中，用勾股定理求出；由算出，进而求出底边；过作延长线，利用平行四边形性质得、；求出，再在中用勾股定理求． （2）①由、，得两个直角；利用同角的余角相等，推出一组对应角相等；结合已知，用证三角形全等．②利用平行四边形对角线中点性质，结合直角三角形斜边中线得、；借用前一问全等结论，得、，推一组夹角相等；用证，得、；由等腰直角三角形三边关系，推出数量关系． 【详解】（1）解：∵， 在中，，， 由勾股定理得： 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，，且， ， ，即． 过点作，交的延长线于点， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， 在中： ； （2）解：①在▱中，， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ②连接， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面直角坐标系中的平行四边形问题、平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 平面直角坐标系中的平行四边形问题、平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 平面直角坐标系中的平行四边形问题 平行四边形的性质与全等三角形综合问题 考点一 平面直角坐标系中的平行四边形问题 例1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 例2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为___________； (2)连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； (3)当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 变式3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 考点二 平行四边形的性质与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 例2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 例3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）定义：若两个端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的“中分线”．例：如图，在中，连结，利用平行四边形的性质可证，则与面积相等，即线段是的“中分线”，同理线段也是． (1)如图1，请再画一条除线段外的“中分线”．（无需证明，保留作图痕迹） (2)如图2，在四边形中，连结．已知是四边形的“中分线”，过点作交于点F． ①若，求的长． ②延长交于点G，如图3所示，当时，请在图中找出一条不同于的四边形的“中分线”，并说明理由． 变式1．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，在中，点E在边上，过点E作于点F，点G在边上，H在边上，且是等边三角形，连接． (1)如图1，若， ，求的长； (2)如图2，若平分，且，求证：． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值． (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $