专题17 平行四边形的性质和判定的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题17 平行四边形的性质和判定的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1. 性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角线互相平分）。 2. 构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2. 性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互相平分”。 例1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点E，于点F．若，的周长为50，则的长为 _________ ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为50， ∴，， ∴， 根据平行四边形的面积公式，得， ∴，， ∴， 故答案为：10． 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则______． 【答案】/23度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1. 公式应用：平行四边形面积 = 底 × 对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2. 割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 例2．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形的性质；，有一公共边，证明，可得与的高与相等，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过、分别作、， 四边形是平行四边形， ， 又∵ ∴， ∴与的高与相等，即， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图，平行四边形中，P是形内任意一点，，，，的面积分别为5，4，3，则的面积为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．由四边形是平行四边形可知，，于是有，，即有，由此即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 又，，，的面积分别为5，4，3， ， ． 故答案为：4． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，关键是知识点的灵活应用；利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 1. 分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。 2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1. 参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。 2. 排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为 时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：当点在线段上，点在线段上时，如图①． 四边形为平行四边形， ，． 是等边三角形， 和是等边三角形， ， ， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图②． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图③． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ． 当停止运动时，，且， （不合题意，舍去）． 综上所述，当的值为或时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可知当点M与重合时，的值最小，即为的长．再结合平行四边形的性质，含的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接， ∴，，， ∴当点M与重合时，的值最小，即为的长． ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【变式3-3】（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1. 逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2. 反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1. 性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2. 图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 、， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， 、， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 、， ， ， ， 故③正确； 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【变式4-2】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．①连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ①正六边形， ， 和是等边三角形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意， 则符合题意得有3个， 故选：C． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线性质。 2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 解题技巧 1. 标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺路。 例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【变式5-3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1. 先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。 2. 再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 2. 性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合等腰三角形性质和勾股定理计算边长是解题的关键． （1）利用三角形中位线定理得与的关系，结合，证明与平行且相等，判定平行四边形 （2）结合平行四边形性质和角度条件推导出，再由得到与的数量关系，在直角三角形中用勾股定理求，进而得的长． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ，，即． ， ． ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形，， ，． ， ． ， ， ， ． 在中，，， ， （负值已舍去）， ． 【变式6-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． （2）利用平行四边形的性质求面积即可． 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：为平行四边形， ，． ， ． ∴四边形是平行四边形． （2）解：当E为中点时，的面积的面积． ， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积． ∴四边形的面积． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，． 【详解】（1）证明： ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 方法总结 1. 依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。 2. 依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计步骤。 解题技巧 1. 先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。 2. 对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。 例7．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，，作出中边上的高； (2)在图2中，过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形底边上的高垂直平分底边和三角形三条中线交于一点、平行四边形对角线相互平分是解答本题的关键． （1）作出中边上的高；即找到的中点即可，连接，交于点，由平行四边形性质可知，，连接并延长交于，容易证明，从而可得，即是中点， （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接并延长交延长线于，可得平行四边形，由此即可解题． 【详解】（1）解：如图，为所求， （2）解：如图，为所求， 【变式7-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍； (2)在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，即为所求，平行四边形得到，则等高，而，故； （2）连接交于点，连接并延长交即为点，根据平行四边形得到，，继而可证明，则，那么可证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：在图1中，即为所求； （2）解：如图，点即为所求： 【变式7-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，点E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在边上找一点O，使平分的面积； (2)如图2，分别在边上找点P，M，N，作 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的判定与性质． 结合平行四边形的性质，连接BD交于点O，则点O即为所求； 结合平行四边形的判定与性质，连接交于点O，连接并延长，交于点M，在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接即可． 【详解】（1）如图1，连接交于点O， 则点O即为所求． （2）如图2，连接交于点O，连接并延长，交于点M，在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接， 则即为所求． 【变式7-3】（2025·浙江衢州·三模）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据作图过程和三角形全等的判定方法可得答案； （2）作线段的垂直平分线交于点P，即可得到； （3）分①当时，②当时，③当时三种情况，利用等腰三角形的性质，结合平行线的性质和三角形的内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）解：由作图过程可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，点P，即为所求作： （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据作图痕迹，平分，设，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，则， 由，， 解得， ∴； ②当时，， 由得， 解得， ∴； ③当时，，则， 由得，则，不符合题意， 综上，的度数为或． 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 1. 判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2. 性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1. 判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。 2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题． （1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出； （3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，且； 又∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，且； ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵是的中点， ∴， ∴； （3）解：猜想，证明如下： 由（1），， ∴，， ∴． ∵与同高， ∴， 同理可得：． 又，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，， ，证明，再证明为等腰直角三角形，得，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接，； ， ，即． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即 设， ∴， ∴， 在中，， ∵， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质来建立角度关系进行计算． 利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵M是边的中点，P是边的中点， ∴是的中位线 ∴，， 故选：B 4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（    ） A．9 B．6 C．10 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键． 连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，设交于点， 由题意可知，是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 故选：A． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在中，若，则_______． 【答案】45 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且， （平行四边形邻角互补）， ， 又，， ，即， 将代入， 得：， ， ． 7．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据线段之间的关系，求出，再根据平行四边形的性质，求出，最后利用中位线定理即可求解． 【详解】解：，， ，则， 平行四边形， ， 点E，点F分别是，中点，即是的中位线， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，取中点，连接，则，由平行四边形性质可得，，通过中位线定理可得，，，从而可证明四边形是平行四边形，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 10．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，，通过平行线性质可得，，则有，然后通过“”证明全等即可； （）由（）得，，根据角平分线定义可得，最后三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—角平分线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用角平分线的作法进行作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出相等的角，根据角平分线得出，证明，得出相等的边，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 14．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论； （2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 15．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：点E是的中点， ． ， 是的中位线， ∴， ∴． ∵， 四边形为平行四边形． （2）解：由（1）知是的中位线， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ，， ． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、化为最简二次根式、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． 16．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）先证明，是等边三角形，再证明，即可得证； （2）设的垂直平分线交于点F．先求得，再证即可得出结果； （3）过点D作，垂足为G．根据，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，D是的中点， ，． 垂直平分， ，． ，是等边三角形． ． ． ． 四边形是平行四边形． （2）解：． 理由如下：如答图2，设的垂直平分线交于点F． 由（1）可知是等边三角形， ，． ． ，， ． ． ． 是等边三角形， ． ，即． ； （3）解：如答图3，过点D作，垂足为G．则，． 由（1）得， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理、含有角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 17．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 18．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 19．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）作，根据矩形的性质求出，，然后用勾股定理计算； （2）由垂直平分线性质得，结合直角三角形，用勾股定理列含的方程，求解得； （3）根据平行四边形“对边相等”，列的绝对值方程，分类讨论的位置解出； （4）由对称性质、平行线性质推得等腰三角形，结合，分类讨论的位置，列方程求． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 【点睛】本题考查勾股定理，动点的线段表示与分情况讨论，轴对称的性质，平行四边形的判定，用含的式子表示动点轨迹是解题关键． 20．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17平行四边形的性质和判定的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题) 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1.性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角 线互相平分)。 2.构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2.性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互 相平分”。 例1.(25-26八年级上山东淄博·期末)如图，口ABCD的对角线交于点O,且CD=4,若它的对角线的 和是32，则△AOB的周长为 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(24-25八年级下·陕西西安期末)如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. 若AE:AF=2:3,口ABCD的周长为50，则AB的长为 A 0 E 【变式1-2】(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在口ABCD中，若∠ACB=54°，∠D=40°，AE=AC, 则∠ECD= E D 【变式1-3】(25-26八年级上山东淄博·期末)如图，口ABCD中，E是边AB(不含端点)上任意一点， 若5-8欲=5月c D 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1.公式应用：平行四边形面积=底×对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2.割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1.确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.(24-25八年级下·吉林·期末)如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分 别为，，则，5的大小关系是 S2 S 【变式2-1】(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,直线 MN经过O点，若AB=6,AD=4,∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积之和是一· M B 【变式2-2】(24-25八年级下·四川乐山期末)如图，平行四边形ABCD中，P是形内任意一点，△ABP, △BCP,△CDP,的面积分别为5,4,3，则△ADP的面积为 D B 【变式2-3】(25-26九年级上山东济宁期末)如图，口ABCD中，点E，F分别是BC,CD上一点，连 接ME,DE,连接F交ED于点P,连接BF分别交4E,DE于点G,H,设△BG 的面积为， △PDF 的面积为八，四边形CE的面积为8，若2,5，=3,9，=8 则阴影部分四边形AGP 的面 积为 A P H 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 L.分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。 2.性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1.参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含1的式子表示动点坐标或线段长。 2.排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 10cm 例3.(25-26八年级下全国课后作业)如图，等边三角形4BC的边长为0cm,动点M从点8出发，沿 ABC B→A→C→B的路径以4cm/s的速度运动；动点N从点C出发，沿C→A→B→C的路径以3cm/s的 速度运动.若动点M,N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动.设运动时间为s，则 当1的值为时，点A,M,N以及△ABC的边上一点D恰好能构成一个平行四边形 M 【变式3-1】(24-25八年级下湖南岳阳期中)如图，在口ABCD中，AB=3,AD=4,∠ABC=30°，点 M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为一· 【变式3-2】(24-25八年级下·四川绵阳·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°， AD=16cm,BC=2lcm,CD=13cm.动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动.动点Q同 时从点A出发，在线段AD上以每秒lcm的速度向点D运动：当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运 动.设点P的运动时间为1秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，的值为一。 B P 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-3】(2024江西南昌·模拟预测)在口ABCD中，AB=3,∠A=120°，AD=6,点P为平行四边形 ABCD边上的动点，且满足△PBC是直角三角形，则BP的长度是一· 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1.逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2.反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1.性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2.图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4.(25-26八年级上山东泰安·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交 BC于点E,且∠40C=50,BBC,连接QE·下列结论：@OE14C:②5三BxG ③OE=-BC:④BD=N7:成立的个数有(） 4 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式4-1】(25-26八年级上·山东日照·期末)两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知 ∠ABC=∠DEC=90°，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，点F是边AC中点，则下列结论：①△BCE 是等边三角形，②1B=CF,③BE=V5AF ④四边形BEDF是平行四边形，其中正确结论的个数是( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCDEF M,N BE 【变式4-2】(2025河北唐山二模)如图，在正六边形 中， 是对角线正上的两点.添加 下列条件中的一个：①BM=EN:②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形 AMDN是平行四边形的条件的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式4-3】(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考)如图，AC是口ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC 交AD于点G,垂足为E,过点D作DH⊥AC交BC于点H,垂足为F,连接GH、EH,则下列结论：① BE-DF;②四边形GBHD是平行四边形：③∠GAC=∠DHC;④GH平分ABCD的周长；⑤ Sae=SAs,其中正确的个数是(） A.2 B.3 C.4 D.5 类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1.性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线 性质。 2.逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 解题技巧 1.标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2.灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺 路。 例5.(25-26九年级上·江苏盐城·期末)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC,垂足分别 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为E,F,且BE=DF. E (I)求证：△ABE≌△ADF: (2)求证：AB=BC 【变式5-1】(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作 AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于点F. D (I)求证：AE=CF: (2)若AB⊥AC,AC=6,BD=10,求BE的长度. 【变式5-2】(25-26八年级下·全国课后作业)如下图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在 AD上，点F在BC上，连接EF,使EF恰好经过点O. E A D F (I)求证：ED=FB. (2)若AC⊥BD,ED+CF=5,AC=6,求BD的长. )记四边形4BFE的面积为9，口1BCD的面积为S,用等式表示8和的关系为.， 【变式5-3】(2026八年级下·全国专题练习)(1)如图①，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，直 线EF过点O,与AD,BC分别交于点E,F.求证：AE=CF. E F 图① 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图②，将18C0沿过对角线交点0的直线F折叠，使点4落在点4处，点”落在点8处，FB 交CD于点G,A8与CD,DE分别交于点H,1.求证：I=G。 A B 图② 左类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1.先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。 2.再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1.判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 2.性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边AC上一点， CD=2AD,连接BD,E,F分别是BC,BD的中点，连接AF,EF,DE. B (I)求证：四边形ADEF是平行四边形. 2若BD=2MF,∠CBD=∠BEF,AB=3而，求EF的长. 【变式6-1】(2025·贵州遵义·一模)如图，平行四边形ABCD的对角线ACBD交于O,BE=DF,连接 AE、EC、CF、FA B (I)求证四边形AECF是平行四边形： 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点E是OB的中点，△ABE的面积为2，求四边形AECF的面积. 【变式6-2】(24-25八年级下·安徽期末)如图，在△ABF中，E是AB的中点，延长BF至D,使得 DF=BF,连接AD,延长EF至点C,使得CF=AD,连接CD E (I)求证：四边形AFCD为平行四边形： 2连接4C交DB于点O,若CE1DB,EF=1,ME=而，求D0的长. 【变式6-3】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC,，点D在边BC所在的直线 上，过点D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. 图① 图② 图③ (I)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC」 (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②：当点D在边BC的反向延长线上时，如图③.请分别写出图②、 图③中DE,DF,AC之间的数量关系，不需要证明. (3)若AC=6,DE=4,求DF的长. 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 方法总结 1.依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。 2.依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计 步骤。 解题技巧 1.先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。 2.对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。 例7.(24-25八年级下·江西抚州期末)如图，在口ABCD中，点E为CD的中点，请仅用无刻度直尺完成 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以下作图（保留作图痕迹）： D E 图1 图2 (I)在图1中，AC=BC,作出△ABC中AB边上的高CH: (2)在图2中，过点D作AC的平行线DM. 【变式7-1】(24-25八年级下江西吉安·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点.请 仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）， (2) (I)在图(1)中，ED=2AE,作一个三角形，使其面积为△ABE的两倍： (2)在图(2)中，E为AD的中点，在BC作一点F,使线段DF∥BE. 【变式7-2】(24-25八年级下·陕西安康期末)如图，在口ABCD中，点E是边AD的中点，AC是对角线， 请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法） D 图1 图2 (I)如图1，在边AC上找一点O,使BO平分△ABC的面积： (2)如图2，分别在CD,BC,AB边上找点P,M,N,作EPMN 【变式7-3】(2025·浙江衢州三模)数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形ABCD的边BC上取一 点P,使得△ABP是以AB为底边的为等腰三角形.小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度 为半径作弧，分别交DA,DC于点M,N:②以点A为圆心，DM长为半径作弧，交BA于点E:③以点 E为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAD内部交前弧于点F;④连接AF并延长，交BC于点P. 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D G 图1 图2 图3 (I)通过作图可以得到△DMN≌△AEF的依据是 (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P,请在图2中完成作图，要求保留 作图痕迹： (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线DG,发现DG恰好经过点P,此时小聪同学发现 △ABP,△CDP,△ADP都是等腰三角形，求∠B的度数. 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 L.判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2.性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1.判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等或“对角线互相平分等简捷判定方法。 2.数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例8.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，在△ABC中，BD,CE分别是边AB,AC上的中线，BD 与CE相交于点O,点M,N分别是OB,OC的中点. (1)求证：四边形DEMN是平行四边形： (2)求证：OB=20D: B减猜起a与8的数关系并抢予证明 【变式8-1】(25-26八年级下·全国·周测)【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行 四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分. 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (1)如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,求证：OA=OC,OB=OD. 【知识应用】 (2)如图②，在△ABC中，P为BC的中点.延长AB到点D,使得BD=AC,延长AC到点E,使得 CE=AB,连接AP,BE,DE.若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结 论，并加以证明. 【变式8-2】(24-25八年级下·全国·期末)平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上， EO的延长线与边AD交于点F,连接BF、DE,如图1. A 图1 图2 (I)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)在(I)中，若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、HR,如图2 ①当CD=6,CE=4时，求BE的长. ②探究BH与AF的数量关系，直接写出答案 【变式8-3】(25-26九年级上·湖北武汉·月考)在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连 接EC,ED,EB,△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=9O°，其中EB=EC. 图1 图2 图3 (I)如图1，求∠DAE的度数： ②如图2，在BC上取点F使得MB=A,求证： 2AE+BF=AD 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙)如图3，在2间的条件下，若、E、D在同一直线上，当=5。 ABCD 时，求平行四边形 的面积 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·山东淄博·期末)如图，在口ABCD中，∠B+∠D=126°，则∠A的度数是() D B A.1160 B.1170 C.118o D.120 2.(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,添加下列条件后，仍无法判定四 边形ABCD是平行四边形的是（) D B A.AD∥BC B.AD=BC C.∠ADC=∠ABCD.AB=CD 3.(25-26九年级上·福建漳州·期末)如图，四边形ABCD的对角线AC=8cm,并且AC,BD交于点 O,M是边AB的中点，P是边BC的中点，将点M沿AC方向平移到点P的位置，则平移的距离等于 () D B A.8cm B.4cm C.6cm D.3cm 4.(25-26九年级上山西晋中·期末)如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径画 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弧，分别与AB’BC交于点E,F,再分别以点E,F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点 G,作射线BG,与边AD交于点H,最后以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点M.若AB=7.5, BH=12,则点A,M之间的距离为() H D G M A.9 B.6 C.10 D.7 5.(25-26九年级上·山东烟台期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交 AB于点E?∠BCD=600, 4D= AB,连接OE:下列结论：①S,BD=AD.BD:②DB平分∠CDE: ③AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的有() D O B A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26八年级上山东淄博期末)在口ABCD中， ∠B+∠D=3(∠A+∠C,则∠A= 0 7.(25-26八年级上山东日照·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD, 点E,点F分别是BM,CM中点，若AM=6,则EF的长为 A M 8.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中 点，F为OC的中点，连接EF交OB于点M.若OM=2,则BD的长为一· 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 9.(25-26九年级上·湖北孝感期末)如图1，口ABCD中，连接BD,动点P从点A出发沿折线 AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的 函数关系的大致图象，则n= ,口ABCD的面积为 VA 10 6 12 图1 图2 10. (25-26八年级上山东潍坊·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm, M是BC上一点，且BM=8cm.点E从点A出发以lcm/s的速度向点D运动：点F从点B出发，以 3cm/s的速度向点C运动.当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t,当以 A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 A-E B F M 三、解答题 11.(25-26九年级上·湖南长沙期末)如图，已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E, AF∥CE且交BC于点F. E (I)求证：△ABF≌△CDE: 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠CED=50°，求∠B的大小. 12.(25-26九年级上山东烟台期末)如图，已知在ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点 E D B E (I)求证：CD=CE: (2)若BE=CE,∠B=70°，求∠DAE的度数. 13.(25-26八年级上·福建福州期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,CE平分∠ACD, 交BD于点E. (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BD于点F,连接AE,CF(不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：四边形AFCE是平行四边形. 14.(25-26八年级上山东泰安期末)如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在 线段CE上，连接BH,点G、F分别为BHCH的中点. 0 E G H B (I)求证：四边形DEFG为平行四边形： (2)若DG⊥BH,AD=4,EF=3,求线段HG的长度. 15.(25-26八年级上山东济南·期末)如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中点，DB,CE交于点 F,DF=FB,AF∥DC. D 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：四边形AFCD为平行四边形. (2)若∠EFB=90°，BE=3,EF=1,求BC的长 16.(25-26八年级上江苏南通期末)如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上（与点B,C不重 合)，CD的垂直平分线交BA的延长线于点E,交边AC于点M. (备用图) (I)当点D为BC中点时，连接AD,MD,求证四边形ADME是平行四边形： (2)探究线段AE与BD的数量关系，并说明理由； 3)若E,AB=V5 求四边形MDME的面积。 17.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，EF过点O 且垂直于AD, A D (1)求证：OE=OF: 2若Saas=3,AD=3,则D与BC之间的距离为 (3)若口ABCD的周长是24，OE=2,则四边形ABFE的周长为 18.(25-26八年级上山东淄博期末)(1)如图1，AB∥CD,AC与BD相交于点O,EF过点O,且分 别交AB,CD于点E,F,且OE=OF.判断四边形ABCD的形状，并加以证明. 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 图1 图2 (2)如图2，在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，点H在线段CE上，连接BH,点G,F分 别为BH,CH的中点. ①求证：四边形DEFG为平行四边形： ②若DG⊥BH,BD=3,EF=2,求BH的长. 19.(25-26八年级上·吉林长春·期末)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=8, DC=3,BC=12.动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，点Q从点D出发，以每 秒2个单位的速度沿射线DA运动，点P和点Q同时出发，当点P运动到点C时，点Q也停止运动，设点P 的运动时间为t(秒)(t>0). D A 图1 图2 (1)AB= (2)当点P运动到AB的垂直平分线上时，求t的值. (3)当以点A,点B,点P,点Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值 BO ④如图2，作点”关于直线吧的对称点”，则当点”落在直线1B上时，直接写出的值 20.(25-26八年级上·浙江宁波·期末)如图，在口ABCD中，点E是AB的中点，点P是BC上一点，连接 DE,交AP于点M,N是AP上一点，且AM=MN,连接BN并延长交DC于点F. D M B E 图1 图2 图3 【初步尝试】 (1)四边形EBFD是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程：如果不是，请说明理由： 18/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 (2)如图2，若在图1的基础上连接MC交BF于点H,过点A作AG∥MC交DE于点G, ①猜想MC与AG的数量关系，并说明理由： 回如图3，当点P为BC中点时，若F=a,4P=b,且空AB=a+4怀，请求出P4BCD的面积《结果用 含a,b的式子表示). 19/19