2025-2026学年北师大版八年级数学下册 平面直角坐标系中的平行四边形问题 讲义

该初中数学讲义通过框架图系统梳理平面直角坐标系中平行四边形问题的知识体系，按“核心性质-分类情形-解题方法”逻辑呈现，涵盖对角线互相平分性质、三类典型题型及中点坐标公式等辅助工具，突出几何直观与空间观念，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，如“已知3定点求第4点”分三类讨论对角线组合，结合中点公式列方程求解，培养推理意识与模型意识。例题与变式覆盖多地区期中真题，易错提醒助力学生规避漏解等问题，支持教师实施精准分层教学，帮助不同层次学生提升解题能力。

平面直角坐标系中的平行四边形问题讲义 平面直角坐标系中的平行四边形问题讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 平行四边形坐标核心性质 设四点 · 对角线互相平分（最常用）：对角线中点重合 若 为对角线，则 ，即 1. 分类情形 · 已知三个定点，求第四个顶点； · 已知两个定点，结合函数/直线找点，构成平行四边形； 1. 辅助公式 中点坐标公式、两点间距离公式。 二、解题原理 利用平行四边形对角线中点重合这一充要条件，把几何平行、相等关系转化为坐标代数等式，通过列方程求解未知点坐标、参数、解析式。 三、通用解题思路 题型1：已知3个定点，求第4个顶点（分三类讨论） 1. 标记三点 ，分类确定谁为对角线（共三种组合）： · 情况①： 为对角线； · 情况②： 为对角线； · 情况③： 为对角线。 1. 对每种情况，用中点坐标相等列方程组。 1. 分别解出第四点坐标，汇总所有结果。 题型2：已知2个定点 + 动点（在直线/曲线上），构造平行四边形 1. 设出动点坐标，梳理四个顶点顺序，区分对角线组合。 1. 依据中点重合，建立坐标方程。 1. 结合动点所在直线、曲线方程联立，求解参数或点坐标。 1. 检验结果，舍去不符合题意的解。 题型3：证明四点构成平行四边形 1. 求出四个点坐标。 1. 任选一组对边：证明中点重合。 1. 即可判定为平行四边形。 四、简化实操步骤（通用流程） 1. 标出所有已知点坐标，设未知点为 ； 1. 明确顶点连接顺序，不漏分类（三点定第四点必须分三类）； 1. 优先使用中点公式列等式（计算最简单）； 1. 解方程求出未知坐标/参数； 1. 结合题干限制（如点在线上、区间范围）取舍答案。 五、易错提醒 1. 已知三点求第四点时，只算一种情况，漏掉另外两组解； 1. 顶点顺序混乱，对角线判断错误，导致方程列错； 1. 结合函数题型时，忽略动点定义域，出现增根。 例题分析 例1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的解集为 (3)符合条件的点或 (4)存在，或，求解过程见解析 【分析】（1）先将代入，得出，进而求得，，根据题意得出，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象直接写出解集即可； （3）根据，，得出，分两种情况讨论，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，，分三种情况讨论，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）由题意可得出当时，满足. 故x的解集为； （3）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴，      ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； （4）解：存在，或 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴，解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴ 例2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上位于原点O左侧，点，点，并且实数a，b满足，连接． (1)求出点D的坐标及的面积； (2)如图1，过点作交于点E，在上取一点F，使， ①求的度数； ②证明：； (3)如图2，若点M、N在直线上，且，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出的值，确定点的坐标，求出相关线段的长度即可求解； （2）①根据等腰直角三角形的性质求出角的度数； ②利用全等三角形的判定和性质证明； （3）以为邻边作平行四边形，则，过点作轴于点，连接，利用平行四边形的性质以及两点之间线段最短求出最值． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：①由（1）可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解： 如图，以为邻边作平行四边形，则，过点作轴于点，连接， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当G，M，C三点共线时，最小， ∴此时最小为． 例3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得 ，进而得 ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由 得 ，推出 为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出 为 的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出 ，求得 ，从而算出 的横坐标． 【详解】（1）解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ （2）解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 （3）解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 例4．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由确定与轴交点的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）由条件知，根据平行四边形的判定方法，再添加，以点，，，为顶点的四边形就是平行四边形，所以根据解析式设出点P、的坐标，根据点P的位置分情况表示线段长度，再根据列方程求解，最终确定点P的坐标； （3）根据点D在直线上的位置进行分类讨论，结合，构造全等三角形，确定线段长，进而确定点G（或H）的坐标，表示直线解析式，直线和直线两个解析式联立求点D的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别相交于点，点， 当时，， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）轴，，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点， ，当时，， ， ， ． 当时，， ； 当时，， ， ， ． 当时，， ． 综上所述，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或； （3）在中，当时，，， ． 如图1，当点在轴上方时，设交轴于点， ，，， ， ， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为，联立，解得， ； 如图2，当点在轴下方时，设交轴于点．同理可得，， ． 设直线的解析式为，代入， ， ． ∴直线的解析式为，联立，解得． ． 综上所述，点的坐标为或． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)2，1，2 (2)①6；②或 【分析】（1）当点E在点B或点D处时，的长最大，根据两点间距离公式求解即可，当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，即可解答； （2）①先求出，再求出，，即可得到答案； ②先求出，分和两种情况，分别求出，的值，即可分别列不等式求解． 【详解】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为， 当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1， ，， ； （2）解：①如图，当时，，， 设直线为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长， ，即， 最小值为线段与之间的距离，即， ； ②将代入，得， ， ， 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标； （2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A左侧时，分别求解即可； （3）过点C作于E，证明，得到，，从而求得点，再用待定系数法求得直线解析式为，然后令，求出x的值，即可得点P坐标，分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形；b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形；ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形；分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得 解得：， ∴ 令，则， 解得：， ∴． （2）解：由得， 由得， 分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E， 则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令，则 解得：， ∴； 当点P在点A左侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点P， 同理可得， 同样用待定系数法可求得直线解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． （3）解：过点C作于E，如图， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵AC平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 即 解得：， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为 分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形，如图， ∵ ∴与互相平分， ∵D为的中点， ∴D为的中点， ∴此时，点N是直线与x轴的交点， ∵直线解析式为； 令，则， ∴； b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形， ∴， ∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8， 把代入，解得：， ∴ ∴ ∴， ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形， ∴， 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴此时； 综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或． 变式3．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积． (2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点的坐标为， (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键. （1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2）根据 ，利用三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可. 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵点的坐标为， 点的坐标为，； ∴点的坐标为，； （2）解：根据题意得： ， ∴， 即： ， ∴ ， 解得：. 即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半； （3）当时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示， 此时轴， 轴，， ， 根据平行四边形的性质，可知 ， 即；即： 即： 故答案为：点的坐标为或或． 变式4．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对于给定的一次函数（，为常数），把形如（，为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． ②若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． (2)如图1，一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，的面积为，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)①3；②1或 (2) (3)或或． 【分析】（1）①写出一次函数的关联函数，再根据点E的坐标中横坐标的符号代入相应的解析式中即可求解； ②分n为非负与负的情况考虑即可； （2）易得一次函数（，k、b为常数）的关联函数，由点P在上得k、b的方程；再由面积条件得点N的坐标，从而得k、b的中一个方程，解方程组即可求解； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当关联函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的关联函数为， ∵点中横坐标为负， ∴； ②当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，n的值为1或； （2）解：一次函数（，k、b为常数）的关联函数为， ∵P点坐标是， ∴点P在函数图象上， 即； 如图，设与y轴交于点F， ∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，， ∴轴， ∴， ∵的面积为， 即， ∴， ∵， ∴， ∵点N在函数图象上， ∴， 联立①②，解得：， ∴； （3）解：∵满足， ∴， 则，即， 当时，，即过定点， ∴一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象过点与， ∴，且点在平行四边形内， 设关联函数与y轴的交点为G， 如图2，点G沿y轴向上平移的过程中，当关联函数图象经过点A时，平行四边形有三个交点， 把代入中，得， 解得：， ∴， ∴当时，关联函数的图象恰好与平行四边形有两个交点， 即， ； 当点继续沿y轴向上平移，关联函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点，当关联函数经过点时，则，不符合题意，如图3， ∴当时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即， 解得：； 当点继续沿y轴向上平移，如图4， 此时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即，解得：； 综上，当关联函数与平行四边形恰好有两个交点，k的取值范围为或或． 实战演练 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图①，平面直角坐标系中，为原点，点A坐标为，轴，点在轴上，一次函数的图象经过点、． (1)点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，直线经过点，且与直线交于点，与关于直线对称，连接并延长，交射线于点，当时，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，以、、、为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能，P点坐标分别为或或 【分析】（1）设点C的坐标为，代入中，得，即求出点C的坐标；设点B的坐标为，同法求得，得出点B坐标； （2）过点D作轴于点，由轴及轴对称可推出，从而，运用勾股定理求得长度，进一步求得，于是得点M的坐标，运用待定系数求得直线l的解析式； （3）可以形成平行四边形．可求点，待定系数法确定直线的解析式为，设点， ，分情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时，当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分、四个顶点坐标建立方程组求解． 【详解】（1）解：如图，设点C的坐标为， 代入中， 解得， ∴ 设点B的坐标为，代入中， 解得， ∴； （2）解：如图，过点D作轴于点， 在中，， ∴，    ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线l的解析式为，则 ， 解得， ∴直线l的解析式为． （3）解：可以形成平行四边形． 如图，， ∴点， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为 设点， ，分情况讨论： ①当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：， ， ∴点．    ②当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：,   ， ∴．    ③，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：， ， ∴．      综上，点P的坐标为或或． 2．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； (3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)6 (3)H的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点间距离等知识，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点C的坐标代入直线的解析式即可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）由题易得，，进而根据面积公式求解即可； （3）根据题意在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，则分，为对角线；，为对角线；，为对角线；三种情况分别求出H点坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得， ∴； 将，代入直线得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：， ∴，， ， ． （3）解：设， ∵直线的解析式为与y轴交于点B， ，， ∴， ∵在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形， ①当为对角线， ∴， 则 ∵，，， ∴ ， ∴； ②当为对角线， ∴， 则， ∵，，， ∴ ， ∴H； ③当为对角线， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴； 综上：H的坐标为或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面直角坐标系中的平行四边形问题讲义 平面直角坐标系中的平行四边形问题讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 平行四边形坐标核心性质 设四点 · 对角线互相平分（最常用）：对角线中点重合 若 为对角线，则 ，即 1. 分类情形 · 已知三个定点，求第四个顶点； · 已知两个定点，结合函数/直线找点，构成平行四边形； 1. 辅助公式 中点坐标公式、两点间距离公式。 二、解题原理 利用平行四边形对角线中点重合这一充要条件，把几何平行、相等关系转化为坐标代数等式，通过列方程求解未知点坐标、参数、解析式。 三、通用解题思路 题型1：已知3个定点，求第4个顶点（分三类讨论） 1. 标记三点 ，分类确定谁为对角线（共三种组合）： · 情况①： 为对角线； · 情况②： 为对角线； · 情况③： 为对角线。 1. 对每种情况，用中点坐标相等列方程组。 1. 分别解出第四点坐标，汇总所有结果。 题型2：已知2个定点 + 动点（在直线/曲线上），构造平行四边形 1. 设出动点坐标，梳理四个顶点顺序，区分对角线组合。 1. 依据中点重合，建立坐标方程。 1. 结合动点所在直线、曲线方程联立，求解参数或点坐标。 1. 检验结果，舍去不符合题意的解。 题型3：证明四点构成平行四边形 1. 求出四个点坐标。 1. 任选一组对边：证明中点重合。 1. 即可判定为平行四边形。 四、简化实操步骤（通用流程） 1. 标出所有已知点坐标，设未知点为 ； 1. 明确顶点连接顺序，不漏分类（三点定第四点必须分三类）； 1. 优先使用中点公式列等式（计算最简单）； 1. 解方程求出未知坐标/参数； 1. 结合题干限制（如点在线上、区间范围）取舍答案。 五、易错提醒 1. 已知三点求第四点时，只算一种情况，漏掉另外两组解； 1. 顶点顺序混乱，对角线判断错误，导致方程列错； 1. 结合函数题型时，忽略动点定义域，出现增根。 例题分析 例1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 例2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上位于原点O左侧，点，点，并且实数a，b满足，连接． (1)求出点D的坐标及的面积； (2)如图1，过点作交于点E，在上取一点F，使， ①求的度数； ②证明：； (3)如图2，若点M、N在直线上，且，连接，请直接写出的最小值． 例3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 例4．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 变式3．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积． (2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 变式4．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对于给定的一次函数（，为常数），把形如（，为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． ②若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． (2)如图1，一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，的面积为，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______． 实战演练 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图①，平面直角坐标系中，为原点，点A坐标为，轴，点在轴上，一次函数的图象经过点、． (1)点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，直线经过点，且与直线交于点，与关于直线对称，连接并延长，交射线于点，当时，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，以、、、为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 2．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； (3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $