专题 6.7 平行四边形复习专题——平行四边形与动点最值问题（知识梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学复习讲义聚焦平行四边形与动点最值问题，通过题型分类精析构建知识体系，以“知识要点+解题步骤”框架呈现5类核心题型，涵盖两点之间线段最短、垂线段最短等公理应用，清晰梳理转化思想与几何性质的内在联系。 讲义亮点在于“例题+变式”分层练习设计，如题型1通过对称转化求中点连线最小值，培养几何直观与推理意识。同步检测包含选择、填空、解答题，适配不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用数学思维解决动态问题的能力。

专题 6.7 平行四边形复习专题——平行四边形与动点最值问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备与题型分类精析 1 【题型 1】依据两点之间线段最短求最值 1 【题型 2】依据垂线段最短求最值 6 【题型 3】依据三角形三边关系求最值 8 【题型 4】依据轴对称求最值（将军饮马） 12 【题型 5】依据平移法求最值（选扯搭桥问题） 18 二.同步检测 22 （一）单选题（6题） 22 （二）填空题（6题） 31 （三）解答题（6题） 37 一.知识储备与题型分类精析 平行四边形是初中数学的重要内容，最值问题是历年中考命题的热点，平行四边形遇见最值问题时，题目呈现形式变化多样.解决此类问题，常用平行四边形的性质及转化思想，但不同形式的问题解决方法也有所不同。本专题按常考题型梳理出一些方法，供参考使用。 【题型 1】依据两点之间线段最短求最值 【知识要点】基本公理两点之间，线段最短；连接两点的所有连线中，线段长度最小。 【解题步骤】（1）确定定点、动点、动点所在定直线；（2）判断求和最小：作对称点，连线段 差最大：直接连线延长找交点；（4）利用勾股定理、坐标法计算线段长度，得出最值。 【例题1】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平行四边形中，，，点M、N分别是边、上的动点，连接、，点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中位线，平行四边形，勾股定理．解题关键是中位线性质．由已知可得，是三角形的中位线，所以，当时，最短，此时最小． 解：如图，连接， E、F分别为、的中点， 是三角形的中位线， ， 当时，最短，此时最小． ，， ， 由勾股定理可得， 解得：， 此时． 故选C． 【变式1】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，E，F分别为边上的点，且，连接，则的最小值为（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 解：连接，作点C关于的对称点H，连接， ∴， ∵，平行四边形的面积为， ∴， ∴． ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 【答案】/2.4/ 【分析】连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可． 解：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为_______________ 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称最短问题和平行四边形的性质，学会利用轴对称的性质解决最短问题是解题的关键； 作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理求出，根据轴对称得出，然后根据平行四边形的性质得出，，再次利用勾股定理即可求出结果． 解：如图：作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 点A和点关于轴对称， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：10． 【题型 2】依据垂线段最短求最值 【知识要点】直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。 【解题步骤】（1）找出定点与动点及动点所在定直线；（2）作垂线过定点，向定直线作垂线段，（3）定最值：当动点运动到垂足位置时，即取得最小值；（4）算长度利用勾股定理、面积法、坐标法求出垂线段长度，即为所求最小值。 【要点提示】方法1：构造直角三角形，利用勾股定理直接求高，即为最值；（2）方法2：三角形面积法。 【例题2】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】过点作，且，连接，利用证明，得出，过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于，可得时，取最小值，最小值为的长，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而求出的长即可． 解：如图，过点作，且，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于， ∴时，取最小值，最小值为的长，即的最小值为的长， ∵平行四边形中，，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，由，，求得，因为，所以，则，由平行四边形的性质得，，所以，当时，的值最小，此时的值最小，于是得到问题的答案． 解：设交于点， ∵，， ， ∵， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 如图，当时，的值最小，此时的值最小， ，， ， ， ∴长度的最小值为． 【题型 3】依据三角形三边关系求最值 【知识要点】两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【解题步骤】（1）找定长：确定题目中长度固定不变的两条线段；（2）定动点轨迹：判断动点绕哪一个定点旋转，明确旋转半径；（3）运用三角形用三边关系确定确定取等条件：取最大值：三点同向共线；取最小值：三点反向共线 【例题3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点C作，过点D作，二线交于点E，则四边形是平行四边形，得到，，由，推出，即，根据，当B，C，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长，此时计算即可． 解：过点C作，过点D作，二线交于点E， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， 当B，C，E三点共线时， ∴取得最小值， ∴取得最小值，最小值为的长， ∵， 此时． 故选D． 【变式1】（2025·安徽六安·一模）在凸四边形中，若对角线，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点C作，过点D作，二线交于点E，则四边形是平行四边形，得到，，由，推出，即，根据，当B，C，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长，此时计算即可． 解：过点C作，过点D作，二线交于点E， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， 当B，C，E三点共线时， ∴取得最小值， ∴取得最小值，最小值为的长， ∵， 此时， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）四边形的对角线，垂足为，若，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】过点D作，过点C作，二线交于点O，则四边形是平行四边形，利用勾股定理，三角形三边关系定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 解：过点D作，过点C作，二线交于点O， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵， ∴， 故当C，O，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，平面上有一点P，连接，若，取的中点M．连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 取的中点，连接，先整理得是的中位线，故，再结合勾股定理算出，根据求解，即可解决问题． 解：取的中点，连接， ∵点M是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵ ∴, 在中，， 当三点共线，则， 即的最小值为， 故答案为： 【题型 4】依据轴对称求最值（将军饮马） 【知识要点】（1）对称轴上任意一点，到一对对称点的距离相等；（2）对称点连线被对称轴垂直平分；（3）折叠、翻折问题本质就是轴对称。 【解题步骤】（1）辨图形分清定点、动点，确定动点所在直线（对称轴）；（2）作对称选取其中一个定点，作出它关于动点所在直线的对称点；（3）化折为直连接对称点与另一个定点，所得线段与对称轴交点即为最值动点位置；（4）定结论这条线段总长 = 两条线段之和的最小值，算长度用勾股定理、坐标、几何性质计算出最短距离。 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，，为边上一点，，，为边上的两个动点，且满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形的三边关系；利用轴对称和平行四边形的性质将转化为，然后由三角形的三边关系得，当M点移动到与D点重合时，的值最小值为的长度，最后利用勾股定理求出即可. 解：如图所示，作E点关于的对称点，连接，，过M作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点F，连接， 由轴对称的性质得，， ∵，， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∴ ∴当M点移动到与D点重合时，有， 即此时的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴在中，. 故的最小值为. 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，连接交于，连接，，作交的延长线于．因为、关于直线对称，推出，推出，推出当点P与重合时，的值最小，最小值为的长； 解：如图所示，连接交于，连接，，作交的延长线于． 、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小，最小值等于的长； 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，在边上，且，连接，，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，勾股定理及平行四边形的性质与判定，熟练掌握轴对称图形的性质，勾股定理及平行四边形的性质与判定是解题的关键；过点作，使得，连接，则有四边形是平行四边形，所以，然后可得，过点作，并延长使得，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点三点共线时，有最小值，最小值为的长，进而根据勾股定理及轴对称图形的性质可进行求解． 解：过点作，使得，连接，如图所示： ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作，并延长使得，连接，如图所示， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点三点共线时，有最小值，最小值为的长， 设，则有， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 故答案为． 【变式3】（25-26九年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得：，，在中，根据勾股定理可得，即，所以，则，然后通过勾股定理求出即可． 解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的最小值为． 【题型 5】依据平移法求最值（选扯搭桥问题） 【知识要点】（1）题型特征两条平行定直线，中间有固定长度桥梁、线段，从一侧定点到另一侧定点，需走过桥梁，求全程最短路径；（2）核心原理利用平移思想，把固定桥长直接平移抵消，将折线路径转化为两点之间线段最短求解；（3）必备结论桥的长度固定、方向固定，只需平移其中一个定点，平移距离 = 桥长、平移方向与桥平行；（4）适用场景河流两岸修路架桥、平行线段间过路最短、平行四边形框架内定点动线最短。 【解题步骤】（1）确定要素找出两岸两条平行线、桥的固定长度、两个起点终点定点，明确桥梁只能垂直 / 固定方向搭建。（2）定点平移将其中一个定点，沿着桥的方向平移桥长距离，得到平移对应点。（3）连线定桥位连接平移后的点与另一原定点，线段与河岸交点即为桥头落点，反向确定另一桥头。（4）计算最值最短总路程 = 平移后两点线段总长，再整理路径写出答案。 【例题5】的图像与轴交于点，与轴交于点，，是该函数图像上的两个动点，且，连结、，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应图形是解题关键． 过直线作对称点，结合平行四边形性质与两点之间线段最短，将周长转化为可计算的线段长度求解． 解： 解：作点关于直线的对称点，交直线与点， 作且， 四边形是平行四边形， 的周长为 在中， 当三点共线时，取得最小值， 当时，,当时， 由对称可知： ， 的周长为 故答案为：C． 【变式1】（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为______________. 【答案】/ 【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键． 解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示： ∵，且 ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵点关于轴的对称点为， ∴ ∴ ∵ ∴的最小值为： 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，推出的最小值是，求出即可． 解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 的最小值是，此时位于位置， 此时 故答案为：． 【点拨】本题考查最短路线问题，涉及平面直角坐标系，勾股定理、平移，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是关键． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为______． 【答案】10 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出的值是解题的关键．过点B作于H，当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 解：过点B作于H，    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形先求出长，然后求出的长度，再根据折线与线段重合时，线段的长度最短解题． 解：如图，连接；过点M作，交的延长线于点E； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，， ∴，， ∴ ， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由翻折变换的性质得：， 当折线与线段重合时，线段的长度最短， 此时， 故选C． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线（m为常数且）上，，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（　　） A．24 B．25 C．26 D．30 【答案】B 【分析】由直线关系式确定出直线过定点，把平行四边形面积最大转化为求的最大面积即可． 解：∵直线， ∴过定点， ∴， 作于H， ∴， ∴的面积的最大值， ∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是25， 故选：B． 【点拨】此题考查了一次函数性质，动点平行四边形面积最值问题，解题的关键是把求平行四边形面积最大转化为求的最大面积． 5．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 【答案】C 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项． 解：，，， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值， 此时， ，解得， 的最小值为， 的最小值为，故A结论正确，不符合题意； 当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值． 如图，作于， ， ，解得， ， ， 在中，， 的最大值为， 的最大值为，故B结论正确，不符合题意； 如图，以为一边作，过作交于， ，， ， 当，，三点共线，且时，取最小值， ， ， ， 的最小值为，故C结论错误，符合题意； 如图，过作，过作，与相交于， 作关于的对称点，分别连接，，，与交于， 则，，，四边形是平行四边形， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小值，最小值为， 的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意． 6．（24-25九年级下·安徽六安·期中）如图，在Rt中，，，，已知点是延长线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，连，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积不变 B．若点与点关于对称，则的最大值为 C．的最小值为 D．的周长的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，过点作于点，证明，得到，即得，即可判断；作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质得，由三角形三边关系得，可知当点三点共线时，的值最大，利用勾股定理求出，进而求出即可判断；由可知点到直线的距离为，即点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，可得，即得，即可判断；由，可知当点三点共线时，取得最小值，求出最小值的长，进而可求出的周长的最小值，即可判断，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故正确； 如图，作点关于的对称点，连接，则， ∵， ∴当点三点共线时，的值最大，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最大值为，故正确； ∵， ∴点到直线的距离为，即点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，，   ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故正确； ∵， ∴当点三点共线时，取得最小值，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， ∴当取最小值时，的周长最小， ∴的周长的最小值为，故错误； 综上，结论错误的是， 故选：． （2） 填空题（6题） 7．（2024·广西防城港·一模）如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为___________． 【答案】// 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识．在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___，的最大值为____． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键． 连接，由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案． 解：连接，如图： 平行四边形的坐标分别为、、、， ，， 若点关于的对称点为， ， 在中，由三角形三边关系可知：， ，即的最小值为，最大值为． 故答案为：，． 9．（2026·江苏苏州·一模）如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 【答案】4 【分析】连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得出，，根据三角形三边关系可知 ，从而得出答案即可． 解：连接，取的中点，连接，，如图所示， ，分别为边，的中点， 是的中位线， 同理，是的中位线， ， 根据三角形三边关系可知： ， 当，，三点共线时，最大，且最大值为． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质、勾股定理及三角形三边关系，正确得出是解题关键．延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值． 解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 11．（24-25八年级下·广东中山·期末）如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角定理，等边三角形性质，勾股定理，连接，，利用三角形中位线定理得到，当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，利用等边三角形性质，，再利用三角形外角定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，即可解题． 解：连接，， 点 E 是的中点，的中点为 G． ，， 点 F 是上的动点， 当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大， ， ，， ， ， ， 的最大值是． 12．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 【答案】 6 6 【分析】（1）在延长线上截取，连接，，由平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，求出，根据三角形三边关系求出的最小值； （2）由（1）求出的最大值即可． 解：（1）如图，在延长线上截取，连接，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值是； （2）由（1）得， ， 的最大值是． （三）解答题（6题） 13．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设． （1）用含x的代数式表示的值； （2）探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）；（2）当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值是5 【分析】（1）根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案； （2）根据两点之间线段最短，可得线段的最小值为的长，根据勾股定理，可得答案． 解：（1）解：∵， ∴都是直角三角形， ∵，， ∴， 在中， ∴， ， ∴； （2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过A作交的延长线于F， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是5． 【点拨】本题考查轴对称——最短路线问题和勾股定理，解题的关键是掌握轴对称——最短路线问题和勾股定理． 14．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，，将平移4个单位长度得到，点，分别是，的中点，求的最大值和最小值．    【答案】， 【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据是平移得到的，故，；根据中位线的性质，可得，根据三角形三边关系可得， 即可求得的取值范围． 解：取的中点，的中点，连接，，，，如图：    ∵是平移4个单位长度得到的， ∴， ∵点，分别是，的中点 ∴ 且满足： 故 即 的最小值等于，最大值等于． 【点拨】本题考查了平移的性质，中位线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平移的性质进行求证． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 解：如图，连接．    ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点拨】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 16．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点，与交于点，过点C作轴于E． （1）求的长； （2）点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，设点P的横坐标为t，线段的长为m，的面积为S，请先画出图形，再求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下， ①当时，m的最大值是________； ②当t的值为________时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）；（3）①9，②或 【分析】（1）将点代入求得的解析式，再求出点A的坐标根据两点间距离公式求得的长； （2）根据已知条件分别求，的解析式，由P点的坐标表示出M、N的坐标，得到的长度为底，根据C点到的距离作为三角形的高，注意有两种情况，根据三角形的面积公式求出关系式； （3）①根据t的范围即可求出最大值； ②根据和之间的位置关系和数量关系，建立方程即可求得t的值． 解：（1）∵过， ∴， 解得：， ∴， ∵交x轴于A点， 令， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵点P是x轴上一动点， 设， ∵与y轴交于点， ∴设且点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N， ∴，， ， 分两种情况： ∵， ①M、N在C点左侧时即时，    ∵， ∴， ②M、N在C点右侧时即时，    ∵， ∴， ∴综上所述； （3）①由（2）知， ∴当时，时S有最大值9， 故答案为：9； ②由（2）知， ∵轴，且， ， ∵轴， ∴， 当以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形时，只需即可， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式数形结合是解答本题的关键． 17．（24-25八年级下·全国·暑假作业）【教材原题改编】如图，的对角线和相交于点O，过点O且与边分别相交于点E和点F．求证：； 【结论应用】若，则四边形的面积为 ，的最小值为 ． 【答案】教材原题改编：见分析；结论应用：6， 【分析】本题考查平行四边形和三角形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，垂线段性质，是解题的关键． 教材原题改编：由平行四边形性质 ，得到，因此，又，即可证明，得到． 结论应用：由勾股定理求出的长，求出的面积，由，得到四边形的面积的面积，当时，的值最小，由三角形面积公式即可求出的最小值为2.4． 解：教材原题改编：证明：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 结论应用：解：∵， ∴， ∴的面积， ∵， ∴四边形的面积的面积， 当时，的值最小， ∵的面积， ∴， ∴， ∴的最小值为2.4． 故答案为：6，2.4． 18．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点． （1）的面积为______； （2）为直线上一点，连接，若，求点的坐标； （3），为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3） 【分析】（1）分别求出、点坐标，再求的面积即可； （2）当点在第二象限时，作于点，根据得出点的纵坐标为，代入解析式，进而可得点的坐标为，当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，在中，根据勾股定理得．建立方程，解方程即可求解； （3）作点关于对称，对称点为，，过点作，连接，过点作，则，连接，，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值为． 解：（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴, 故答案为：． （2）解：如图1，当点在第二象限时，作于点．    ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 令，则，点的坐标为，． ∴． ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 令，则，． ∴点的坐标为 当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点．    ∴，． ∵， ∴．由上可知，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 令，则，，点的坐标为，． 在中，根据勾股定理得． ∴． ∴． 设点的坐标为，则，． 在中，根据勾股定理得． ∴． 解得（不合题意，舍去），． 当时，． ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3），， 、在直线上， ， 作点关于对称，对称点为，， 如图，过点作，连接，过点作，    四边形是平行四边形， ， ， 连接， ， ， 在中，，， ， 的最小值为． 【点拨】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.7 平行四边形复习专题——平行四边形与动点最值问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备与题型分类精析 1 【题型 1】依据两点之间线段最短求最值 1 【题型 2】依据垂线段最短求最值 2 【题型 3】依据三角形三边关系求最值 3 【题型 4】依据轴对称求最值（将军饮马） 4 【题型 5】依据平移法求最值（选扯搭桥问题） 5 二.同步检测 6 （一）单选题（6题） 6 （二）填空题（6题） 8 （三）解答题（6题） 9 一.知识储备与题型分类精析 平行四边形是初中数学的重要内容，最值问题是历年中考命题的热点，平行四边形遇见最值问题时，题目呈现形式变化多样.解决此类问题，常用平行四边形的性质及转化思想，但不同形式的问题解决方法也有所不同。本专题按常考题型梳理出一些方法，供参考使用。 【题型 1】依据两点之间线段最短求最值 【知识要点】基本公理两点之间，线段最短；连接两点的所有连线中，线段长度最小。 【解题步骤】（1）确定定点、动点、动点所在定直线；（2）判断求和最小：作对称点，连线段 差最大：直接连线延长找交点；（4）利用勾股定理、坐标法计算线段长度，得出最值。 【例题1】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平行四边形中，，，点M、N分别是边、上的动点，连接、，点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，E，F分别为边上的点，且，连接，则的最小值为（    ） A．8 B． C．16 D． 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为_______________ 【题型 2】依据垂线段最短求最值 【知识要点】直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。 【解题步骤】（1）找出定点与动点及动点所在定直线；（2）作垂线过定点，向定直线作垂线段，（3）定最值：当动点运动到垂足位置时，即取得最小值；（4）算长度利用勾股定理、面积法、坐标法求出垂线段长度，即为所求最小值。 【要点提示】方法1：构造直角三角形，利用勾股定理直接求高，即为最值；（2）方法2：三角形面积法。 【例题2】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型 3】依据三角形三边关系求最值 【知识要点】两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【解题步骤】（1）找定长：确定题目中长度固定不变的两条线段；（2）定动点轨迹：判断动点绕哪一个定点旋转，明确旋转半径；（3）运用三角形用三边关系确定确定取等条件：取最大值：三点同向共线；取最小值：三点反向共线 【例题3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【变式1】（2025·安徽六安·一模）在凸四边形中，若对角线，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）四边形的对角线，垂足为，若，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，平面上有一点P，连接，若，取的中点M．连接，则的最小值为________． 【题型 4】依据轴对称求最值（将军饮马） 【知识要点】（1）对称轴上任意一点，到一对对称点的距离相等；（2）对称点连线被对称轴垂直平分；（3）折叠、翻折问题本质就是轴对称。 【解题步骤】（1）辨图形分清定点、动点，确定动点所在直线（对称轴）；（2）作对称选取其中一个定点，作出它关于动点所在直线的对称点；（3）化折为直连接对称点与另一个定点，所得线段与对称轴交点即为最值动点位置；（4）定结论这条线段总长 = 两条线段之和的最小值，算长度用勾股定理、坐标、几何性质计算出最短距离。 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，，为边上一点，，，为边上的两个动点，且满足，则的最小值为________． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，在边上，且，连接，，则的最小值是__________. 【变式3】（25-26九年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【题型 5】依据平移法求最值（选扯搭桥问题） 【知识要点】（1）题型特征两条平行定直线，中间有固定长度桥梁、线段，从一侧定点到另一侧定点，需走过桥梁，求全程最短路径；（2）核心原理利用平移思想，把固定桥长直接平移抵消，将折线路径转化为两点之间线段最短求解；（3）必备结论桥的长度固定、方向固定，只需平移其中一个定点，平移距离 = 桥长、平移方向与桥平行；（4）适用场景河流两岸修路架桥、平行线段间过路最短、平行四边形框架内定点动线最短。 【解题步骤】（1）确定要素找出两岸两条平行线、桥的固定长度、两个起点终点定点，明确桥梁只能垂直 / 固定方向搭建。（2）定点平移将其中一个定点，沿着桥的方向平移桥长距离，得到平移对应点。（3）连线定桥位连接平移后的点与另一原定点，线段与河岸交点即为桥头落点，反向确定另一桥头。（4）计算最值最短总路程 = 平移后两点线段总长，再整理路径写出答案。 【例题5】的图像与轴交于点，与轴交于点，，是该函数图像上的两个动点，且，连结、，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为______________. 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为______． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线（m为常数且）上，，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（　　） A．24 B．25 C．26 D．30 5．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 6．（24-25九年级下·安徽六安·期中）如图，在Rt中，，，，已知点是延长线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，连，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积不变 B．若点与点关于对称，则的最大值为 C．的最小值为 D．的周长的最小值为 （2） 填空题（6题） 7．（2024·广西防城港·一模）如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为___________． 8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___，的最大值为____． 9．（2026·江苏苏州·一模）如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 11．（24-25八年级下·广东中山·期末）如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是______． 12．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． （三）解答题（6题） 13．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设． （1）用含x的代数式表示的值； （2）探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？ 14．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，，将平移4个单位长度得到，点，分别是，的中点，求的最大值和最小值．    15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    16．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点，与交于点，过点C作轴于E． （1）求的长； （2）点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，设点P的横坐标为t，线段的长为m，的面积为S，请先画出图形，再求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下， ①当时，m的最大值是________； ②当t的值为________时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出答案） 17．（24-25八年级下·全国·暑假作业）【教材原题改编】如图，的对角线和相交于点O，过点O且与边分别相交于点E和点F．求证：； 【结论应用】若，则四边形的面积为 ，的最小值为 ． 18．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点． （1）的面积为______； （2）为直线上一点，连接，若，求点的坐标； （3），为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $