精品解析：河北唐山市曹妃甸区2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试卷

曹妃甸区2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200 2. 已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 3. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 5. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 某校科技社利用打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积V为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量m约为（ ）（，） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 当点与重合时，二面角的正切值为 D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知，，则______. 14. 在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： （2）在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 16. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，D为BC边上的动点． （1）若D为BC的中点，，，求边BC； （2）若AD平分∠BAC，，，求△ABC的面积． 17. 我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少；（精确到0.1） （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 19. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接. （1）证明：； （2）连接，求与底面所成角的正切值； （3）求二面角的平面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹妃甸区2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则 ， 即， 所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为人． 故选：． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 2. 已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合百分位数定义可解． 【详解】数据从小到大排序：3，4，5，6，7，8，9，10，共8个， 则，则这组数据的25%分位数是：． 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 4. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD. 【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误； 对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误； 对于C，两个骰子的点数之和为的情况有， 则， 所以，所以与相互独立，C正确； 对于D，两个骰子的点数之和为的情况有， ，所以，D错误. 故选：C. 5. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由事件互斥，且都不发生为，则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得. 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简已知等式，可得，求出，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故 即， 即， 故或（舍去）， 即，而，故， 故， 故选：B 8. 某校科技社利用打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积V为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量m约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过半球体积求出半径，求出圆台体积，再求质量即可. 【详解】设球的半径为，因为半球的体积V为，即，解得， 所以圆台的上底面半径及高均是3， 所以圆台的体积为， 所以该模型所需原料的质量m约为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合共轭复数的概念，以及复数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D不正确. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，根据方差性质得到的方差可判断. 【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确； B选项，的平均数为， 方差，故B正确； C选项，这10个数据从小到大排列为， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是，故C错误； D选项，不妨设，则， 即数据的极差为12，由方差性质知，故D正确． 故选：ABD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 当点与重合时，二面角的正切值为 D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据锥体的体积公式判断A，通过反证，利用平面与平面和平面的交线、是否能平行来判定B，取的中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，再由锐角三角函数判断C，作出截面，求出截面面积，即可判断D. 【详解】对于A，随着的移动，但是点到平面的距离始终不变即为线段的长度， 故是定值，故A正确； 对于B，如图所示， 连接，为侧面的中心， 平面与平面和平面分别交于线、， 若存在点使平面平面，则，又， 则四边形为平行四边形，即，而， 此时应在延长线上，故不存在线段上一个动点，使平面平面，故B错误； 对于C，取的中点，连接，，又，， 所以，，所以为二面角的平面角， 又平面，平面，所以， ，所以， 即二面角的正切值为，故C正确； 对于D，连接，，，，依题意可知，，， 所以， 所以四边形为平面截正方体所得截面，又，，， 如下平面图形，过点作，过点作， 则，所以， 所以， 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】先由条件得到，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为： 13. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】应用余弦定理结合正弦定理计算. 【详解】由正弦定理得，结合题设， 所以， 所以. 故答案为： 14. 在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，由已知可得时，体积最大值，进而可求直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，所以，所以， 又因为平面，所以，所以， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当时取最大值， 取的中点，连接，所以， 所以（或其补角）为直线与所成的角， 因为，，， 所以， 直线与所成角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： （2）在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）；第75百分位数为84． （2）5个 （3）总平均数，总方差． 【解析】 【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出的值，再判断第75百分位数，然后列方程可求得结果； （2）先根据频率分布直方图计算出成绩在和样本人数得成绩在的比例系数，再根据比例抽样即可； （3）先计算成绩在和的市民人数，再根据分层随机抽样的总平均数和总方差的公式计算即可. 【小问1详解】 （1）由每组小矩形的面积之和为1得， ，所以． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第百分位数，由， 解得，所以第百分位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有 个样本， 成绩在的市民人数为， 所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 ． 16. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，D为BC边上的动点． （1）若D为BC的中点，，，求边BC； （2）若AD平分∠BAC，，，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可求，进而得，两边平方结合已知可求，再结合余弦定理可求得； （2）设，由角平分线可求得，利用角平分线可得，可求，进而结合余弦定理，可求三角形的面积. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，，所以，所以， ∵为的中点， ∴， 平方得 又， ，， 由余弦定理得：， ∴； 【小问2详解】 设， ∵平分，∴， 又，得， ∵平分，则， 所以，解得，则，， 在中，，则， 所以． 17. 我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少；（精确到0.1） （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数等于各小矩形的面积乘以各组中值的和，即可求出； （2）先判断第三四分位数在内，根据百分位数公式即可求出； （3）先根据分层抽样确定第5，6组人数，再根据古典概型的概率公式即可求出． 【小问1详解】 本次考试成绩的平均数约为 . 所以本次考试成绩的平均数. 【小问2详解】 因为， ， 所以第三四分位数，即第75百分数在内， 所以第三四分位数， 所以估计第三四分位数约为 【小问3详解】 第5组人数为，第6组人数为， 被抽取的成绩在内的4人，分别记为，，，； 成绩在内的3人，分别记为，，；则从这7人中随机抽取2人的情况为： ， ，， 共21种； 其中被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，，，，，共15种. 故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为. 18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案； （2）由可得，然后利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 得， 得， 因为，所以，即. 【小问2详解】 因为， 所以. 因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立）， 所以．故△ABC面积的最小值为. 19. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接. （1）证明：； （2）连接，求与底面所成角的正切值； （3）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）证明平面即可； （2）作于点，则是的中点，连接，则为与底面所成的角，即可求解； （3）作，垂足为，则为的中点，连接，则，所以为所求二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以. 因为底面为正方形，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为为的中点，，所以. 又因为，所以平面. 因为平面，所以. （2）作于点，则是的中点，，且， 底面. 连接，则为与底面所成的角. 设，在中，，， 所以. （3）解：作，垂足为，则为的中点，连接，则，所以为所求二面角的平面角. 在中，，，所以. 【点睛】本题考查空间中直线与直线垂直的证明，考查线面角、面面角的求法，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $