解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形中的解三角形问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形四大核心问题，即中线、角平分线、高线及多三角形综合问题，按知识点解析、解题原理、思路提炼的逻辑架构组织内容，通过考点系统梳理、解题方法指导、真题例题与变式训练，帮助学生构建知识网络并突破难点。 资料以“工具+策略”为特色，如中线问题用阿波罗尼斯定理建立方程，角平分线问题结合比例定理拆分线段，培养学生数学思维与模型观念。设置分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解三角形综合应用能力。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形中的解三角形问题复习讲义 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 多三角形中的解三角形问题 知识点解析 考点一三角形中线问题 知识点 1.阿波罗尼斯定理（中线长公式） 在△ABC中，BC=aAC=b,AB=c,AD为BC边上中线，则： b2+c2=2AD2+2(号)2 2.向量结论 Ai=(A+AC,可结合向量数量积求边长、夹角。 3.配套工具：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式。 解题原理 利用中线分割出两个共边小三角形，结合中线专属公式、边角定理，建立边长、角度的方程求解。 解题思路 1.标记三角形边角、中线及分段线段： 2.优先选用中线长公式直接列式，或把大三角形拆分为两个小三角形： 3.对拆分出的三角形分别使用正、余弦定理； 4. 联立方程求解边长、角度、中线长度。 考点二三角形角平分线问题 知识点 1.角平分线定理（核心） AD平分∠BAC,交BC于D,则： 咒=器 2.角平分线长公式 设角平分线AD=ta,LBAD=LCAD=号： 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 2bccos 3.推论：等角条件可直接得到sin∠BAD=sin∠CAD、cos∠BAD=COSLCAD。 解题原理 利用角平分线带来的等角、边长比例关系，结合比例定理与正、余弦定理搭建等式求解。 解题思路 1.由角平分线得到等角，以及对应线段比例； 2.用角平分线定理拆分底边，得到两段线段的比例关系； 3.在两个小三角形中分别运用正弦/余弦定理； 4. 结合三角恒等变换，联立求解边角、角平分线长度。 考点三三角形高线问题 知识点 1.核心关系 高线将原三角形分为两个直角三角形，高线h同时为两个直角三角形的直角边。 2.面积推导式 S=a·ha=b·hb=c·hc,同一三角形面积相等。 3. 边角关系：高线与底边垂直，出现90°角，可用勾股定理、锐角三角函数。 解题原理 高线构造直角三角形，借助垂直特性、面积等量关系、勾股定理与三角公式求解。 解题思路 1.作出高线，拆分出两个直角三角形： 2.利用垂直得到直角，使用勾股定理、锐角三角函数： 3.巧用面积相等建立等式，快速求高线、边长； 4.结合正、余弦定理，求解原三角形的未知角与边。 考点四多三角形综合问题 知识点 1.图形特征：由两个及以上三角形拼接、嵌套、共边、共角组成。 2.通用工具：正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、内角和、面积公式。 y 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 3.隐含条件：公共边、公共角、互补角、互余角、对顶角（解题关键）。 解题原理 以公共边/公共角为桥梁，逐个分析单个三角形，将多个三角形的边角条件串联，联立方程求解。 解题思路 1.拆分图形，逐个标注所有三角形的已知边、己知角； 2.锁定公共边、公共角，以此作为解题突破口； 3.从条件最充分的三角形入手，先求出可解的边、角： 4.将求出的结果作为相邻三角形的已知条件，依次递推计算； 5.多个方程联立，求解最终未知量。 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点一 中线问题 【例题分析】 例1.(25-26高三下·河北保定·阶段检测)已知4，b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边， a cosC+3asin C-b-c=0 (1)求角A; (2)若a=2,ABC的面积为5，求b,c; (3)若a=√5，且ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围. 例2.(2026辽宁.三模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知向量m=(sinA,sinB), n=(cosB,cosA,且m·n=sin2C, (1)求角C的大小： (2)若ABC为锐角三角形，c=√5，求a+b的取值范围： (3)设ABC的面积为√，AB边上的中线CD长为2，求C的长. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026四川宜宾一模)记ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知√5c=√5 acosB+asinB (1)求角A: (2)已知BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,且AB=2,AC=4,求∠MPN的余弦值， 【变式训练】 变式1，(2026重庆模拟预测)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 sin(A-B)=sin(A+C)+sin C. (1)求A; 2若a=7,边BC上的中线4D=7,设点0为4ABC的外接圆圆心，求40D的值 2 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(25-26高三上·吉林长春·阶段检测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 sin2B-sinBsinC=sin2A-sin2C. (1)求角A: (2)若b2+c2=12,ABC的面积为5，D为线段BC中点，求中线AD的长度. 变式3.(2026·海南省直辖县级单位模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知 (a 2c)cos B+b cos A=0. (1)求B; (2)若b=7,c=3,求AC边上的中线BD的长. 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点二 角平分线问题 【例题分析】 例1.(2026云南模拟预测)已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,AD为∠BAC的角平分线， AB=2AC,BD= 2√17 C,,且asin B=bcosA (1)求角A; (2)求ABC的面积. 例2.(2026河南新乡·三模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(sinB+sinC)=asin A-bsin B (1)求A: ②考a=7,点D为边BC的巾点，4D=5,∠B1C的角平分线交BC于E,求AE 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026湖北黄石模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 sin 2A cos B-cosC 1+cos2A sin C-sin B (1)求A; (2)若c=2,a=√6，∠BAC的角平分线交BC于D,求AD. 【变式训练】 变式1.(24-25高三上河北秦皇岛期末)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+cosC=0,且 c=/3b. (1)求C; (2)若a=2,记∠BAC的角平分线与BC交于点D,求AD. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(2026·湖北武汉三模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, sin24+cos2B+cos2C=2+sinBsinC. (1)求角A的大小： (2)若a=2V3,∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD长度的最大值. 变式3.(24-25高三下·云南德宏月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=√5，且 vsnCams5asnB. (1)求cos4; @若点D在线段BC上，4D为ZBAC的角平分线，且40230，求ABC的晶3 9 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点三 高线问题 【例题分析】 例1.2026河北邢台二枚)在48C中，内角A,,C所对的边分别为4，b,6,.西=b, 25b C= 3 (1)求cosA的值： (2)若AB边上的高为26，求ABC的周长. 例2.(2026四川泸州模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且2 cosC=2a+c· (1)求B; (2)已知a=1,b=√7，求AC边上的高. ⊙ 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026河北模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c=2b,A=120°. (I)求cosB的值： (2)若a=4,求BC边上的高. 变式2.(2026山东枣庄三模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C且 (a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=(2+3)asin C (1)求B; (2)若b=2,记4C边上的高为h,求h,的最大值 y 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点四 多三角形中的解三角形问题 【例题分析】 例1.(2026：重庆模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足bcosC cosB =2a-c (1)求角B; (②)若AB=3,BC=9,点D为AC边上靠近点A的三等分点，求BD的长 例2.(25-26高三上·江西·期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,∠AOB=0 B (1)求证：AD2+BC2-AB2-CD2=2AC·BDcose0: (2)己知AB=2,BC=CD=2V3,AD=2√7,0=60° ①求四边形ABCD的面积； ②若△ABD与△BCD面积相等，求证：AC⊥CD 12 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,己知∠AOD=60°， AC=3,BD=6,且AD=BC B D C (1)求BO的长； 2若7s2∠0cB-君-8N5cos∠0D1-15,求s20D4的值， 【变式训练】 变式1.(2025山东潍坊一模)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,已知acosC+b=0, 6② 4c. (I)求cosC; ②若ABC的面积为：，D是BC上的点，且∠ADB=3云，求CD的长. 4 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(24-25高三上浙江·月考)如图，四边形ABCD中，AB=1,CD=AD=2,BC=3,LBAD+∠BCD=π. D B P (I)求∠BAD; (②)P为边BC上一点，且△PCD的面积为√5，求△ABP的外接圆半径. 变式3.(2025·江苏扬州模拟预测)如图，四边形ABCD中，己知BC=1,AC2=AB2+AB+1. B D (I)若ABC的面积为5，求ABC的周长； (2)若AB=3,∠ADB=60°，∠BCD=120°，求∠BDC的值. 142026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形中的解三角形问题复习讲义 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 多三角形中的解三角形问题 知识点解析 考点一 三角形中线问题 知识点 1. 阿波罗尼斯定理（中线长公式） 在中，，为边上中线，则： 1. 向量结论 ，可结合向量数量积求边长、夹角。 1. 配套工具：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式。 解题原理 利用中线分割出两个共边小三角形，结合中线专属公式、边角定理，建立边长、角度的方程求解。 解题思路 1. 标记三角形边角、中线及分段线段； 1. 优先选用中线长公式直接列式，或把大三角形拆分为两个小三角形； 1. 对拆分出的三角形分别使用正、余弦定理； 1. 联立方程求解边长、角度、中线长度。 考点二 三角形角平分线问题 知识点 1. 角平分线定理（核心） 平分，交于，则： 1. 角平分线长公式 设角平分线，： 1. 推论：等角条件可直接得到、。 解题原理 利用角平分线带来的等角、边长比例关系，结合比例定理与正、余弦定理搭建等式求解。 解题思路 1. 由角平分线得到等角，以及对应线段比例； 1. 用角平分线定理拆分底边，得到两段线段的比例关系； 1. 在两个小三角形中分别运用正弦/余弦定理； 1. 结合三角恒等变换，联立求解边角、角平分线长度。 考点三 三角形高线问题 知识点 1. 核心关系 高线将原三角形分为两个直角三角形，高线同时为两个直角三角形的直角边。 1. 面积推导式 ，同一三角形面积相等。 1. 边角关系：高线与底边垂直，出现角，可用勾股定理、锐角三角函数。 解题原理 高线构造直角三角形，借助垂直特性、面积等量关系、勾股定理与三角公式求解。 解题思路 1. 作出高线，拆分出两个直角三角形； 1. 利用垂直得到直角，使用勾股定理、锐角三角函数； 1. 巧用面积相等建立等式，快速求高线、边长； 1. 结合正、余弦定理，求解原三角形的未知角与边。 考点四 多三角形综合问题 知识点 1. 图形特征：由两个及以上三角形拼接、嵌套、共边、共角组成。 1. 通用工具：正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、内角和、面积公式。 1. 隐含条件：公共边、公共角、互补角、互余角、对顶角（解题关键）。 解题原理 以公共边/公共角为桥梁，逐个分析单个三角形，将多个三角形的边角条件串联，联立方程求解。 解题思路 1. 拆分图形，逐个标注所有三角形的已知边、已知角； 1. 锁定公共边、公共角，以此作为解题突破口； 1. 从条件最充分的三角形入手，先求出可解的边、角； 1. 将求出的结果作为相邻三角形的已知条件，依次递推计算； 1. 多个方程联立，求解最终未知量。 考点一 中线问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 例2．（2026·辽宁·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 例3．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小； （2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即，即， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，， 由题意可知：， 又因为，， 则，即； ，即； 且； 可得， 所以的余弦值为. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两角和差的正弦公式对已知条件进行化简整理，得到，即可求解. （2）由余弦定理及中线可得，结合三角形外接圆性质得到，，根据垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律得到，，进而求解即可. 【详解】（1）在中，，所以，同理可得，. 由，得， 即， 整理得， 又，所以，所以，即， 又，所以. （2）在中，由余弦定理，得， 又，所以， 即，也即， 解得， 令，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 变式2．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角； (2)若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理解三角形求解即可； （2）由三角形面积公式可得，再由结合向量数量积运算律计算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以； （2）因为，所以， 因为D为线段BC中点，所以， 则. 变式3．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角函数恒等变换公式化简求值即可. （2）利用余弦定理求出，再用向量的中线公式求得中线长. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，， 即， 所以． 因为，所以， 即，所以． 因为，所以． （2）因为，，， 由余弦定理得，，解得． 由向量的中线公式可得， 所以 ． 考点二 角平分线问题 【例题分析】 例1．（2026·云南·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，，，且． (1)求角A； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理边化角，再求解； （2）根据角平分线性质定理和余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）因为AD为的角平分线，所以， 所以， 又，所以， 所以 例2．（2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得边的关系，根据余弦定理得的大小； （2）根据余弦定理和中线向量可求，再根据面积关系可求的长. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）由（1）得，即.① 因为，所以， 即，所以.② 由①②得， 所以，所以. 因为，且， 所以，即， 所以. 例3．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用二倍角公式化简，由三角恒等变换结合三角形内角和即可求解. （2）通过余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1），， 即， 所以，又因为，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以. （2）由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得： 【变式训练】 变式1．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）记的内角的对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若，记的角平分线与BC交于点D，求AD． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知化简可得，然后根据特殊角的正切值求出角即可； （2）利用余弦定理及求得，，利用等面积法，结合三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，又， 所以，所以， 又因为，所以． （2）由余弦定理可得，即， 又，则，解得：，或（舍去），所以， 根据面积关系可得， 即， 即， 又，所以． 变式2．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小. （2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值. 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 变式3．（24-25高三下·云南德宏·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求cosA； (2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理化简等式，根据三角函数的二倍角公式，可得答案； （2）根据图形组合建立面积的等式，利用余弦定理，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）由，得，所以， 所以． （2） 由（1）知．由题意知，， 即，化简得． 在中，，，根据余弦定理有， 则， 解得，从而， 所以的周长为． 考点三 高线问题 【例题分析】 例1．（2026·河北邢台·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，. (1)求的值； (2)若边上的高为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量的数量积以及余弦定理化简即可. （2）由三角形的面积公式以及等面积法求解即可. 【详解】（1）由，得，所以， 由余弦定理得， 即，得，所以， 由余弦定理得. （2）由（1）得，，， 所以的面积， 又边上的高为，所以， 所以，解得， 所以的周长为. 例2．（2026·四川泸州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)已知，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可将条件整理为，因为，故可求得，即可得； （2）根据余弦定理得到关于的方程并求解，再由等面积法求边上的高. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，即， 整理可得，中， 所以，且，所以； （2）由，则，即， 所以（负值舍），设边上的高为，则， 所以. 【变式训练】 变式1．（2026·河北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求BC边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式结合余弦定理可得，从而再由余弦定理可得的值； （2）根据与的关系可分别得的值，再根据三角形面积公式列方程即可得BC边上的高． 【详解】（1）由余弦定理得, 所以， 从而可得； （2）由（1）可得，，， 则的面积， 设BC边上的高为， 则，所以， 故BC边上的高为. 变式2．（2026·山东枣庄·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.且. (1)求； (2)若，记边上的高为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解． 【详解】（1）根据正弦定理可得， 化简整理得， 由余弦定理得， 因为，故； （2）由，得， 又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，． 考点四 多三角形中的解三角形问题 【例题分析】 例1．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，，点为边上靠近点的三等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简求解； （2）由题意可得，根据向量数量积运算律计算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，， 即，， 又因为， 所以，且， 所以，因为，所以. （2）因为点为边上靠近点的三等分点， 所以， ， ， 所以，即的长为. 例2．（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.    (1)求证：； (2)已知. ①求四边形的面积； ②若与面积相等，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明； （2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积； ②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可 【详解】（1）由余弦定理得 在中，① 在中，② 在中，③ 在中，④ 由③+④-①-②得： . 故 （2）①由（1）得， 又 可求得. 又四边形的面积为 . ②由若与面积相等，因为为公共底边， 故两个三角形上的高相等，即，所以. 设. 在中得：，即 在中得：.两式相加得：，两式相减得：， 所以，故. 故，所以. 又，所以， 由勾股定理得：. 例3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解. 【详解】（1）设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； （2）由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 【变式训练】 变式1．（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【详解】（1）因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. （2）因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 变式2．（24-25高三上·浙江·月考）如图，四边形中，．    (1)求； (2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意，在和中，利用余弦定理，分别求得的表达式，两式作差求得，即可求解； （2）由（1）求得，利用余弦定理求得，结合题意，求得，进而求得，再在和中，求得，进而得到，得到，利用正弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式作差得：，解得， 因为，所以． （2）解：因为 由（1）知，可得，且， 则所以， 在中，可得，所以， 在中，可得， 在中，可得， 可得,所以，则， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得， 所以的外接圆半径为． 变式3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形中，已知，． (1)若的面积为，求的周长； (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再由面积公式求出，从而求出，即可得解； （2）设，表示，再分别在、利用正弦定理得到，再由三角恒等变换公式计算可得. 【详解】（1）在中，， 因为，所以， 由，得， ∴，即， ∴，即的周长为； （2）设，则， 又，所以，， 在中，由，得， 在中，由，得， ∴，即， 即，， 即，即， ∴， ∵，∴， ∴，解得，即的值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $