解三角形：周长问题、面积问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习讲义

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 考点目录 周长问题 面积问题 知识点解析 考点一 周长问题 解题原理 1. 三角形周长 ，依托正弦定理边角互化、余弦定理实现边、角统一表达。 1. 定角、定边条件下，利用内角和、三角恒等变换，将周长转化为单一三角函数形式。 1. 结合三角形内角范围、三角函数有界性与单调性，或利用基本不等式，求解周长最值与取值范围。 1. 核心约束：三角形内角范围、两边之和大于第三边、大边对大角。 解题思路 1. 梳理已知条件（定边、定角、边角关系）； 1. 边角统一： 多角用边化角，多边用角化边； 1. 利用 消元，和差、辅助角公式化简； 1. 锁定角的有效取值区间； 1. 借助三角函数值域或基本不等式，求周长最值、范围； 1. 检验三角形构成条件，舍去不合理结果。 考点二 面积问题 解题原理 1. 核心面积公式： · 以两边及其夹角为核心模型。 1. 结合正、余弦定理，实现边、角、夹角正弦相互转化。 1. 面积表达式可化为三角函数型或边长二次型，利用函数性质、基本不等式求最值。 1. 若为锐角三角形，额外限制角度范围，压缩取值区间。 解题思路 1. 根据已知条件，选择合适的面积公式； 1. 利用正、余弦定理补全缺少的边或角； 1. 统一变量：统一为角函数或边长代数式； 1. 恒等变形化简，结合区间求最值； 1. 含两边结构，常用基本不等式 求面积上限； 1. 结合题干限制（锐角、边长范围）确定最终结果。 共性总结 1. 两大工具：正弦定理（边角互换）、余弦定理（边与夹角）； 1. 统一思想：多变量化单变量，三角化一函数、边长化二次式； 1. 求解关键：角的范围优先，最值依靠三角函数性质 + 基本不等式； 1. 高频组合：定边定角模型是周长、面积最值的核心考法。 真题速递 1．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 考点一 周长问题 【例题分析】 例1．（2026·江西九江·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，结合，即可求出； （2）由数量积的定义可求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 又因为，所以. （2）由， 所以，又因为， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，所以， 所以的周长为：. 例2．（2026·河北邢台·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，. (1)求的值； (2)若边上的高为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量的数量积以及余弦定理化简即可. （2）由三角形的面积公式以及等面积法求解即可. 【详解】（1）由，得，所以， 由余弦定理得， 即，得，所以， 由余弦定理得. （2）由（1）得，，， 所以的面积， 又边上的高为，所以， 所以，解得， 所以的周长为. 例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可； （2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得. 【详解】（1）在中，由射影定理得， 则题述条件化简为， 由余弦定理得． 可得                   所以. （2）在中， 由正弦定理得， 则周长， 因为，则， 因为为锐角三角形，， 则得， 故． 例4．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知的内角的对边分别为． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得答案； （2）利用正弦定理求出的表达式，根据为锐角三角形确定B的范围，求出三角形周长的表达式并化简，结合正切函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知中，， 即，即， 故，而； （2）由（1）知，而， 故由正弦定理得，则 ， 由为锐角三角形，则，则， 故的周长 ， 而，故， 故的周长的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·山东济南·二模）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得，结合三角形内角关系即可证明结论；、 （2）根据可得，结合二倍角公式化简可得，从而得到，根据边上的高为​，可得，即可求解 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 因为在中，， 所以，即， 因为在中，， 所以或（舍去）， 则， 则在中，， 即， 所以为等腰三角形； （2）由（1）知因此； 因为，代入 得：， 所以，得 因为为三角形内角，， 故：， 由于，所以 因为边上的高为​，， 所以，解得： 因为， 所以 因此， 所以的周长为： 变式2．（2026·广东深圳·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若的面积为1，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出A，解法1由正弦定理及两角差的正弦公式化简可得，即可由同角三角函数基本关系求，解法2由正弦定理及条件可得，再由余弦定理及正弦定理求解； （2）解法1由正弦定理及面积公式求出即可得解，解法2由正弦定理及条件得出，在直角三角形中设，再由面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理，可得， 且，则， 解法1：， 由正弦定理：，， 所以，即， 又因为，解得， 因为，所以； 解法：因为，， 所以由，即， 不妨设， 由余弦定理，即， 解得， 由正弦定理，， 所以. （2）解法1： 由（1）知，，，， 由正弦定理，， 于是， ， 所以， 解得，所以， 所以； 解法2：由（1），，， 则，所以， 如图，延长，过点作， 由，则， 设， 所以， 所以， 则解得， 于是. 变式3．（2026·江西景德镇·模拟预测）锐角△中，角，，的对边分别为，，，面积. (1)求的值； (2)若，求△的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形面积公式可得，根据三角形内角的性质及和角正弦公式可得，即可得目标式的值. （2）由题设及（1）的结论有且，讨论、的大小结合余弦定理求的范围，进而可得△的周长的取值范围. 【详解】（1）由题设，，即， ∴，又， ∴， ∴，由，可得，即， ∴. （2）由（1）及知：， ∴，且，△为锐角三角形， 当为最大边，，则，可得； 当为最大边，，则，可得； 综上，. ∴. 变式4．（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 考点二 面积问题 【例题分析】 例1．（2026·安徽滁州·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求； (2)若是边上一点，且满足，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理可得，则可得，再利用正弦定理计算即可得； （2）设，利用可得，再利用余弦定理计算即可得，从而可得为正三角形，再利用面积公式计算即可得解. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， ，即， ，， 在中，由正弦定理得：，； （2）记，则， ，． 在和中，由余弦定理得：， 解得：，是边长为6的正三角形，故， 的面积． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，在外一点满足，如图，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正、余弦定理、三角恒等变换，再结合三角形内角和，将边的关系转化为角的关系化简得，求得； （2）将四边形分解成两个三角形的面积之和，将面积表示为三角函数形式，通过三角恒等变换求四边形面积的最大值即可. 【详解】（1）（1）由， 由余弦定理得：， 即， 由正弦定理得：， 即， 又， 所以， 故， 又，所以， 又，所以，所以， 即． （2）因为，且， 所以为等边三角形． 设， 在中，由余弦定理得，， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 例3．（2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可； （2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. （2）由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 例4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知三内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理统一为角的三角函数等式，再通过三角形内角和关系替换角并消去公因式，由辅助角公式解得角； （2）先用余弦定理建立边的等量关系，再结合基本不等式求出的最大值，最后代入面积公式求得面积最大值. 【详解】（1）根据正弦定理得： 中，因此， 代入上式消去得： 因为，，两边同除以整理得： ， 由得，因此，即， （2）由余弦定理，代入、得： 由基本不等式，得： 即，当且仅当时取等号， 的面积， 代入的最大值得： 因此面积的最大值为. 【变式训练】 变式1．（2026·河南洛阳·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，，求△ABC的面积． 【答案】(1) (2)无解. 【分析】（1）利用正弦定理，边角互化求解即可； （2）利用的长建立方程求出△ABC的边，利用面积公式即可. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以， 由△ABC为锐角三角形，从而， 所以． （2）由，即 从而， 两边平方可得：， 又，，，即， ∴，∴， ∴（负值舍去）， 从而， 由，则 从而为钝角，不合题意，满足题意中的三角形不存在. 变式2．（2026·湖北宜昌·二模）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：； (2)设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）结合题意与正弦定理得到，再利用余弦定理证明即可. （2）利用余弦定理建立方程，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，最后结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得. （2）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为与互补，所以， 即，则， 整理可得，所以， 此时，可得为直角三角形， 故的面积为. 变式3．（25-26高三上·四川资阳·月考）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若的周长为6，求面积S的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用余弦定理可得，整理后可知，进而可求解. （2）由三角形周长可得，利用基本不等式可解得最值. 【详解】（1）由余弦定理，得，即 则， 所以 又，所以． （2）由题意，， 根据余弦定理，得， 则， 所以， 当且仅当时取等号 所以面积， 故面积S的最大值为． 变式4．（2025·新疆喀什·模拟预测）记的内角的对边分别为，,点在上，且，. (1)判断的形状； (2)若四边形满足，．求四边形面积的最大值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，由正弦定理得到，求得，得到，进而得到的形状； （2）由（1）得，因为，得到，结合基本不等式，求得，求得所以，进而求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：由，可得，即， 因为，所以，所以，解得， 由正弦定理，可得且， 又因为且， 所以，所以， 所以，所以，则， 所以是等腰直角三角形． （2）解：由（1）知是等腰直角三角形，因为，所以， 因为，在直角中，可得， 又因为，当且仅当时取等号，故， 所以， 所以，即四边形面积的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 考点目录 周长问题 面积问题 知识点解析 考点一 周长问题 解题原理 1.三角形周长C=a十b十c,依托正弦定理边角互化、余弦定理实现边、角统一表达。 2.定角、定边条件下，利用内角和、三角恒等变换，将周长转化为单一三角函数形式。 3.结合三角形内角范围、三角函数有界性与单调性，或利用基本不等式，求解周长最值与取值范围。 4.核心约束：三角形内角范围、两边之和大于第三边、大边对大角。 解题思路 1.梳理已知条件（定边、定角、边角关系）： 2.边角统一： 多角用边化角，多边用角化边； 3.利用A+B十C=π消元，和差、辅助角公式化简； 4.锁定角的有效取值区间； 5.借助三角函数值域或基本不等式，求周长最值、范围； 6.检验三角形构成条件，舍去不合理结果。 考点二面积问题 解题原理 1.核心面积公式： S=absinC=bcsinA=acsinB 以两边及其夹角为核心模型。 2.结合正、余弦定理，实现边、角、夹角正弦相互转化。 3.面积表达式可化为三角函数型或边长二次型，利用函数性质、基本不等式求最值。 4.若为锐角三角形，额外限制角度范围，压缩取值区间。 解题思路 1.根据已知条件，选择合适的面积公式： 2.利用正、余弦定理补全缺少的边或角； 3.统一变量：统一为角函数或边长代数式： 4.恒等变形化简，结合区间求最值： 5. 含两边结构，常用基本不等式b≤（学）子求面积上限： 6.结合题干限制（锐角、边长范围）确定最终结果。 共性总结 1.两大工具：正弦定理（边角互换）、余弦定理（边与夹角）： 2.统一思想：多变量化单变量，三角化一函数、边长化二次式： 3.求解关键：角的范围优先，最值依靠三角函数性质+基本不等式： 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 4.高频组合：定边定角模型是周长、面积最值的核心考法。 真题速递 1.(2025·上海·高考真题)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c=5. 0*品0Ac-受求4： (2)若ab=20,求ABC的面积的最大值. 2.(2024新课标I卷高考真题)记ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V2cosB, a2+b2-c2=2ab (1)求B: (2)若ABC的面积为3+√5，求c. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点一 周长问题 【例题分析】 例1.(2026江西九江二模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a sin B=bcosA. (1)求A; (2)若AB.AC=2,a=√2，求ABC的周长， 例2.(2026河北那台二模)在48C中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,6,G.西=b, e=256 3 (I)求cosA的值： (2)若AB边上的高为2√6，求ABC的周长 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026贵州贵阳模拟预测)记ABC内角A,B,C的对边分别为α，b,c,且 (a2+b2-c2)(acosB+bcosA)=abc. (1)求C: (2)若ABC为锐角三角形，c=2,求ABC周长范围. 例4.(2025辽宁大连模拟预测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c-V3 )sinC=(a-b)(sinA+sinB). (1)求A; (2)若ABC为锐角三角形，且b=6,求ABC的周长1的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026山东济南二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c(2cosC-cosA)=acosC, B≠2C. (I)证明：ABC为等腰三角形； (2)若AB边上的高为V15,且7cosA=2cosB,求ABC的周长. 变式2.(2026：广东深圳二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2+V2bc,sinB=C a (I)求sinB的值； (②)若ABC的面积为1，求ABC的周长. 5 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2026江西景德镇模拟预测)锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,面积 S=c2sin B(cosC+cosB 2 ①)求的值： (2)若c=1,求△ABC的周长I的取值范围 1 变式4.(2025：内蒙古赤峰：一模)设48C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,G,acosC+2C=b. (1)求角A的大小； (2)若a=2,求ABC周长I的取值范围. 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点二 面积问题 【例题分析】 例1.(2026安微滁州二模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且c=6,a=2V3. ()①若asinA-bsinB=(2b+c)sinc,求sinC; (2)若D是边AC上一点，且满足AD=3DC=BD,求△BCD的面积. 例2.(2026陕西西安·模拟预测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (acosC+eos)in a+c 2 D (1)求B; (2)若AB=BC,在ABC外一点D满足AD=3CD=3,如图，求四边形ABCD面积的最大值. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026：涧南浙江模拟预测)在ABC中，角4，B,C的对边分别为a,,c,且osC= 2 cos4 tan BtanC-1' (I)求B的大小： (2)若ABC为锐角三角形且b=√3，求ABC面积的取值范围. 例4.(2026陕西咸阳·模拟预测)已知ABC三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+√3 bsinA=c+b. (1)求角A的值： (2)若a=2,求ABC面积的最大值 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026·河南洛阳模拟预测)在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 √2c=2 asin C. (1)求角A的大小： (2)若c=2√2，BM=2MC,AM=√2，求△ABC的面积. 变式2.(2026·湖北宜昌·二模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB+sinC=2 sinAcosB (1)求证：a2-b2=bc: (2)设点D为线段AB延长线上一点，若AB=3,BD=1,CD=5,求△ACD的面积 9 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2526高三上~四川资阳月考)在ABC中，内角4、B、C所对的边分别为a、b、C,且c0sC=2b-c 2a (1)求角A的大小： (2)若ABC的周长为6，求ABC面积S的最大值. 变式4.(2025·新疆喀什·模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinB+cosB=√2，点D在BC上， 且BD=V3DC,sin∠BAD=√3sin∠DAC. (I)判断ABC的形状： 《②若四边形ABCE满足∠AEC=),AB=2.求四边形ABCE面积的最大值。 9