解三角形中的最值与范围问题讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中的最值与范围问题，整合正弦定理、余弦定理等核心定理，梳理隐含条件、边角互化等常用关系，构建从知识点解析到解题原理归纳再到解题思路梳理的系统架构。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破边角转化、函数构造等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的应用，如通过边化角将问题转化为三角函数求值域，或角化边结合基本不等式求最值，培养学生的推理能力和运算能力。设置分层例题与变式训练，如锐角三角形周长范围问题的多解法探究，助力学生在有限时间内掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有效支撑。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形中的最值与范围问题复习讲义 知识点解析 一、知识点 1. 核心定理：正弦定理、余弦定理、面积公式 1. 隐含条件：，大边对大角，锐角/钝角限定 1. 常用关系：边角互化、两角互余互补、三角恒等变换 1. 最值载体：边长最值、周长最值、面积最值、角范围、代数式取值范围 二、解题原理 1. 边化角：利用正弦定理统一为角，借助三角函数有界性求范围 1. 角化边：利用余弦定理统一为边，结合基本不等式求最值 1. 约束原理：三角形内角范围、三边不等关系限制变量取值 三、解题思路 1. 统一变量：全化为角或全化为边，减少变量个数 1. 确定定义域：锁定角或边长的取值范围 1. 构造函数：化为单一三角函数或二元均值结构 1. 求值域/最值：利用三角单调性、基本不等式求解 1. 检验取舍：结合三角形三边、内角条件舍去不合范围值 例题分析 例1．（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，．    (1)求的长及四边形的面积； (2)若点为四边形所在平面上一点（，在异侧），，求四边形面积的最大值． 例3．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 例4．（2026·湖南·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 变式训练 变式1．（2026·浙江·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围． 变式2．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 变式3．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在中，内角的对边分别为．若， (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)，为直线上的两个动点，连接，．记点在每个位置时，的最小值为．若，求的取值范围． 变式4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 的三个内角 的对边分别为 为三角形 的面积，且 . (1)判断 的形状； (2)若 为 所在平面内一动点， ， 分别位于直线 的异侧，， ，记 ，求四边形 面积的取值范围. 实战演练 1．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 2．（2026·广东·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形中的最值与范围问题复习讲义 知识点解析 一、知识点 1. 核心定理：正弦定理、余弦定理、面积公式 1. 隐含条件：，大边对大角，锐角/钝角限定 1. 常用关系：边角互化、两角互余互补、三角恒等变换 1. 最值载体：边长最值、周长最值、面积最值、角范围、代数式取值范围 二、解题原理 1. 边化角：利用正弦定理统一为角，借助三角函数有界性求范围 1. 角化边：利用余弦定理统一为边，结合基本不等式求最值 1. 约束原理：三角形内角范围、三边不等关系限制变量取值 三、解题思路 1. 统一变量：全化为角或全化为边，减少变量个数 1. 确定定义域：锁定角或边长的取值范围 1. 构造函数：化为单一三角函数或二元均值结构 1. 求值域/最值：利用三角单调性、基本不等式求解 1. 检验取舍：结合三角形三边、内角条件舍去不合范围值 例题分析 例1．（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系、诱导公式及两角和正弦公式化简求解即可. （2）根据正弦定理及三角恒等变换得到，结合锐角三角形得到，利用正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，所以，， 则 ， 因为，，所以， 则，所以， 所以，则，即. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，．    (1)求的长及四边形的面积； (2)若点为四边形所在平面上一点（，在异侧），，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，然后由三角形面积公式计算； （2）利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，从而求得四边形面积的最大值并能确定点位置. 【详解】（1）设， 在中，由余弦定理，得． 同理在中，． 因为，所以， 即，解得． 所以， 又，所以， 所以； （2）要使四边形的面积最大，则点和点应在的两侧， 且使得的面积最大． 在中，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即当时，． 又，所以， 所以四边形面积的最大值为，此时为等边三角形， 即且点与点分别位于的两侧． 例3．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 例4．（2026·湖南·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边角互化化成的三角关系式，化简求值； （2）将所求表达式化成角的函数式，求最值. 【详解】（1）由正弦定理，得， 即， 于是， 两边同时除以，得， 又， 所以. （2）由正弦定理及余弦定理，得. 又因为， 所以， 当，即时，取得最大值. 变式训练 变式1．（2026·浙江·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件化简得到，由，求出及，即可根据三角形的面积公式求出的面积； （2）由可得或，在的条件下求出和的取值范围，将化为二次函数形式，再求出其值域即可. 【详解】（1）因为， 则， 即， 化简可得． 若，则，因为，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以； （2）由（1）知，所以或． ①若，由可得，与矛盾，故舍去； ②若，则， 若，则，解得，则． 则此时， 设，则， 可知当时，取到最小值；当时，； 当时，， 因为，所以， 即的取值范围为． 变式2．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将转化为，化简求出的值即可求出； （2）利用余弦定理结合基本不等式，先求出的取值范围，再结合三角形三边的关系，最终求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）在中，，则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 又因为，所以，因此，即， 因为，所以； （2）由（1）知，又， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式（当且仅当时等号成立），则， 所以，即，所以， 又因为在三角形中，，所以， 因此周长. 变式3．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在中，内角的对边分别为．若， (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)，为直线上的两个动点，连接，．记点在每个位置时，的最小值为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）结合正弦定理与两角和的正弦公式化简即可； （2）由得到C的轨迹为圆，易得面积的最大值. （3）结合余弦定理与基本不等式可知，当时，最小.利用高将表示出来，再根据，分析的范围，进而求出的范围，即的取值范围. 【详解】（1）由可得， 化简得 ，即，再结合正弦定理得. （2） 以中点为原点建系，则，设 由，即，有 化简得点轨迹方程：， 所以当点在时，面积有最大值. 面积的最大值为. （3）由余弦定理可知： 当且仅当时，有最小值. 由图：设边上的高为， , 当时，，此时， 当时，此时， 当时，此时 ， ，． 变式4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 的三个内角 的对边分别为 为三角形 的面积，且 . (1)判断 的形状； (2)若 为 所在平面内一动点， ， 分别位于直线 的异侧，， ，记 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】(1)等边三角形. (2). 【分析】（1）由余弦定理以及三角形面积公式化简再由正弦定理中的边化为角即可求解； （2）用表示四边形 面积，再根据辅助角公式求范围. 【详解】（1）由余弦定理以及三角形面积公式及 得：， 即， 即， 即， 即， 又因为，所以， 由正弦定理及得：， 又因为，所以，即， 由二倍角公式得：，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即，是等边三角形. （2） 如图，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 因为，所以，在上递增，在上递减， 所以在即时取得最大值， 因为 ，当时，计算， 所以的取值范围是. 实战演练 1．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 2．（2026·广东·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义可得，结合三角形三边的大小关系建立不等式组，解之即可； （2）根据余弦定理可得，结合（1）和不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】（1）因为成公差为的等差数列，， 所以，即， 由三角形三边的大小关系可得，即，又， 所以，即的取值范围为. （2）由余弦定理得， ， ， 所以， 由（1）知，则，得， 所以，故， 即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $