圆锥曲线中的最值与范围问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线中的最值与范围问题，系统覆盖椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、几何量及距离、面积等常见最值类型，按“基础方程-求解工具-题型应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导（代数法与几何法）、真题训练（例题、变式、实战）等环节，帮助学生构建解题框架。 资料突出数学思维与数学语言的融合，如例2利用渐近线距离条件推导离心率，培养用数学眼光发现规律；设计分层练习从基础变式到综合实战，结合韦达定理整体代换等策略，确保高效突破难点，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

圆锥曲线中的最值与范围问题复习讲义 圆锥曲线中的最值与范围问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基础方程与几何量 椭圆、双曲线、抛物线标准方程；离心率、焦距、长短轴、渐近线、焦半径、弦长公式。 1. 常用公式 弦长： 点到直线距离： 联立方程后韦达定理：根与系数整体代换。 1. 求解工具 二次函数单调性、基本不等式、参数方程换元、导数、判别式、几何边界约束。 1. 常见最值类型 距离、弦长、面积、斜率、离心率、向量数量积、线段和差最值。 二、解题原理 把几何最值、范围条件，转化为函数、不等式关系，结合曲线自身取值约束，借助代数运算或几何性质求取临界值与区间。 三、通用解题思路 1. 设点设线 设动点坐标或直线方程，联立圆锥曲线方程。 1. 判定约束条件 利用判别式、曲线定义域、角度范围限定变量取值。 1. 构造目标函数 将所求量表示为单变量函数，选用参数、坐标、斜率作为自变量。 1. 选方法求最值范围 · 代数法：二次函数最值、基本不等式、导数求极值 · 几何法：利用焦点定义、切线临界、圆距离性质 1. 结合定义域取舍 剔除不符合曲线范围、实际题意的解，确定最终最值与区间。 四、常见题型速解方向 1. 距离最值：转化点到点、点到线距离，结合定义与几何轨迹求解 1. 面积最值：底高表示面积，化为函数求极值 1. 离心率范围：构造齐次式，不等式推取值区间 1. 弦长最值：韦达表弦长，结合函数单调性判断 1. 斜率、数量积范围：参数代换后利用函数边界求解 例题分析 例1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线：与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），点，点R为线段的中点. (1)若的面积为4，求直线的斜率； (2)求的取值范围； (3)若以R，F为焦点，且与抛物线C有公共点的椭圆G的离心率e恒不大于，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先联立直线与抛物线方程，用韦达定理求中点坐标，再根据三角形面积公式结合已知面积求，进而得直线斜率. （2）先根据中点坐标公式求点坐标，再计算与，通过换元法化简，根据的范围求的范围. （3）先确定椭圆的与，利用椭圆的定义和抛物线性质得到的范围，进而得到离心率不等式，解不等式得到的范围. 【详解】（1）联立直线：与抛物线：，可得， 设点，，由韦达定理可得：   ，则中点的坐标为 ， 焦点 ，，所以， 到直线的距离，弦长， 故， 由，得， 结合得 ，直线斜率. （2）由为中点，∴， ∴，即， ∴，， ∴， 令，即， ∴， ∵，∴，∴. （3）不妨设抛物线与椭圆公共点为，准线：， 过点作，交于，过点作，交于， 在椭圆中，，， ∴， 故， 又∵，∴，，即，故. 例2．（2026·海南儋州·二模）已知点是双曲线右支上异于顶点的动点，点到的两条渐近线的距离分别为，，且． (1)求双曲线的离心率； (2)设点为的左顶点，点为的右焦点． ①求证：； ②若，延长线段与相交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2) ① 证明见解析；② 的最小值为 【分析】（1）先根据双曲线渐近线方程及点到直线距离公式求出的表达式，再结合已知的值建立等式求解相关参数； （2）①先根据双曲线离心率得出与关系，再求出与表达式，最后利用正切二倍角公式及角的范围证明角的倍数关系； ②先分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求出的值，斜率存在时设出直线方程代入双曲线，利用韦达定理求出相关表达式，分析其随变化情况，最后比较得出最小值. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，设动点， 因为在双曲线上，故，即， 由点到直线距离公式可得：， 所以，又因为， 所以，即； （2）① 由（1）可知，，所以， 设，，， 由双曲线对称性，不妨设点在第一象限，则， ， 由在双曲线上，得， 由正切二倍角公式可得 ， 又因为和，所以，即； ② 因为，则双曲线方程为 ，所以，， 由双曲线对称性，不妨设点在第一象限， 当直线斜率不存在时，，代入双曲线可得：， 所以， 当斜率存在时，设，代入双曲线得， 设，，由韦达定理可得： ， 又因为在右支，所以，解得：， 根据两点间距离公式可得： ， ， 所以， ， 将代入上式可得：， ， 因此：， 该式随增大而减小，当时，， 即，即时， 综上，的最小值为. 例3．（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，． （i）证明：直线过定点； （ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据条件，利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义，即可求解； （2）（i）设直线的方程为，根据条件可得，即可求解； （ii）根据条件，得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 且，可知圆在圆内部， 设动圆的半径为， 由题意可得，，则， 可知动圆圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，， 所以动圆圆心的轨迹的方程为． （2）（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立方程，消去整理得， 则，，． 由正弦定理得，，， 又，，所以， 则，所以， 所以，得到， 所以，即， 则，整理得． 所以直线的方程为，故直线过定点. （ii）不妨设，，则，， ， 因为，， 所以， 又，所以， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，过作， 则，且 则， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值，此时， 又，故向量，的夹角的最大值为． 例4．（2026·湖北·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过的直线交椭圆于，两点（在轴上方），的周长为8，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若线段的中点为，求点到直线的距离的最小值； (3)若线段的中点为，的重心为，和面积分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件，根据焦点三角形的特点，离心率的定义及的关系列方程，解方程求可得椭圆方程； （2）设直线的方程为：，联立直线和椭圆的方程，消可得，设，，由根与系数关系可求，进而表示出点到直线的距离为，令，  可得，进而求解即可； （3）设，可得，由此可得，解不等式可求的取值范围，再求出，由此可得，由函数的单调性可求的取值范围. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由已知可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，， 由已知直线的斜率不为，故设直线的方程为， 联立，消可得， ， 设，，其中，， 由已知，， 故，则．   所以直线，其中．   点到直线的距离为， 令，  所以， 当时，取最小值． （3）由（2）知，，， 设，则，所以，即， 则，   因为，所以，， 所以，所以，所以， 因为点为线段的中点，所以， 因为点为的重心，所以， 所以 ， 因为点为的重心，所以， 所以，   所以，．   因为函数在上单调递减，所以， 即的取值范围为． 变式训练 变式1．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可. （3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可. 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 变式2．（2026·广东江门·二模）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设出圆心坐标，代入抛物线方程求出圆半径即可. （2）联立圆与抛物线方程，借助不等式的性质求出的范围即可. （3）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义列出目标式的函数关系求出最小值. 【详解】（1）设圆的半径为， 圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，则圆心， 由抛物线经过圆心， 得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由，得， 即，则， 而，因此， 所以两点到轴的距离均不小于. （3）抛物线的焦点为，设， 由抛物线定义得， 则， 同理， 因此 ， 设直线的方程为， 由，得， ，则，， 因此， 所以当时，取得最小值. 变式3．（2026·天津和平·三模）已知椭圆的焦距为2，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由焦距得出，根据短轴的一个端点到右焦点的距离，所以，由此能求出椭圆方程； （2）设过的直线为，与椭圆方程联立，得，设，，，由，由此结合题设条件能求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为焦距为2，所以，即， 设短轴的一个端点，右焦点，短轴的一个端点到右焦点的距离为，∴， 所以椭圆的标准方程. （2）由题意知直线的斜率存在. 设：，，，， 由得. ，化简得，解得. ，. ∵，∴， ∴， 即得， ∴，∴.∴， ∵，∴， ，. ∵点在椭圆上，∴， ∴∴， 且， 所以， ∴， ∴实数取值范围为. 变式4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）根据直线的斜率进行分类讨论，由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为． 因为，所以直线CD的斜率为． 因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，． 由，消去y得． 则， 可得，． 则， 同理可得． 因为，所以 ． 当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值； 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时，，，或者，， 所以． 因为，所以四边形ACBD面积的最小值为． 实战演练 1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程；设直线与双曲线E相切，记，求的单调区间； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，M，N为双曲线E右支上两点，且，求解MN在x轴是否有定点，若有，则求出定点坐标，若没有，请说明理由； (3)记的周长为L，若对任意满足条件（2）的直线，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)无定点，理由见解析. (3) 【分析】（1）通过离心率和已知点求出双曲线方程，再联立切线方程利用判别式等于零求出的表达式，结合二次函数单调性即可求解； （2）利用双曲线上点与左右两顶点连线斜率乘积为常数，与已知条件作商，推导出关于轴对称，即可求解； （3）基于第二问“直线垂直于轴”的结论，将三角形周长转化为关于垂直直线横坐标的单变量函数，利用其在定义域上的严格单调递增性质求解即可. 【详解】（1）由题意得，即， 由得，整理得， 将点与代入双曲线方程得，解得， 则，，故双曲线的方程为， 联立得， 此方程有唯一解，则， 整理得，即， 考虑到若，此时，解得， 双曲线的渐近线为，此时直线为的渐近线，与无交点， 故，解得或 为开口向上的二次函数，关于轴对称， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， （2）由（1）知双曲线的左、右顶点分别为，， 则，即， ，则， 结合，两式作除法得，即， 因为都在双曲线的右支上，且斜率互为相反数，则关于轴对称， 所以必垂直于轴，故MN在x轴上没有定点. （3）由（2）可得直线垂直于轴，不妨设， 将代入到双曲线方程得，解得， 由对称性可知，为等腰三角形，则， ，， 则，， 对于，和单调递增，且单调递增， 所以在单调递增，， 则，若不等式恒成立，则. 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长，可得a值，根据离心率，可得c值，根据的关系，可得，即可得答案. （2）设，可得B、C、D点坐标，设直线AB的斜率为k，可得直线BD的方程，与椭圆联立，结合韦达定理，可得E点横坐标，代入直线方程，可得E点纵坐标，即可得直线AE的斜率，根据到角公式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由椭圆的长轴为4，得，解得， 又离心率，所以， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设，则， 设直线AB的斜率为k，由题意且存在， 则直线BD的斜率， 则直线BD的方程为，整理得， 联立，得， 则，解得， 代入直线BD方程，可得， 则， 所以， 又是直线AB到直线AE的角， 则， 因为，所以 当且仅当，即时等号成立， 又，所以的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线中的最值与范围问题复习讲义 圆锥曲线中的最值与范围问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基础方程与几何量 椭圆、双曲线、抛物线标准方程；离心率、焦距、长短轴、渐近线、焦半径、弦长公式。 1. 常用公式 弦长： 点到直线距离： 联立方程后韦达定理：根与系数整体代换。 1. 求解工具 二次函数单调性、基本不等式、参数方程换元、导数、判别式、几何边界约束。 1. 常见最值类型 距离、弦长、面积、斜率、离心率、向量数量积、线段和差最值。 二、解题原理 把几何最值、范围条件，转化为函数、不等式关系，结合曲线自身取值约束，借助代数运算或几何性质求取临界值与区间。 三、通用解题思路 1. 设点设线 设动点坐标或直线方程，联立圆锥曲线方程。 1. 判定约束条件 利用判别式、曲线定义域、角度范围限定变量取值。 1. 构造目标函数 将所求量表示为单变量函数，选用参数、坐标、斜率作为自变量。 1. 选方法求最值范围 · 代数法：二次函数最值、基本不等式、导数求极值 · 几何法：利用焦点定义、切线临界、圆距离性质 1. 结合定义域取舍 剔除不符合曲线范围、实际题意的解，确定最终最值与区间。 四、常见题型速解方向 1. 距离最值：转化点到点、点到线距离，结合定义与几何轨迹求解 1. 面积最值：底高表示面积，化为函数求极值 1. 离心率范围：构造齐次式，不等式推取值区间 1. 弦长最值：韦达表弦长，结合函数单调性判断 1. 斜率、数量积范围：参数代换后利用函数边界求解 例题分析 例1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线：与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），点，点R为线段的中点. (1)若的面积为4，求直线的斜率； (2)求的取值范围； (3)若以R，F为焦点，且与抛物线C有公共点的椭圆G的离心率e恒不大于，求m的取值范围. 例2．（2026·海南儋州·二模）已知点是双曲线右支上异于顶点的动点，点到的两条渐近线的距离分别为，，且． (1)求双曲线的离心率； (2)设点为的左顶点，点为的右焦点． ①求证：； ②若，延长线段与相交于点，求的最小值． 例3．（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，． （i）证明：直线过定点； （ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值． 例4．（2026·湖北·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过的直线交椭圆于，两点（在轴上方），的周长为8，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若线段的中点为，求点到直线的距离的最小值； (3)若线段的中点为，的重心为，和面积分别为，，求的取值范围． 变式训练 变式1．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 变式2．（2026·广东江门·二模）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 变式3．（2026·天津和平·三模）已知椭圆的焦距为2，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，若，求的取值范围． 变式4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 实战演练 1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程；设直线与双曲线E相切，记，求的单调区间； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，M，N为双曲线E右支上两点，且，求解MN在x轴是否有定点，若有，则求出定点坐标，若没有，请说明理由； (3)记的周长为L，若对任意满足条件（2）的直线，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $