空间向量与立体几何：空间角度最值与范围问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

空间向量与立体几何：空间角度最值与范围问题复习讲义 空间向量与立体几何：空间角度最值与范围问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 三大空间角定义及范围 · 异面直线所成角 ： · 直线与平面所成角 ： · 二面角 ： 1. 向量核心公式 设两向量为 · 线线角：取向量夹角锐角或直角 · 线面角：直线方向向量与平面法向量夹角互余 · 二面角：两平面法向量夹角或其补角 1. 常见题型 动点变化、翻折、旋转背景下，求三类角的最大值、最小值、取值范围。 二、解题原理 1. 几何转向量原理 空间角都可等价转化为方向向量、平面法向量的夹角，几何问题代数化。 1. 参数函数化原理 设动点参数，把夹角的三角函数值表示为单变量函数。 1. 三角函数单调性与有界性原理 正弦、余弦在单调区间上一一对应，函数最值对应角度最值。 1. 临界位置原理 角度最值一般出现在：端点、垂直、平行、共面、极限临界位置。 三、解题思路 方法一：空间向量法（主流） 1. 建空间直角坐标系，用参数设出动点坐标； 1. 求出相关方向向量、平面法向量； 1. 代入夹角公式，写出 或 关于参数的表达式； 1. 转化为二次函数、三角函数、分式函数； 1. 求函数值域，再反推角度的最值与范围； 1. 结合三类角自身范围取舍。 方法二：几何定义法 1. 找线线、线面、二面角的平面角； 1. 分析动点运动过程中平面角的变化趋势； 1. 观察特殊临界位置，直接得出角度最值与范围。 四、极简总结 · 知识点：三类空间角范围 + 向量夹角公式； · 原理：几何化向量、变量化函数、三角有界性定最值； · 思路：建系设参→求向量→列三角表达式→求函数值域→反推角度范围。 例题分析 例1．（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动点满足. (1)当时，证明：； (2)当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积； (3)动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和平面的夹角为，求的最大值. 例2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 例3．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 例4．（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. (1)求证：直线与直线为异面直线； (2)求直线与平面所成角的最大值. 变式训练 变式1．（2026·贵州贵阳·二模）如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． (1)若DC平分时，求的大小； (2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    变式2．（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 变式3．（2026·河北·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面ABCD. (1)求证：平面平面PCD； (2)若点E在棱BC上运动，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值的最大值. 变式4．（2026·宁夏银川·一模）如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 实战演练 1．（2026·四川广元·三模）在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面； (2)点在线段上运动，记直线与平面所成角为，求的最大值. 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在直三棱柱中，，点分别是线段的中点，动点P在三角形及其内部，且满足． (1)证明：直线平面 (2)求动点P的轨迹及其长度； (3)求直线BP和平面所成角的正弦值的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间角度最值与范围问题复习讲义 空间向量与立体几何：空间角度最值与范围问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 三大空间角定义及范围 · 异面直线所成角 ： · 直线与平面所成角 ： · 二面角 ： 1. 向量核心公式 设两向量为 · 线线角：取向量夹角锐角或直角 · 线面角：直线方向向量与平面法向量夹角互余 · 二面角：两平面法向量夹角或其补角 1. 常见题型 动点变化、翻折、旋转背景下，求三类角的最大值、最小值、取值范围。 二、解题原理 1. 几何转向量原理 空间角都可等价转化为方向向量、平面法向量的夹角，几何问题代数化。 1. 参数函数化原理 设动点参数，把夹角的三角函数值表示为单变量函数。 1. 三角函数单调性与有界性原理 正弦、余弦在单调区间上一一对应，函数最值对应角度最值。 1. 临界位置原理 角度最值一般出现在：端点、垂直、平行、共面、极限临界位置。 三、解题思路 方法一：空间向量法（主流） 1. 建空间直角坐标系，用参数设出动点坐标； 1. 求出相关方向向量、平面法向量； 1. 代入夹角公式，写出 或 关于参数的表达式； 1. 转化为二次函数、三角函数、分式函数； 1. 求函数值域，再反推角度的最值与范围； 1. 结合三类角自身范围取舍。 方法二：几何定义法 1. 找线线、线面、二面角的平面角； 1. 分析动点运动过程中平面角的变化趋势； 1. 观察特殊临界位置，直接得出角度最值与范围。 四、极简总结 · 知识点：三类空间角范围 + 向量夹角公式； · 原理：几何化向量、变量化函数、三角有界性定最值； · 思路：建系设参→求向量→列三角表达式→求函数值域→反推角度范围。 例题分析 例1．（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动点满足. (1)当时，证明：； (2)当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积； (3)动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和平面的夹角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直； （2）首先确定球心的位置，再构造直角三角形，求外接球的半径，再求球的表面积； （3）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再代入二面角的向量公式求最值. 【详解】（1）当时，取的中点为N，连接， 由已知可知， ， 又因为 平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）设的中心分别为，连接， 由已知可知球心在线段上， 设，则， 所以， 所以，又因为时，，即， 故， 所以球的表面积； （3）如图，取的中点，连接，则. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，由，得 化简得， 由和均为锐角，得. 设平面的法向量为， 由 得取，得， 故平面的一个法向量为. 设平面的法向量为. 得，取，得， 故平面的一个法向量为. 则 ， 令，则， 所以. 由函数单调递增， 所以当时，取最大值，最大值为. 例2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 例3．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明与，与垂直，进而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设点的坐标参数，进而表示出平面的法向量，结合平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值. 【详解】（1）因为的所有棱长相等，点是棱的中点， 所以，， 又因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 设，由（1）知平面， 则为平面的法向量. 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 记平面与平面所成角为，则. 当时，取到最大值. 例4．（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. (1)求证：直线与直线为异面直线； (2)求直线与平面所成角的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，借助中位线性质可得，则可得、、、四点共面，结合点在直线上，即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）取中点，连接、， 由分别为的中点，底面是正方形， 故、，则，故、、、四点共面， 因为平面，，平面， 故直线与直线为异面直线； （2）由是正三角形，且为中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、 、、， 由分别为的中点，故、， 则、、、， 设，，则， 设平面的法向量为， 则有， 取，则、，即， 有， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为，即直线与平面所成角的最大值为. 变式训练 变式1．（2026·贵州贵阳·二模）如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． (1)若DC平分时，求的大小； (2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）由三角形面积公式及DC平分，可得，在中应用余弦定理，可求得，在中应用余弦定理即可求得； （2）设，用表示三棱锥的体积，并求出三棱锥的体积最大时的，从而求得此时三棱锥的外接球半径，进而求得外接球的表面积；建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，用表示直线与平面所成角的正弦值，利用基本不等式，结合同角三角函数关系式即可求得该正弦值的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 若DC平分，则，所以. 设，则， 因为，，所以. 由，得， 解得，即. 所以， 又，所以； （2）（i）设，作，垂足为O，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面BDC. 又， 所以， 当且仅当时取最大值，此时，，即BD，CD，PD两两垂直， 设三棱锥的外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为； （ii）如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 则， 设平面PBD的一个法向量为，则， 所以，    令，则， 所以，， 设直线PC与平面PBD所成角为，则 ， 令，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值为． 变式2．（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出. 【详解】（1）取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且xd； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． （2）设到平面的距离为， 则，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作于， 平面，，又,，且两直线在平面内， 平面，， 为平面与平面的夹角， 由，得， 而，所以，当且仅当时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 变式3．（2026·河北·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面ABCD. (1)求证：平面平面PCD； (2)若点E在棱BC上运动，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在菱形中，因为，所以为等边三角形. 取的中点，连接，则. 因为是等边三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 以为原点，以，，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，. 由于且，则. 所以，，，. 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，得. 设平面PCD的法向量为， 则，即， 令，得. 因为，所以，即平面平面. （2）由（1）知，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得. 由于点在棱上，设，其中. 则. 设直线与平面所成的角为， 则. 当时，； 当，则关于单调递减， 所以当时，取得最大值. 综上，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 变式4．（2026·宁夏银川·一模）如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明平面 ，得，结合题设再证平面 ，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）利用空间向量法来求出平面夹角余弦值的表达式，转化为函数求最大值即可. 【详解】（1）因为 底面， 底面，所以， 又，是中点，故， 由于，平面，因此平面 ， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面 ， 又因为平面 ，所以平面平面； （2） 以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 则，，，，， 即，，设， 则， 因为，所以， 即， 因为在上，所以可设，， 则， 由图可知平面的法向量为， 设平面 的法向量， 则，令，可得， 设平面与平面夹角为， 则， 令，则， 设， 当时，即，， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 实战演练 1．（2026·四川广元·三模）在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面； (2)点在线段上运动，记直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间垂直关系的转化可证平面，结合正方形可证平面，我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明平面； （2）设，则结合向量法可得，根据二次函数的性质可求最大值. 【详解】（1）法一：在直三棱柱中，平面 又平面，有，又，， ，平面，有平面， 又平面，则有， 在正方形中，，又，，平面， 则有平面. 法二：以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则，，，，，， 进一步有：，，， 故，， 所以，，即，， 又，，平面，则有平面. （2）设，则， ， 设平面的法向量为，则 ，即，令，则， 所以， 当时，. 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在直三棱柱中，，点分别是线段的中点，动点P在三角形及其内部，且满足． (1)证明：直线平面 (2)求动点P的轨迹及其长度； (3)求直线BP和平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)点的轨迹是以点为圆心，半径为1的四分之一个圆， (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系求出目标平面的法向量，并证明该法向量与已知直线的方向向量共线，从而证得线面垂直； （2）利用勾股定理将空间距离转化为平面内动点到定点距离恒为定值的问题，并结合动点所在的限制区域确定其轨迹为四分之一圆弧，进而利用圆的周长公式求出长度； （3）借助三角参数方程设出动点坐标，利用空间向量法建立线面角正弦值关于参数的三角函数表达式，再通过辅助角公式结合参数取值范围求出最大值. 【详解】（1）由题意，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图， 由已知得， 因为是的中点，且，所以． 所以． 设是平面的法向量，则即 取，则． 所以，所以，所以直线平面． （2）在直三棱柱中有平面． 因为平面，所以． 由勾股定理，， 因为点在三角形及其内部， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为1的四分之一个圆． 所以动点的轨迹长度为． （3）因为点在以点为圆心的圆周上运动，设， 所以．设直线和平面所成角为， 则． 因为，所以，所以． 所以当时，取得最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $