二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题 专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦二次函数翻折与新定义两大难点，通过分层例题与变式构建从图象变换到概念迁移的专项突破体系，培养几何直观与抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数中的翻折问题|3例+2变式|含沿x轴/对称轴翻折，结合交点、最值、相似判定|以二次函数解析式、顶点坐标为基础，通过翻折变换考查对称性与数形结合，逻辑链为“解析式→翻折规则→新图象性质→综合应用”| |二次函数中的新定义问题|3例+3变式|涉及“恒值点”“完美点”“伴随抛物线”等概念，需转化新定义为数学表达式|以二次函数性质为核心，通过新定义构建函数关系，考查抽象能力与推理意识，逻辑链为“理解定义→建立方程→求解验证→拓展应用”|

二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 考点目录 二次函数中的翻折问题 二次函数中的新定义问题 考点一 二次函数中的翻折问题 例1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，请回答下列问题： (1)将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，求翻折后得到的图象位于线段下方的部分对应的函数表达式； (2)如图，点P是线段下方部分的图象上的一动点，过点P作轴，是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为 (2)存在点，其坐标为或，使得以点A，，E为顶点的三角形与相似 【分析】（1）先求出原函数解析式，进而得到与y轴的交点C的坐标，可知翻折后与y轴的交点的坐标，设图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为，将点坐标代入求解即可； （2）设点P坐标为，则，，分情况根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴将两点坐标分别代入可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为， 由翻折可知点坐标为， 设图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为， 将点坐标代入可得， 解得， ∴图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为； （2）解：∵，，， ∴，． 设点P坐标为， ∴，， 分情况求解如下： ①当时，， ∴． 解得（舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， ∴， 解得（舍去）或， 此时点的坐标为； 综上所述，存在点，其坐标为或，使得以点A，，E为顶点的三角形与相似． 例2．（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 (3)①的值为或；② 【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）分两种情况：若，若，运用二次函数的性质分别求得a的取值范围即可； （３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为，再分、和三种情况讨论求解即可； ②根据图象折叠的对称性，得点，根据翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，可得且，即可求得答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． （3）解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 情况1：对称轴在区间左侧：时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 情况2：对称轴在区间内， 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 情况3：对称轴在区间右侧：时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为或； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 例3．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，，顶点为P．    (1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标； (2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部分记作图形M，在图形M中，回答： ①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为_______； ②当时，求y的取值范围； ③当，且时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出m的值． 【答案】(1)；点P的坐标为 (2)①；②y的取值范围为；③m的值为或或 【分析】（1）两点式求出函数解析式，进而求出点P的坐标； （2）①顶点式，写出函数解析式即可；②求出最大值和最小值，即可得出y的取值范围；③分，，，，五种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， ∵， ∴点P的坐标为． （2）①折叠后顶点变为：， ∴点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为； 故答案为：． ②∵，顶点在之间的图象上， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，；当时，， ∴y的取值范围为． ③∵， ∴， 当，即：时，此时：，如图：    由题意，得：， 解得：（舍掉）； 当时，如图：    由题意，得：， 解得：或（舍）； 当时，，当时， 解得：， ∴当时，如图：    由题意，得：， 解得：或（舍掉）， 当时，    ， 解得：或（舍去）； 当时，如图：    则：， 解得：（舍去）； 综上：m的值为或或． 变式1．（2026·河南安阳·模拟预测）如图，二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围； (3)过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立一次函数与二次函数解析式得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C，分别求出当翻折后E与F重合，C与O重合时p的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：联立得， ∵一次函数的图象与二次函数的图象有交点， ∴方程有实数根， ∴， ∴； （3）解：设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∵抛物线解析式为， ∴点E的坐标为（1，3）， ∴EF=3， 当经过翻折后所得部分与轴恰好只有一个交点时，即点E翻折后与点F重合， ∴此时MN垂直平分EF， ∴， 当经过翻折后所得部分与x轴的一个交点恰好为原点时，即点C翻折后与原点重合， 此时MN垂直平分OC， ∴， ∴当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴． 变式2．（2026·浙江金华·模拟预测）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．      (1)判断点，，是否为函数图象关于10的“恒值点”． (2)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示． ①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（用含b的代数式表示，不必写出x的取值范围） ②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c． 【答案】(1)是函数图象关于10的“恒值点”． (2)①；②或 【分析】（1）由，在函数图象上，不在函数图象上，而，，可得是函数图象关于10的“恒值点”． （2）①由抛物线，再根据关于x轴对称的特点可得答案；②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，，，整理得：或，而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，求解，当过点时，满足条件；，当与只有1个交点时，满足条件；即有两个相等的实数根，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，在函数图象上，不在函数图象上， 而，， ∴是函数图象关于10的“恒值点”． （2）①∵抛物线， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴翻折后的解析式为：， ②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，    ∴，， ∴整理得：或， 而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形， 令， 解得：， ∴， 当过点时，满足条件； ∴， 当与只有1个交点时，满足条件； ∴即有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 考点二 二次函数中的新定义问题 例1．（25-26九年级下·广西玉林·期中）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 (1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 (2)设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，；②或 【分析】（）根据伴随抛物线的定义解答即可求解； （）①求出抛物线的顶点坐标，再根据伴随抛物线的定义解答即可求解；②先求出点的坐标，设，过点作于点，则，，由正切的定义得 ，求出的值即可求解； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的几何应用，正切的定义，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点和 在抛物线上， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得，， ∴，； ②由①得，函数的图象为抛物线， 令，即， 解得或， ∴，， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得或， ∵轴， ∴， 设， 如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴ 或， 解得或， ∴或． 例2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）． 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案； （2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案； （3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可． 【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点， ， 或， 反比例函数图象的完美点是，； （2）二次函数的图象上有且只有一个完美点， ， 即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得， （3）由（2）可知， ； 如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F， 则， ， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， （舍）， 当时，， ． 例3．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是； 由得：原抛物线为， ∴， 将变形为代入得出， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； 同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； ∴距离为：． 变式1．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2，；（2）①；②P点坐标为或；③或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 变式2．（24-25九年级上·辽宁辽阳·月考）【定义】 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“纵横值”为； 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为__________； 求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． 根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵值”的定义计算即可； 根据“最优纵值”的定义可知，可以得到； 根据“最优纵值”的定义可知，可知当时，有最大值，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：； 函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优纵横值”为； （2）解：抛物线的顶点在直线上， ， ， ， ， 最优纵横值为， ， 解得：； （3）解：， 当时，有最大值， 当时，， 解得：或（舍）； 当时，，解得（舍）或； 的值为或． 变式3．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 考点目录 二次函数中的翻折问题 二次函数中的新定义问题 考点一 二次函数中的翻折问题 例1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，请回答下列问题： (1)将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，求翻折后得到的图象位于线段下方的部分对应的函数表达式； (2)如图，点P是线段下方部分的图象上的一动点，过点P作轴，是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 例3．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，，顶点为P．    (1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标； (2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部分记作图形M，在图形M中，回答： ①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为_______； ②当时，求y的取值范围； ③当，且时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出m的值． 变式1．（2026·河南安阳·模拟预测）如图，二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围； (3)过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围． 变式2．（2026·浙江金华·模拟预测）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．      (1)判断点，，是否为函数图象关于10的“恒值点”． (2)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示． ①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（用含b的代数式表示，不必写出x的取值范围） ②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c． 考点二 二次函数中的新定义问题 例1．（25-26九年级下·广西玉林·期中）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 (1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 (2)设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 例2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 例3．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 变式1．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 变式2．（24-25九年级上·辽宁辽阳·月考）【定义】 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“纵横值”为； 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为__________； 求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为，直接写出的值． 变式3．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $