精品解析：湖南省市县级优质高中协作体2026届高三下学期高考仿真模拟数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复数范围内，方程的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】所以在复数范围内，即为即， 故方程的解集为 2. “t不是整数”是“t不是奇数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若t不是整数，则一定t不是奇数； 若t不是奇数，则t可能是整数” 所以“t不是整数”是“t不是奇数”的充分不必要条件. 3. 某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本次统计的样本总量，要计算第百分位数， 计算位置指标.向上取整得，即第个数据为第百分位数. 对频数进行累计：直径为的零件共个，对应第个数据；直径为的零件共个，对应第9~17个数据；直径为的零件共个，对应第个数据， ∴ 第个数据属于直径为的区间，即第百分位数为，对应选项B. 4. 下列双曲线的焦点必在y轴上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 5. 若随机变量，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】因为，，所以， 因为， 所以，即， 所以. 6. 若抛物线C：的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时，（ ） A. B. 40 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义结合基本不等式求得的值，进而求得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号； 所以. 7. 当函数的零点个数最多时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，再结合导数研究函数，最后得到取值范围即可. 【详解】令，则， 则的零点个数为根的个数， 即为与的交点个数， 若的零点个数最多，则与的交点最多， 令， 令，则或， 令，则， 令，则， 得到在上单调递减，在上单调递增， 可得的极小值为， 当时，，当时，， 所以，故A正确. 8. 已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逆用和角的余弦公式化简函数，结合已知及图象特征列式求出，再利用图象上点的特征列式求出. 【详解】依题意，函数， 由函数图象上的点关于轴上的点对称， 得函数最小正周期，则，解得， 即，又，于是， 由，得，又点在函数的一个单调递增区间对应的图象上， 因此，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据空间线面的位置关系逐一判断. 【详解】如图，将正四棱台补成正四棱锥，点是正四棱锥的顶点，是正方形的中心， 连接， 对于A，因为分别是的中点，所以，又，所以，故A正确； 对于B，因为与所成角为，又，所以与所成角为， 因为，所以与所成角为，故B错误； 对于C，因为，平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面，即平面，故D正确. 10. 在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前1000项和大于 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的性质求出，，求出，即可判断ABC；求出的通项公式，进而得到，结合裂项相消法求出数列的前1000项和，利用放缩法与比较，即可判断D. 【详解】由题意知，，，. 因为，，是公比为的等比数列，所以，，， 即，， 解得，，故B正确. ，故A错误. ，，，故C正确. 因为为等差数列，所以. 所以， 则数列的前项和 . ，故D错误. 11. 对于定义在D上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数．下列函数为理想函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：不等式化为，因，需恒成立，但时不满足，故不是理想函数；B选项：令，求导得，递减，时，故恒成立；C选项：辅助角公式得最大值​，需， 即，取时满足要求，故存在；D选项：取，不等式化为，令，在上，且，故恒成立. 【详解】选项A：计算得，因为，则， 当时，， 故，必然存在使得左边大于，不满足恒成立，故A错误； 选项B：不等式为，令， 由于且，则​，， 从而， 故在上单调递减. 当 时，​，而由于，则， ∴ 对任意，恒成立，故B正确；  选项C：不等式为，令， 利用三角恒等式：， 其最大值. 需存在使，即，平方得， 即，即. 取，则​，满足条件. 此时， 即对任意，，不等式成立，故C正确. D选项：不等式为，即， 等价于，即. 取，则，不等式化为. 令，则. 当 时，，单调递增. 又， 因此对任意​，，即 恒成立. 满足条件，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是奇函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是奇函数，且， 所以，即. 13. 如图，现有边长为的正方形纸片，E，F分别为，的中点，，，将沿折起，沿折起，使得点A与点C重合于点P，则六棱锥 的高为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】作平面，取线段的中点，求证三点共线，利用勾股定理计算即可. 【详解】作平面，垂足为，取线段的中点， 连接， 因为平面，所以， 因为，所以与全等，则， 同理可得，，则三点共线， 由题意得，，，， ，，， 由得，得， 故六棱锥 的高为. 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，确定方程表示的曲线，再利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值求法求解. 【详解】曲线是以点为圆心，1为半径的圆 关于轴、原点及轴对称而得的圆、圆、圆与圆组合而成，如图： 是曲线上的点与定点的 距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心离点最远，连接并延长交圆于点， 因此曲线上的点与点距离的最大值为， 的最大值为； 直线方程为，即，由， 由，得，则点的横坐标为， 所以的最大值为，此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标用点斜式得切线方程； （2）将恒成立问题转化为的最小值大于，通过导数分析单调性求最小值，进而得到a的取值范围 【小问1详解】 ，∴切点坐标为. ， 则切线斜率. 所以切线方程：，即. 【小问2详解】 恒成立等价于对任意恒成立，故 且， ∴ 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在处取极小值也是最小值，. 因此，解得， 即a的取值范围为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求c． （2）设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解边长即可； （2）（ⅰ）要证明线段相等，可转化为证明对应角相等.结合角平分线性质、二倍角公式，分别推导与的余弦值，利用锐角三角函数唯一性证明两角相等，进而根据等角对等边证得线段相等；（ⅱ）先通过向量关系式变形，利用向量中点公式判定点为线段中点，得到长度；再结合三角形角平分线定理求出的长度，最后根据线段位置关系，通过作差运算求得的长度. 【小问1详解】 因为，，， ， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）如图，作出符合题意的图形， ， 平分，， ， ，即，. （ⅱ）如图，作出符合题意的图形， ，， 是 边上的中点，, 而平分，由角平分线定理得到， 且 ， 由（ⅰ）知，故. 17. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为棱，上一点，，，延长交于点F，且，，． （1）求的值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质求的值. （2）先根据题中条件建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而求得与平面所成角的正弦值. （3）根据相似三角形的性质先判断出来几何体 为三棱台，并求出其体积，再利用直三棱柱的体积与三棱台 的体积之差求它们公共部分的体积. 【小问1详解】 在直三棱柱中，， 则 ，所以． 因为，，， 所以，所以． 【小问2详解】 取的中点，连接． 因为，所以． 在直三棱柱中，，因为， 所以平面． 作，交于点， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则 ， ， 令，得． 故与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 设交于点，交于点，连接． 因为 ，所以，同理可得， 所以几何体 为三棱台， 其下底面面积，上底面面积， 故其体积． 四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体， 其体积为直三棱柱的体积与三棱台 的体积之差， 即， 故四棱锥与直三棱柱公共部分的体积为. 18. 如图，椭圆：的长轴长为8，椭圆：的长轴长为4，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等． （1）求，的方程． （2）设，分别为的上、下顶点，P为上异于，的任意一点，过点P作轴，垂足为Q，线段与交于点H，证明：H为的垂心． （3）设为上一点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；……．依此类推，得到，，，，，，…．已知，均位于第一象限，设，若，证明：． 【答案】（1）的方程为；的方程为 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由长轴长得，​长轴为短轴得，离心率相等求 ，写出方程； （2）设，代入得；联立​与得，计算斜率乘积为即得证； （3）由几何关系导出​，求和得；利用放缩，相加得证. 【小问1详解】 由题意可知， ，解得，， 则的方程为． 因为这两个椭圆的离心率相等，所以，即， 则，所以的方程为． 【小问2详解】 设，由 ，得， 将代入，得． 易知，在轴同侧，所以，则， 则 ， 则．又 ，所以为的垂心． 【小问3详解】 将代入，得，则， 将代入，得， 即，即． 又，所以数列为等比数列，故，即， 所以， 设，则，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，即． 令，得， 则， 故． 19. 某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）． （1）求． （2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率． （3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式，分别求解和，结合古典概型、排列组合计数方法统计符合条件的基本事件数，单次抽取共5种等可能结果，5次抽取总基本事件数为，通过符合条件的事件数除以总事件数求得对应概率. （2）求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，从而得到样本空间的基本事件总数，求出甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数，求出当时的总事件数，求出甲、乙奖金相等的情况种数，从而得到所求的概率. （3）采用状态期望法，定义不同连续中奖次数对应的剩余期望次数，结合单次抽取的概率（抽中5元券概率、未抽中概率），搭建线性期望方程组，通过逐步代入消元求解方程组，最终得到初始状态下的总抽取期望. 【小问1详解】 包含两种情况：和， 计算：5 次都抽到同一张奖券，共有种奖券选择， 每次抽中该奖券的概率为， 所以， 计算：先选1种奖券出现4次，再选1种其他奖券出现1次， 共有 种情况，所以， 因此：. 【小问2详解】 题目中条件为 “甲、乙的相等且”，包含两种情况： ：满足的序列有种，甲、乙都取这类序列的基本事件数为， ：满足的序列有种， 甲、乙都取这类序列的基本事件数为， 样本空间的基本事件总数为：， 当时， 甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数为组合数（从种中选种，甲选更优的 1 种，乙选另 1 种）， 当时， 总事件数为，其中甲、乙奖金相等的情况有种， 那么甲奖金多于乙和甲奖金少于乙的情况数相等， 因此：， 则总计事件数为， 故所求的概率为. 【小问3详解】 设为已连续抽中张5元奖券时， 到结束还需抽取的期望次数（， ）. 每次抽到5元奖券的概率为，没抽到的概率为, ， ， ， 由得， 代入， 再代入，解得： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复数范围内，方程的解集为（ ） A. B. C. D. 2. “t不是整数”是“t不是奇数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列双曲线的焦点必在y轴上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若随机变量，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 9 6. 若抛物线C：的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时，（ ） A. B. 40 C. D. 7. 当函数的零点个数最多时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 10. 在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前1000项和大于 11. 对于定义在D上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数．下列函数为理想函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是奇函数，且 ，则______． 13. 如图，现有边长为的正方形纸片，E，F分别为，的中点，，，将沿折起，沿折起，使得点A与点C重合于点P，则六棱锥 的高为_________． 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求c． （2）设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 17. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为棱，上一点，，，延长交于点F，且，，． （1）求的值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积． 18. 如图，椭圆：的长轴长为8，椭圆：的长轴长为4，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等． （1）求，的方程． （2）设，分别为的上、下顶点，P为上异于，的任意一点，过点P作轴，垂足为Q，线段与交于点H，证明：H为的垂心． （3）设为上一点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；……．依此类推，得到，，，，，，…．已知，均位于第一象限，设，若，证明：． 19. 某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）． （1）求． （2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率． （3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $