精品解析：湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期模拟考试（三）数学试题

南雅中学2025届高三模拟试卷（三） 科目：数学 命题人：高三数学备课组 审题人： 本试题卷共19道题，共4页.时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得出集合，再根据交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 2. 复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，再根据复数对应的点的坐标判断选项. 【详解】由条件可知，， 所以复数对应的点为，为第四象限的点. 故选：D 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以. 故选：A. 4. 若函数为偶函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解. 【详解】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 5. 已知向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 8 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的几何意义可判断选项正误. 【详解】由得，根据在上的投影向量为，可知在上的投影的数量为， 故根据数量积的几何意义，等于与在上的投影的数量的乘积， 故． 故选：A． 6. 数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质，结合充分条件与必要条件的意义判断即可. 【详解】充分性：因为，，所以，所以， 又由数列是公比不为1的等比数列，所以， 可得同号，同号，所以，所以， 所以“，”是“”的充分条件； 必要性：若数列每项均为正数时，若且时，则对恒成立， 无法得到对恒成立，必要性不成立， 故“，”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 7. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】依题意，函数， 当时，，显然， 且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数满足，可得，所以函数在上单调递增，则，即可解得实数a的取值范围. 【详解】因为函数（且）满足， 即，所以， 又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设两个随机变量、满足服从正态分布，服从二项分布，则（ ）（若随机变量，） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布和正态分布的概率公式、期望与方差公式及正态分布的对称性，依次判断各选项即可． 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，， ，D正确． 故选：ACD 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小值为2，无最大值 C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，判断A，利用导数判断函数的单调性，判断B，根据AB的结果，判断CD. 【详解】A.，即，所以函数是偶函数，的图象关于轴对称，故A正确； B.当时，，，所以在单调递增，，且是偶函数，所以函数的最小值为2，无最大值，故B正确； C.由AB可知，在单调递减，在上单调递增，故C错误； D. 不等式，两边平方得，得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知的三个顶点分别是点、、，以下正确的是（ ） A. 的外接圆的标准方程 B. 是抛物线上的动点，则的最小值是 C. 同时和三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于 D. 是的内切圆上的动点，则点到三顶点的距离的平方和的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直角三角形的几何性质求出的外接圆方程，可判断A选项；设点，利用平面内两点间的距离公式以及二次函数的基本性质求出的最小值，可判断B选项；分析可知圆心必然在直线或上，对圆心的位置进行分类讨论，求出圆心的横坐标，可判断C选项；设点，利用平面内两点间的距离公式以及三角函数的有界性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，的外接圆的圆心为线段的中点， 半径为， 故外接圆的标准方程为：，A对； 对于B选项，设点，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B错； 对于C选项，由于所求圆与两坐标轴相切，则圆心必然在直线或上，分以下两种情况讨论： ①若圆心在直线上，设圆心为，则该圆的半径为， 直线的方程为，即， 由题意可得，即，解得或， 此时所求圆的半径为或； ②若圆心在直线上，设圆心为，则该圆的半径为， 由题意可得，即，解得或， 此时所求圆的半径为或. 综上所述，同时和三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于，C对； 对于D选项，由图结合C选项可知，的内切圆方程为， 设点，则， ， ， 所以，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可知，的值，由离心率求出结果. 【详解】因为椭圆方程为， 所以 所以， 所以 所以离心率， 故答案为： 13. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，并根据不等式转化为，利用参变分离的方法，转化为求函数的最值问题. 【详解】设函数，则， 所以是奇函数，且时，单调递增， 则单调递增，且， 所以， 即，，则不等式恒成立，， 设，， 设，，， 所以在上单调递增，， 所以恒成立，则恒成立， 则在上单调递增， ，根据洛必达法则可知，. 故答案为： 14. 空间直角坐标系中有一点，其中均为正整数，若，则称点具有性质“2025高考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点共有______个． 【答案】90 【解析】 【分析】本题可先对2025进行分解质因数，再根据分解情况，利用排列组合的知识求出不同点P的个数. 【详解】将2025分解为，设，，，，， 则，， 法一：的取值为时，有3种取法，的取值为时，有6种取法， 的取值为时，有3种取法，的取值为时，有3种取法， 故的取值共有15种； 的取值为时，有3种取法，的取值为时，有3种取法， 故的取值共有6种； 由于每一个不同的点都唯一对应一组，的取值， 故具有性质“2025高考大捷”的不同的点共有个． 法二：方程，的解的个数为， 方程，的解的个数为， 故具有性质“2025高考大捷”的不同的点共有个． 故答案为：90 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知． （1）求角C； （2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，由正弦定理，先得到，推出，化简整理，求出，即可得出结果； （2）根据题中条件，先得到，推出，结合余弦定理，求出，再由，根据三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）由，根据正弦定理可得， 则，所以， 整理得，因为均为三角形内角，所以， 因此，所以； （2）因为CD是角C的平分线，，， 所以在和中，由正弦定理可得，，， 因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即，解得，所以， 又，即， 即，所以. 【点睛】思路点睛： 求解三角形的相关问题时，一般需要利用正余弦定理，将题中所给条件化简整理，求出所需的角或边，再结合设问进行求解即可. 16. 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， （1）求动点的轨迹； （2）过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，化简即可； （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，与双曲线方程联立求得切线方程，分别与直线和联立可求得的横坐标，计算可求解. 【小问1详解】 根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 【小问2详解】 设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 17. 在直三棱柱中，，，，，， （1）若平面，求的值； （2）若二面角与二面角的大小相等，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）解法一（几何法）：过点在平面内作，垂足为，连接、，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、，根据以及二倍角的正切公式求出的长，即可求出的值； 解法二（空间向量法）：以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，设二面角与二面角的平面角分别为、，且，利用空间向量法结合二倍角的余弦公式可得出的等式，解之即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 又是的中点，故是的中点，. 【小问2详解】 因为二面角与二面角的大小相等， 所以二面角是二面角的大小的一半， 法一：几何法 过点在平面内作，垂足为，连接、， ，，，、平面， 平面， 平面，， 又，，、平面，平面， 又、平面，，， 二面角和二面角的平面角分别为、， 分别记作和，则为锐角，且， 因为，，，故， 所以，， 即，解得， 又，解得，所以． 法二：空间向量法 在直三棱柱中，平面，， 以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面的一个法向量分别为、， 设二面角与二面角的平面角分别为、，且， 则，取，可得， ，取，可得 则，， 由，即，因为，解得. 18. 设函数在处的切线经过坐标原点， （1）求； （2）是否存在实数使得函数关于直线对称，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，进而可求切线方程； （2）存在，满足题意，计算可得； （3）当时，由题意可得恒成立，令，求得最大值，再证明且时，恒成立即可. 【小问1详解】 ，，， 切线方程为，代入得； 【小问2详解】 存在，满足题意，证明如下： ，， 故函数关于直线对称； 【小问3详解】 当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 故在上单调递减，注意到， 所以时，，，单调递增， 时，，，单调递减， 故，故，得； 下证且时，恒成立， 即证恒成立，只需证恒成立， 构造函数，则， ，，单调递减，，，单调递增， 故，所以， 所以，证毕； 综上所述，的取值范围为． 19. 已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25．数列是公比大于0的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）记，， （ⅰ）证明是等比数列； （ⅱ）证明，． 【答案】（1），；， （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式进行计算； （2） （ⅰ）根据，写出并计算，由证明出是等比数列； （ⅱ）由，设出，用错位相减得出，从而证明. 【小问1详解】 因为等差数列的第2项为3，其前5项和为25． 所以，， 计算得，公差为， 所以； 设等比数列的公比为，因为，所以， 解得或（舍），故； 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，， 所以， 所以，且，所以数列是以4为公比的等比数列； （ⅱ）由题意知，， 所以，所以， 设，则， 两式相减得， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南雅中学2025届高三模拟试卷（三） 科目：数学 命题人：高三数学备课组 审题人： 本试题卷共19道题，共4页.时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为偶函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 8 C. 4 D. 6. 数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设两个随机变量、满足服从正态分布，服从二项分布，则（ ）（若随机变量，） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小值为2，无最大值 C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 已知的三个顶点分别是点、、，以下正确的是（ ） A. 的外接圆的标准方程 B. 是抛物线上的动点，则的最小值是 C. 同时和三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于 D. 是的内切圆上的动点，则点到三顶点的距离的平方和的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为______． 13. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为______． 14. 空间直角坐标系中有一点，其中均为正整数，若，则称点具有性质“2025高考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点共有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知． （1）求角C； （2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长． 16. 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， （1）求动点的轨迹； （2）过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 17. 在直三棱柱中，，，，，， （1）若平面，求的值； （2）若二面角与二面角的大小相等，求的值． 18. 设函数在处的切线经过坐标原点， （1）求； （2）是否存在实数使得函数关于直线对称，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25．数列是公比大于0的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）记，， （ⅰ）证明是等比数列； （ⅱ）证明，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $