精品解析：山东聊城市莘县实验高级中学2026届高三5月考前模拟数学试题

高三5月考前模拟 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，集合，再根据并集的定义可得. 2. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则复数的虚部为 3. 某品牌汽车过去6个月的销量（单位：万辆）分别为3.2，2.8，1.5，1.8，2.4，1.7，则这组数据的中位数为（ ） A. 1.8 B. 2 C. 2.1 D. 2.4 【答案】C 【解析】 【详解】从小到大排列得， 再根据中位数的定义可知这组数据的中位数为. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，联立关于首项和公差的方程求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，. 根据等差数列通项公式得，变形为  ①； 根据等差数列前项和公式得：  ，化简得 ②； 将①代入②得： ，解得. 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性排除偶函数选项，再化简函数求解最小正周期. 【详解】函数的定义域是 关于原点对称， ，所以是奇函数， 所以选项C,D错误， ， 其中的最小正周期为π，的最小正周期为π，经验证，不存在更小的正周期，故的最小正周期为π，选项B错误；选项A正确. 6. 已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由球的表面积求出半径，结合球心在上可知为直径、为直角三角形，分别求出的最大面积和点到平面的最大距离，代入三棱锥体积公式即可得最大值. 【详解】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 7. 已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， ， 则 ， 则的图象的对称中心是 8. 在中，是边的中点，为边上一点，连接，交于点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理、平面向量加法的几何意义，结合锐角三角函数定义、正弦定理进行求解即可. 【详解】设，， 因为， 所以， 因为是边的中点，且，所以 ， 在中，由余弦定理，得， 所以有，解得，，或舍去， 所以，是边的中点， 因此，所以， ， 所以， ， ， 由正弦定理，得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对数的运算法则对已知等式进行化简，得到的关系，然后根据基本不等式逐一验证. 【详解】 ， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 10. 已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则为等比数列 C. 若，则，，成等差数列 D. 若，则为等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】将代入，可得，从而得，即可判断Ａ；将代入，得，由等比数列的定义即可判断B，结合B，可得，分别求出，，的值，根据等差数列的定义判断C；将代入，求得，进而得，再根据等比数列的定义判断D． 【详解】对于A，当时，则，所以， 所以数列是每项均为0的等差数列，故A正确； 对于B，当时，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B可知当时，，所以， 所以，，， 所以，所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，当时，则，所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以， 所以，所以， 所以，此结果与有关，不是常数， 所以不是等比数列，故D错误． 11. 已知抛物线的焦点为，，是上两动点，线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则的最小值为4 B. 若点的横坐标为3，则线段的垂直平分线恒过点 C. 若，则点的横坐标的最小值为 D. 若，则点的横坐标的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，得到恒过焦点，结合抛物线的性质，可判定A正确；利用点差法，求得的，得出垂直平分线的方程，可判定B正确；利用抛物线的焦点弦的性质，结合三角不等式，可判定C错误；设直线，联立方程组，由，化简得到，令，求得，结合对勾函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，由抛物线，其焦点为，准线方程为， 直线的方程为，即，此时直线恒过定点 即直线恒过焦点， 根据抛物线的性质得，当直线垂直于轴时，即通径时，弦长最短， 此时的最小值，所以A正确； 对于B，设， 因为点的横坐标为，即，可得， 因为在抛物线，可得， 两式相减，可得，则，即， 即线段垂直平分线的斜率为，此时垂直平分线的方程为， 整理得，当时，可得， 所以垂直平分线的方程恒过点，所以B正确； 对于C，由抛物线的定义，可得， 则， 根据三角不等式，可得，当且仅当三点共线时，等号成立， 因为，所以，即，解得， 所以点的横坐标的最小值为，所以C不正确； 对于D，由选项A知：当直线过焦点时，， 因为，所以直线一定不过焦点，设直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 则， 又由，即， 可得，即， 令，则， 整理得， 设，则，可得， 令，可得函数在上为单调递增函数， 所以，即的最小值为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】满足底数且， 由，可得或，结合且，可得， 故由，可得，即，解得或， 故实数的取值范围是. 13. 已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得或，取或，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点， 可得，解得或， 取，可得或， 当时，因为，可得， 因为函数在内没有零点且，则满足，解得， 若的最大值为，则 ， 由，可得，此时在内没有零点，符合题意； 当时，因为，可得， 因为函数在内没有零点且，则满足，解得， 若的最大值为，则 ， 由，可得，此时在内没有零点，符合题意， 综上可得，实数的最大值为. 14. 已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量关系得到两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围. 【详解】 设点，， 点，， ，， ， 的中点为， ，相减得， ， 的中点在椭圆内，所以， 化简得，则，令， 因为，函数单调递增， 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理与三角恒等变换化简等式可得答案； （2）利用余弦定理结合三角形是锐角三角形可得答案. 【小问1详解】 由题意得， ， 化简得，由是锐角三角形， 所以，可得， 再由是锐角三角形，可知， 故； 【小问2详解】 由（1）知， 由余弦定理得，即， 因为是锐角三角形，所以，即， 代入得， 解得. 16. 心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响. （1）若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率； （2）设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式求得甲在3次测试中恰好完成背诵2次的概率，再根据条件概率公式求得在此条件下，他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率； （2）易知的可能情况为，分别求得各种情况发生的概率，即可得的分布列，并求得其数学期望. 【小问1详解】 记甲在第次完成背诵为事件. 甲在3次测试中恰好完成背诵2次为事件. 则； ， 所以. 【小问2详解】 易知的可能情况为， ， ， ， . 所以的分布列为 所以的数学期望为. 17. 如图，在多面体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明与该法向量垂直可证得平面； （2）利用两个平面的夹角的向量求法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，平面，所以两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以平面. 又，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则. 令，则， 所以平面的一个法向量为. 因为 ，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 在（1）的坐标系中，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，. （1）若曲线在点与处的切线互相平行，求的值. （2）若有两个极值点，其中. （i）求的取值范围； （ii）当取得最小值时，求的值. 【答案】（1）0； （2）（i）；（ii）1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义计算求解； （2）（i）通过导数分析辅助函数的单调性与极值，利用其最大值恒正、两端趋向负无穷的趋势，即可确定的取值范围； （ii）设，通过极值点条件联立消参，构造函数与分析单调性，找到取到最大时对应的，进而求得的值. 【小问1详解】 因为， 由题意知：，代入得，解得 所以的值为0. 【小问2详解】 （i）由题意知有两个不同的正数解, 令，即在上有两个不同的变号零点， 因为， 当时，，在上单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在取到最小值为，所以恒成立， 所以， 而当时，，时，， 故当时，在上总有两个不同的零点，即有两个极值点. 因此的取值范围是. （ii）由（i）知， ，且， 所以①，② 两式相减得：，所以，由①得， 所以，所以， 令，则， 令，所以， 令，所以，所以单调递减，又，所以，则，所以单调递减， 所以当取到最小值时，取到最大值. 令，则， 令，则，所以单调递减， 又因为， 所以存在，使，即， 所以当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以当时，取到最大值为， 所以当取到最小值时，即取到最小值时，取到最大值，也就是取到最大值，此时. 19. 已知是双曲线上任意一点. （1）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. （2）若在第一象限，过点作倾斜角为 的直线与轴交于点，按照如下方式依次作直线：过点作倾斜角为的直线与轴交于点，且使得，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，记. （i）求数列的通项公式；（用表示） （ii）若正项数列满足，则当时，求的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线距离公式，结合双曲线的渐近线方程进行运算证明即可； （2）（i）根据直线点斜式方程，结合两点间距离公式、同角的三角函数关系式、余弦二倍角公式进行求解即可； （ii）根据两角和的正弦公式、同角的三角函数关系式，结合裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 设点的坐标为，则有， 该双曲线的渐近线方程为：，即和， 点到的两条渐近线的距离之积为， 所以点到的两条渐近线的距离之积为定值； 【小问2详解】 （i）由题意可知：， 直线的方程为：，令，得， 直线的方程为：，令，得， 令，不妨设， 令，， 由， ， 即； （ii）因为，， 所以， 由（i），得， 因为，所以， 所以， 当时，，于是有， ， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三5月考前模拟 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 某品牌汽车过去6个月的销量（单位：万辆）分别为3.2，2.8，1.5，1.8，2.4，1.7，则这组数据的中位数为（ ） A. 1.8 B. 2 C. 2.1 D. 2.4 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 6. 已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是边的中点，为边上一点，连接，交于点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足 ，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为1 10. 已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则为等比数列 C. 若，则，，成等差数列 D. 若，则为等比数列 11. 已知抛物线的焦点为，，是上两动点，线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则的最小值为4 B. 若点的横坐标为3，则线段的垂直平分线恒过点 C. 若，则点的横坐标的最小值为 D. 若，则点的横坐标的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值范围是__________. 13. 已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________. 14. 已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，求的取值范围. 16. 心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响. （1）若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率； （2）设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望. 17. 如图，在多面体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）若曲线在点与处的切线互相平行，求的值. （2）若有两个极值点，其中. （i）求的取值范围； （ii）当取得最小值时，求的值. 19. 已知是双曲线上任意一点. （1）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. （2）若在第一象限，过点作倾斜角为 的直线与轴交于点，按照如下方式依次作直线：过点作倾斜角为的直线与轴交于点，且使得，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，记. （i）求数列的通项公式；（用表示） （ii）若正项数列满足，则当时，求的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $