精品解析：山东聊城市冠县一中等校2026届高三下学期5月命题趋势预测数学试题

2026届高三命题趋势预测（三） 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 14 B. 16 C. 20 D. 24 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知随机变量，则（ ） A. 0.12 B. 0.16 C. 0.22 D. 0.26 5. 某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（ ） A. 70.23 B. 70.84 C. 71.26 D. 71.43 6. 已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 56 7. 若存在实数，使得方程成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 8. 已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等比数列 D. 10. 某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（ ） A. 参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B. 所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C. 400名男员工中能被抽到参加测试的概率为 D. 所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 11. 已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B. 的最大值为7 C. D. 对任意实数的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为___________． 13. 已知，则___________． 14. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． （1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． （2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 16. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求角； （2）若，求的值． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，，且曲线在点处的切线在轴上的截距，当时，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，， ，平面平面，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）若过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三命题趋势预测（三） 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 14 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以，故. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 3. 已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线顶点到准线距离等于，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的顶点到其准线的距离与抛物线的顶点到其准线的距离相等，即． 抛物线的顶点为坐标原点， 准线方程为， ，解得． 4. 已知随机变量，则（ ） A. 0.12 B. 0.16 C. 0.22 D. 0.26 【答案】B 【解析】 【详解】随机变量， ． 5. 某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（ ） A. 70.23 B. 70.84 C. 71.26 D. 71.43 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】数学成绩低于60分的频率为， 数学成绩低于80分的频率为， 这200名学生成绩的80%分位数在内． 设200名学生成绩的80%分位数为，则，解得， 估计这200名学生成绩的80%分位数是71.43． 6. 已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】设顶点在底面上的射影为，先求得球的半径为再分球心在高上和不在高两种情况分别求出高,进而得棱锥的体积. 【详解】如图，设四棱锥的顶点在底面上的射影为， 则为四棱锥的高． 四棱锥为正四棱锥， 点为底面正方形的中心，且平面． 由正四棱锥的对称性可知，球心在直线上， ． 设球的半径为 球的表面积为，解得． 又，即． 当球心在高上时，， 底面的面积为 正四棱锥的体积． 当球心不在高上时，， 正四棱锥的体积． 故C正确． 7. 若存在实数，使得方程成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】设函数 ． 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为3．故选B． 8. 已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造新函数，求导，判断单调性，作出图象，即可根据零点个数求得结果. 【详解】函数 在上有三个零点，即方程 有三个根， 不妨设．设，则函数的图象与直线有三个交点． 函数 当时， 在上单调递增，且； 当时，，当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增． 又，当时，，当时，，当时，，作出函数的大致图象，如图所示． 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，即实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等比数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算出结合等比数列的定义可判断A；分别令可判断B；根据等比数列的定义可判断C；根据C选项写出的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推公式结合等比数列求和公式可判断D. 【详解】 当时， ． 当时，， 数列一定不是等比数列，故A错误； 当时，； 当时，；当时，． ，故B正确； ． 数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 方法一：由可知，， ， ，故D错误． 方法二：， ，故D错误． 10. 某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（ ） A. 参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B. 所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C. 400名男员工中能被抽到参加测试的概率为 D. 所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 【答案】BD 【解析】 【分析】由分层抽样可判断A；利用抽样比可求得抽取的男、女员工人数，进而可得到男员工被抽到的概率，判断C，再结合分层抽样的均值、方差公式可判断B、D. 【详解】设参加专业技术技能测试的60人中，女员工有人，则，解得，故A错误． 设60人中男员工的平均成绩为，方差为，女员工的平均成绩为，方差为，所有参加测试的60人的平均成绩为，方差为，则 所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值，故B正确． 名男员工中被抽到参加测试的人数为,则名男员工中能被抽到参加测试的概率为，故C错误． ，解得 所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为，故D正确． 11. 已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B. 的最大值为7 C. D. 对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为 ，所以A正确． 对于B，因为 ，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为 ，即 ， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足 ，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时， ，所以D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】 ，解得， ， , 向量在向量上的投影向量为． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案. 【详解】由， 令，则 ①； 令，则， 即 ②． ，得． 14. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得出，令，将问题转化为方程在区间上有且仅有两个根，结合正弦函数的性质得出即可. 【详解】 设，因为，所以． 函数在区间上有且仅有两个零点， 即方程在区间上有且仅有两个根． 因为方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得， 则实数的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． （1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． （2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由互斥事件的和事件概率公式及条件概率计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【小问1详解】 在（1）班、（2）班中随机抽取一人，设事件“该学生来自（1）班”，事件“该学生的数学成绩低于135分”， 则由题意得． ， 该学生为（1）班学生的概率． 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为， 则， ， ． 16. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求角； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题设结合余弦定理可求，从而可求的大小； （2）由余弦定理结合题设条件可得 ，结合（1）中结果可求的值． 【小问1详解】 ． 由余弦定理，得， 又． ，即． 由余弦定理，得， 又． ．为的内角，． 【小问2详解】 由余弦定理，得， 又，． ． 由（1）知，又，结合余弦定理，得， ，即，解得或（舍去），故． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，，且曲线在点处的切线在轴上的截距，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分及进行讨论即可得； （2）借助导数的几何意义计算可得、关系，再利用，构造函数结合导数计算即可得. 【小问1详解】 ，函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在区间上单调递增， 当时，解，得；解，得， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 当时， ，则， ， 曲线在点处的切线方程为， 令，解得，即 ， ， ，， 又，即 ， ， 设 ，则， 当时，；当时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 由 ，得，即实数的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）首先利用条件证明 进而证明，然后再利用面面垂直的性质定理证明进而证明，最后根据垂直的判定定理即可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别计算出平面和平面的法向量，然后根据平面与平面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 ， ，． 为的中点，，． 又 ， ，． ，，． 是等边三角形，为的中点，． 平面平面，平面平面平面 平面． 平面． 平面平面， 平面． 平面平面平面． 【小问2详解】 ，平面平面，平面平面，平面， 平面． 平面， 两两垂直． 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，过点且平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设平面的法向量为，则， ， 令，则． 设平面的法向量为，则， ， 令，则． 设平面与平面的夹角为，则 即平面与平面夹角的余弦值是． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）若过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）借助焦距可得，再将定点代入计算即可得解； （2）当直线垂直于轴时，可得符合题意，再证明当直线不平行于坐标轴时，也符合题意即可得，当直线不平行于坐标轴时，设出直线方程，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，取点关于轴的对称点，计算可得三点共线，即可得证. 【小问1详解】 ，， 又因为点在椭圆上， ， 即， 又 ，代入，解得， 可得椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线垂直于轴时，椭圆关于轴对称， 点关于轴对称，， 轴上任意不同于点的点，均满足， 设 ，当直线与轴重合时，点是椭圆的长轴端点， 不妨设， ，即，解得（舍去）或， 存在不同于点的定点满足条件，且点的坐标为； 下面证明：当直线不平行于坐标轴时，点满足， 设直线的方程为， 由，消去，整理得， 直线恒过椭圆内的定点，恒成立， ， 点关于轴的对称点为， 直线的斜率， 直线的斜率， ， ， ，即，三点共线， ． 综上，存在与点不同的定点，使得恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $