精品解析：山东聊城市水城中学2025-2026学年高三下学期考前预测数学试题

2025-2026学年高三下学期第三次质量监测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲乙两位高中同学从6门课中各选3门课，则这两位同学所选的课中恰有2门课相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 180种 5. 在等腰直角中，，为内的一点，且，．则（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 以，分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知，，，则两个区同时发生停水事件的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.65 C. 0.45 D. 0.045 8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若且，则实数m的值可以为（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 1 10. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递减 C. 是的周期 D. 的最大值为2 11. 已知曲线C：，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，不可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知是夹角为的单位向量，非零向量，则的最大值为______． 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在锐角中.内角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求证：； （2）求的取值范围. 16. 已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． （1）求点C的轨迹方程； （2）当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 17. 在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且. （1）画出图形（要求使用作图工具，先用铅笔画图，确认无误后用中性笔描摹，不按要求的不给分），并证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）若，求三棱锥的外接球的体积. 18. 芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷纷加大对芯片的投入力度．国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元，下同）对年销售额y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近10年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据：已知第1年的研发资金投入量为2亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增长．公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中，）；，，．公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量x为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程．已知甲研究团队用函数模型①（为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为乙研究团队用函数模型②（为常数，为随机误差）． （1）求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程； （2）现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元．根据以上信息，请你对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由； （3）研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t，得到响应变量为u，且年研发资金投入为t亿元时，年销售额y服从正态分布，公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到0.01） 参考公式与数据： ①成对数据（）的经验回归直线方程为，其系数为，．②参考数据：假设，则，．③．④，，，． 19. 已知函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若是函数的两个零点，证明：； （3）当且时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次质量监测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合类型判断AB；分奇偶讨论可判断C；根据范围和元素特征可判断D. 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点为，再利用抛物线平移即可得到答案. 【详解】，焦点为， 焦点为， 则焦点为， 故选：B． 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等比中项的性质计算即可得. 【详解】，则， ，故. 故选：A. 4. 甲乙两位高中同学从6门课中各选3门课，则这两位同学所选的课中恰有2门课相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 180种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理结合组合数的应用求解即可. 【详解】先选出2门相同的课，有种选法， 然后甲再选剩下一门有种选法， 乙从剩下的3门中再选一门有种选法， 故两位同学所选的课中恰有2门课相同的选法共有. 故选：D 5. 在等腰直角中，，为内的一点，且，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，作出和点，再作出的角平分线交的延长线于点，并连接，证明和，即可得到，最后利用等腰三角形底角的求法求解即可. 【详解】如图所示，根据题意作出和点，再作出的角平分线交的延长线于点，并连接， 由，可得， 则， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 由，可得， 所以 则. 故选：B. 6. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此​，故选项A、B错误；  由正态分布的对称性：，，C正确；  ，而，所以，因此，D错误 7. 以，分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知，，，则两个区同时发生停水事件的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.65 C. 0.45 D. 0.045 【答案】D 【解析】 【分析】由可求两个区同时发生停止供水事件的概率. 【详解】由题意可得. 故选：D. 8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若且，则实数m的值可以为（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】令后可求，再令可得关于的方程，从而可求的值. 【详解】因为， 令，则， 令，则， 则，故即或. 故选：AD． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递减 C. 是的周期 D. 的最大值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义可判断A；根据复合函数单调性的判断方法可判断B；根据周期函数的定义可判断C；根据正余弦函数的值域可判断D. 【详解】，定义域为R， 故为偶函数，故A正确； ，在单调递减，在单调递增， 故在单调递减，在单调递减， 所以在区间上单调递减.故B正确； ，故不是的周期.故C错误； ，当且仅当时取等号， 又，故等号取不到，故， 又（当且仅当时等号成立），故，故D错误. 11. 已知曲线C：，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，不可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案. 【详解】设，故曲线C的方程可表示为， 对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A错误； 对B，当时，，曲线C的方程为， 此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大椭圆越扁， 故C错误； 对D，当时，，曲线C的方程为， 此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为， 由，可得， 即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确. 故选： BD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知是夹角为的单位向量，非零向量，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由向量求模公式得到的表达式，代入构造二次函数求最值. 【详解】因为是夹角为的单位向量，非零向量， ， 若，则， 若,则===， 所以当时，的最大值为1． 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】0或2 【解析】 【分析】求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值. 【详解】由得，当时，切线的斜率， 则曲线在点处的切线方程为， 因为它与只有一个公共点，所以有唯一解， 即有唯一解， 故或， 解得或， 故答案为：0或2 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得． 又由，所以，所以． 在直角三角形中，，得，所以． 又在直角三角形中，． 同理在直角三角形中，,． 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高． 所以圆台的体积． 故答案为： 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在锐角中.内角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求证：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理变形，利用两角和差公式求得，然后利用正弦函数性质即可求得； （2）利用三角恒等变换得，由条件求的范围，结合正弦函数性质求解范围即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为为锐角三角形内角，所以，， 所以，所以，即； 【小问2详解】 ， 由题意得，解得，所以， 所以，所以， 即的取值范围为. 16. 已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． （1）求点C的轨迹方程； （2）当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1) 设点，根据几何关系列出方程后化简即可； (2) 当点C到AB的距离最大时，△ABC面积最大，结合圆的性质求解即可. 【小问1详解】 设点， 因为点C到点A的距离与到点的距离的比为， 则，即， 化简整理可得，， 故点C的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又△ABC的边长AB＝4， 故要使得△ABC的面积最大，即点C到AB的距离最大，即点C的纵坐标的绝对值最大， 由圆的性质可知，圆上的点到x轴的最大距离为， 故△ABC面积的最大值为． 17. 在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且. （1）画出图形（要求使用作图工具，先用铅笔画图，确认无误后用中性笔描摹，不按要求的不给分），并证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）若，求三棱锥的外接球的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）作出图形，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）设出球心坐标，利用球的构造特征，结合空间两点间距离公式建立方程组，求出球心坐标及球半径，进而求出球的体积. 【小问1详解】 所画图形如图， 在正四棱锥中，由为顶点在底面内的射影，得是正方形中心， 即，而，平面， 则平面，又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，令， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 于是，令，得， 设直线与平面所成的角为，则，， 所以直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 由（2）设三棱锥的外接球球心，由， 得， 解得，即三棱锥的外接球球心， 球半径，所以三棱锥的外接球体积. 18. 芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷纷加大对芯片的投入力度．国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元，下同）对年销售额y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近10年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据：已知第1年的研发资金投入量为2亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增长．公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中，）；，，．公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量x为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程．已知甲研究团队用函数模型①（为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为乙研究团队用函数模型②（为常数，为随机误差）． （1）求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程； （2）现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元．根据以上信息，请你对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由； （3）研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t，得到响应变量为u，且年研发资金投入为t亿元时，年销售额y服从正态分布，公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到0.01） 参考公式与数据： ①成对数据（）的经验回归直线方程为，其系数为，．②参考数据：假设，则，．③．④，，，． 【答案】（1）； （2）乙团队的模型更优，答案见解析 （3）（亿元）． 【解析】 【小问1详解】 已知是首项为2、公差为4的等差数列，， 则由等差数列前n项和公式得， ， 故，对于模型， 令，转化为线性回归． 根据线性回归系数公式：，， 因此，乙团队回归方程为； 【小问2详解】 甲团队（线性模型）：当时，，残差的绝对值； 乙团队（非线性模型）：当时，，残差的绝对值， 因为乙团队模型预测值与实际值的残差的绝对值更小， 所以乙团队的模型更优，能更好地拟合数据，反映年研发资金投入量与年销售额的关系； 【小问3详解】 已知，要保证97.725%把握（对应分位数）， 需．代入乙模型，， 得：，解得， 即（亿元）． 预计至少需要投入研发资金约为亿元. 19. 已知函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若是函数的两个零点，证明：； （3）当且时，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求其单调性及最值即可； （2）利用比值换元设，将问题转化为证，构造函数求导判定函数的单调性即可证明； （3）利用第一问得出，取，结合放缩法得出，利用累加法计算即可证明. 【小问1详解】 由恒成立，有恒成立， 令，有，解不等式可得， 可得函数的增区间为，减区间为， 可得的最大值为， 若函数恒成立，可得实数a的取值范围为； 【小问2详解】 不妨设，设， 由，有，，两式相除，有， 代入，有，有，可得， 可得， 要证，只需证，只需证， 令，有， 可得函数单调递增，有，故有； 【小问3详解】 由（1），取，有（当且仅当时取等号）， 取（其中），有，有， 又由，有，有， 有，有，有， 可得，有， 有，有， 当且时，可得． 【点睛】思路点睛：第二问对于双变量问题的处理策略常用比值换元法转化为单变量问题；第三问，不等式的证明，结合第一问令换元，一般情况下还需要巧妙放缩，多积累经验. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $