精品解析：江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. （ ） A. 36 B. 48 C. 63 D. 72 3. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（ ） X 1 2 3 P n m A. B. C. D. 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 7. 已知事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量的分布列为，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式共有8项，则（ ） A. B. 无常数项 C. 含项的系数为92 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上不存在点M，使平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 与平面不垂直. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则__________． 13. 某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有____________种. 14. 已知多项式，则=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. （1）求和的值； （2）求该二项式展开式中所有的有理项. 16. 从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 19. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：三棱柱是正三棱柱； （2）证明：； （3）设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得. 2. （ ） A. 36 B. 48 C. 63 D. 72 【答案】A 【解析】 【详解】 . 3. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可知只有最大， 根据二项式系数的性质，故. 4. 已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（ ） X 1 2 3 P n m A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式计算即可. 【详解】由题意可知：. 故选：C. 6. 设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 令，可得，即， 令，可得， 即， 因此. 7. 已知事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可． 【详解】由题可知，， 故选：A． 8. 设随机变量的分布列为，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用离散型随机变量的分布列的性质求出，再根据公式求得均值，进而求得方差． 【详解】因为随机变量的分布列为，， 所以， 由分布列的性质可得，，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式共有8项，则（ ） A. B. 无常数项 C. 含项的系数为92 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确； 对于B，展开式通项为， 设，此时无解，所以不存在常数项，故B正确； 对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误； 对于D，展开式二项式系数和为，故D正确. 故选：ABD 10. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据分布列的性质求出，再根据期望和方差公式及性质分别判断即可. 【详解】由题意，，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：CD. 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上不存在点M，使平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 与平面不垂直. 【答案】BCD 【解析】 【分析】取中点E，连接，，由题意证明线面垂直，即平面，建立空间直角坐标系，对于A选项，假设平面，设，由，求解即可；对于B选项，求，，由即可求解；对于C选项，分别求解平面与平面法向量，由此求解即可；对于D选项，由即可求解. 【详解】取中点E，连接，，因为为等边三角形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面，因为平面，所以， 因为底面为菱形，，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则令，则有，， 则有，，，，，， 对于A选项，令，若平面，则有， ， 则，，，则有， 即点为AD中点时，有平面，故A错误； 对于B选项，，，因为，则， 则异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为， 则，，则有， 即，令，则有，，故， 故，故二面角的大小为，故C正确； 对于D选项，，，因为， 所以与不垂直，故与平面不垂直，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得， 所以. 13. 某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有____________种. 【答案】12 【解析】 【详解】先排数学，其余全排列可得 种. 14. 已知多项式，则=______． 【答案】25 【解析】 【分析】将展开为，确定各因式中的系数，相加得到. 【详解】， 展开式的通项为 令得，则的展开式中项的系数是； 令得，则的展开式中项的系数是； 令得，则的展开式中项的系数是； 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. （1）求和的值； （2）求该二项式展开式中所有的有理项. 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】（1）利用的展开式的通项公式，结合条件，即可求解； （2）根据条件，利用二项展开式的通项公式，得，即可求解. 【小问1详解】 因为的展开式的通项公式为， 由第项的二项式系数为，得，解得，所以， 又展开式中含的项的系数为，令，解得， 所以，解得， 故和的值分别为. 【小问2详解】 由（1）知， 要求二项式展开式中的有理项，则为整数，所以， 当时，，当时，， 当时，， 所以该二项式展开式中所有的有理项为，，. 16. 从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒. 【答案】（1）24 （2）72 （3）72 【解析】 【分析】（1）先安排甲、乙的位置，再从剩余的4人中选2人并安排在剩余位置； （2）采用捆绑法，先选后排； （3）插空法，先从其余4人中选2人进行排列，再将甲乙两人插入空位. 【小问1详解】 甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下4人选出2人排列到两边，有种排法， 所以共有种排法； 【小问2详解】 将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，从剩下4人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法，所以共有种排法； 【小问3详解】 先从剩下4人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法， 所以共有种排法. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明出四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 设的中点为，连接，， 因为，是，的中点，所以在中，，， 因为为正方形，为中点，所以，， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，， 所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【小问1详解】 记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． 【小问2详解】 由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 19. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：三棱柱是正三棱柱； （2）证明：； （3）设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明三角形全等得到，即可证明三棱柱为正三棱柱； （2）建系，利用空间向量的方法证明线线垂直； （3）根据垂直关系得到可以作为平面的法向量，然后利用点到面的距离公式列方程，解方程得到，然后求外接球表面积即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中， 又因为， 所以， 所以， 所以三棱柱为正三棱柱. 【小问2详解】 取的中点，连结， 则. 因为平面， 所以平面. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，则 ， ， 所以. 因为，所以， 所以，所以. 所以， 所以，即. 【小问3详解】 因为平面平面， 又因为， 所以不妨取平面的法向量. 因为直线与平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 因为， 所以点到平面的距离， 所以. 所以正三角形的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径 ， 所以三棱柱外接球的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $