江苏南通市通州高级中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷

江苏省通州高级中学2025-2026学年度 第二学期高二第一次阶段性测试数学试卷 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ） A. B. C. D. 3. 的小数点后第三位数字为（    ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 6. 从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，的系数记为，则（ ） A. 该展开式共有15项 B. C. D. 的最大值为240 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 13. 7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______． 14. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题．当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步. 15. 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 （1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； （2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 16. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列． 参考公式：；参考数据：． 17. 现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）． （1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和； （2）对于两个不相互独立的事件，，，． ①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）； ②定义为与的相关系数． （ⅰ）若，求证：与正相关； （ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况． 18. 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，证明：． （3）若，求的值． 19. 体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张． （1）当，时，求甲获胜的概率； （2）当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望； （3）在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论． 江苏省通州高级中学2025-2026学年度 第二学期高二第一次阶段性测试数学试卷 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）0.93，管理时间与土地使用面积线性相关 （2）分布列见解析 【17题答案】 【答案】（1）的分布列如下， 0 1 2 3 期望为； （2） （i）由，则， 所以， 故与正相关，得证； （ii），与正相关. 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） ，； （3） 设局胜制中，甲的获胜概率为，可分为以下三类： 当时， ①局中甲获胜的概率为：； ②局中胜局且后续局至少胜局的概率为：； ③局中胜局且后续局全胜的概率为：． 所以， 所以， 令， 则，，所以单调递增， 由，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递增， 当时，甲最终获胜的可能性更大； 当时，，，即甲、乙最终获胜的可能性一样大； 当时，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递减， 则当时，乙最终获胜的可能性更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $