2026年徐州市中考数学高频易错题精选练习

**基本信息** 2026年徐州市中考数学高频易错题精选练习，覆盖选择、填空、解答三大题型，聚焦高频易错点，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查抽象能力、推理意识、模型观念等核心素养，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|相反数、全等三角形判定、概率意义等|以概念辨析为主，如第1题考查相反数与有理数分类，强化抽象能力| |填空题|10题|科学记数法、中位数、反比例函数性质等|注重易错点，如第10题结合平均数求方差，培养数据意识| |解答题|10题|二次函数综合、动态几何最值、圆的证明等|突出综合性，如第26题动态几何中探究PE、PB、AF关系，体现推理能力与创新意识|

2026年徐州市中考数学高频易错题精选练习 一、选择题 1．下列说法：①符号相反的数互为相反数；②整数包括正整数和负整数；③一个数的绝对值越大，表示它在数轴上对应的点离原点越远；④若，则；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下面说法错误的是（    ） A．两个全等三角形的面积相等 B．两角和一边对应相等的两个三角形全等 C．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．线段是轴对称图形 3．下列命题中真命题是（   ） A．一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B．某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C．在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D．将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 4．纳米是非常小的长度单位，已知纳米毫米，某种病毒的直径为纳米，若将这种病毒排成毫米长，则病毒的个数是(   ) A． B． C． D． 5．若，则 x－y 的值为（　　） A．－2 B．2 C．4 D．6 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A．b B．﹣b C．2a﹣b D．﹣2a+b 7．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 8．一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某种零件的表面积约为，将69000000用科学记数法可表示为___________． 10．若一组数据2，，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是_______． 11．若a,b互为相反数，x,y互为倒数，p的绝对值为2，则代数式的值为________． 12．方程＝的解是_____． 13．若，都在函数的图象上，且，则________． 14．如图，在矩形中，，分别是的中点，，则的长为___________． 15．如图，中，于交于点，若，则的值为___________． 16．如图，将一些小圆按一定规律摆放，则第8个图形共有________个小圆． 17．平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为___________． 18．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有________（填序号） 三、解答题 19．计算． (1) (2)化简 20．（1）解方程：     （2）解不等式组： 21．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 22．某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了名工人每天每人加工零件的个数（单位：个），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为______，图①中的值为______； (2)求统计的名工人每天每人加工零件数据的平均数、众数和中位数． 23．如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 24．如图，是的中线，过点D作的平行线交于点E，O是的中点，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 25．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB为直径，弧CD=弧AD，DE⊥BC，垂足为点E （1）求证：BD平分∠ABE； （2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若∠DBE=60°，AB=8，求阴影部分的面积 26．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP． (1)如图1，，，且．求：△ABP的面积． (2)如图2，若，以AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论． (3)如图3，作于D，于E，若，，，当DE最小时，请直接写出DE的最小值． 27．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上是否能找到一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． (3)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，有最大值，并求出最大值． 28．综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形纸片的边的中点．将正方形纸片沿折叠，点B落在F处，再展开铺平，过点B作交于点G，连接． 【初步探究】 （1）求证：四边形是菱形； 【深入探究】 （2）如图2，延长交于点H，求证：． 【拓展延伸】 （3）将两个边长为1的相同正方形拼成矩形，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写出的长． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了相反数、绝对值、有理数的分类等知识，相反数的定义、绝对值的意义、有理数的概念逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①符号相反，数字相同的数互为相反数，该选项说法错误； ②整数包括正整数、负整数和，该选项说法错误； ③一个数的绝对值越大，表示它在数轴上对应的点离原点越远，该选项说法正确； ④若，则，该选项说法错误； ⑤负分数是有理数，该选项说法正确； ∴正确的说法有个， 故选：． 2．C 【分析】利用角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、轴对称定义知识逐项判断即可． 【详解】、两个全等三角形的面积相等，原说法正确，本选项不符合题意； 、两角和一边对应相等的两个三角形全等，原说法正确，本选项不符合题意； 、三角形三条角平分线的交点到角的两边的距离相等，原说法错误，本选项符合题意； 、线段是轴对称图形，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、轴对称定义，熟练掌握三角形角平分线的性质和全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算等知识，熟记方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算是解决问题的关键．根据相关知识点逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即数据波动越大，也就意味着数据越不稳定；方差越小，数据越稳定．所以“一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性”是错误的．故A是假命题，不符合题意； B.某抽奖活动中奖的概率是，表示在大量重复抽奖的情况下，平均每次抽奖中奖的可能性是，参与次抽奖，只是有可能中奖，但不是一定会中奖，因为每次抽奖的结果都是独立的，具有随机性．所以“参与次抽奖一定会中奖”是错误的．故B是假命题，不符合题意； C.在一个随机事件中，某种结果出现的概率是由事件本身的性质决定的，而不是由实验的次数决定的．实验次数只是用来估计概率，当实验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近．所以“某种结果的出现概率是由实验的次数决定的”是错误的．故C是假命题，不符合题意． D.已知、、、、依次重复写遍，可得这个数据的总和为，所以这个数据的平均数为，该命题是真命题，符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】根据1毫米=直径×病毒个数，列式求解即可． 【详解】解：100×10-6=102×10-6=10-4；=104个． 故选A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘运算法则，解答此题的关键是正确进行单位的换算． 5．D 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x，y的值，再代入x－y中即可求解． 【详解】解：由题意得x−2≥0，2−x≥0， ∴2≤x≤2，故x=2， ∴y=－4， ∴x－y=2－（－4）=6． 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数并据此求出x，y的值是解题关键． 6．B 【详解】解：由数轴上点的位置，得：a＜0＜b，|a|＞|b|． 原式= ﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b．故选B． 7．A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 8．A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式是解题的关键．结合一次函数的图象即可求出不等式的解集． 【详解】解：由图象得，当时，，即， 关于x的不等式的解集为． 故选：A． 9． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 10．3，3，0.4 【分析】根据平均数求出x=3，再根据中位数、众数、方差的定义解答. 【详解】∵一组数据2，，4，3，3的平均数是3， ∴x=， 将数据由小到大重新排列为：2、3、3、3、4， ∴这组数据的中位数是3，众数是3， 方差为， 故答案为：3、3、0.4. 【点睛】此题考查数据的分析：利用平均数求某一个数，求一组数据的中位数、众数和方差，正确掌握计算平均数、中位数、众数及方差的方法是解题的关键. 11． -3 【详解】试题分析：互为相反数的两个数的和为零，互为倒数的两个数的积为1，则a+b=0，xy=1，p=±2. 考点：(1)、相反数；(2)、倒数；(3)、 12．x＝﹣3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：3x+6＝x， 解得：x＝﹣3， 经检验x＝﹣3是分式方程的解． 故答案为：x＝﹣3． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，并注意检验是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，可得当时，，随着的增大而减小，据此进行判断，即可求解． 【详解】解：， 当时，，且y随着的增大而减小， ， ， 故答案：． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟知这些性质定理是解题的关键．根据矩形的性质求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形和勾股定理等知识点．取的中点Q，连接，根据平行四边形的性质求出，根据三角形的内角和定理求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理求出，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点Q，连接， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．76 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中小圆个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形，可以写出前三个图形中小圆的个数，发现小圆个数的变化规律，从而求得第8个图形中小圆的个数． 【详解】解：由图知： 第1个图形中小圆的个数是：， 第2个图形中小圆的个数是：， 第3图形中小圆的个数是：， 所以，第8个图形中小圆的个数是：． 故答案为：76． 17． 【分析】由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴点P的坐标为(，)， ∴PO=， ∵， ∴当时，有最小值， 且最小值为， ∴PO的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 18．①④⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，． ∴． ∴．故①符合题意． ∵点是函数图象上一点，对称轴是直线， ∴二次函数图象经过点． ∵二次函数图象开口方向向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵函数图象上一点， ∴．故②不符合题意． ∵，二次函数图象对称轴是直线， ∴设二次函数解析式为． 把点坐标代入二次函数解析式得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意． ∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线， ∴二次函数图象过点． 把点和代入二次函数解析式中得 用a来表示b和c得 ∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点）， ∴． ∴． ∴．故④符合题意． ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴二次函数在时取得最大值． ∴当时，，即． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．故⑤符合题意． 故①④⑤符合题意． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 19．(1)4 (2)1 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，涉及特殊角的三角函数，负整数指数幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，特殊角的三角函数，化简绝对值，再进行加减计算； （2）先进行括号内分式减法计算，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（1），；（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程和一元一次不等式组： （1）方程运用公式法求解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了”的口诀确定不等式组的解集即可 【详解】解：（1） ∵，，， ， ∴， ∴，； （2） 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 21．(1)掷出面标有“6”的概率是 (2)掷出面标有“2的倍数”的概率是 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，根据题意求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面， 标有“6”的面数为面， 掷出“6”的概率是； （2）解：标有“2”的面数为2面，标有“4”的面数为4面，标有“6”的面数为5面，故掷出面标有“2的倍数”的有面， 掷出“2的倍数”的概率是． 22．(1)， (2)每天每人加工零件数据的平均数、众数和中位数分别为：个，个，个 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，中位数，众数，平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据样本容量频数所占百分数，即可得到的值，根据所占百分数频数样本容量，即可得到的值； （2）利用平均数、众数和中位数的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题知，（人），即， ，即， 故答案为：，； （2）解：由图中数据可得，每天每人加工零件数据的平均数为（个）， 众数为：25个， 中位数为顺次排列后的第位和第位的平均数，即个， 答：每天每人加工零件数据的平均数、众数和中位数分别为：个，个，个． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理： （1）如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）连接，由垂径定理得到，再由，即可利用勾股定理得到． 【详解】（1）解：如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，，圆心O到的距离为4， ∴， ∴， ∴的半径为． 24．(1)见解析 (2)当时，四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （2）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据菱形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）当时，四边形为菱形， 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 25．（1）见解析；（2）直线DE与圆O相切，理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据圆周角定理，由，得到∠CAD=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得∠DBE=∠CAD，所以∠ABD=∠DBE； （2）连结OD，如图1，利用内错角相等证明OD∥CE，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线； （3）利用扇形的面积公式、三角形的面积公式解答即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴∠CAD=∠ABD， ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠DBE=∠CAD， ∴∠ABD=∠DBE． ∴BD平分∠ABE； （2）解：直线DE与圆O相切，理由如下： 连结OD，OC，如图1， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， 而∠OBD=∠DBE， ∴∠ODB=∠DBE， ∴OD∥CE， ∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线； （3）如图2，作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形， ∴OD=EH， ∵∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠DBE=60°， ∴∠ABC=60°， ∴∠BOD=60°， ∵AB=8， ∴OB=OD=BD=4， 在Rt△DBE中，∠BDE=30°， ∴DE=OH=， ∴阴影部分的面积=S扇形BOD-S△OBD =． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 26．(1)； (2)，证明见详解； (3)DE的最小值为． 【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，由,列等量关系,计算得到的长，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）连接CE并延长，交BA的延长线与点H，证明，,进一步推理得到；由三角形中位线定理知道；证明，得到,代入中即可得到答案； （3）延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，推理得到当AP有最小值的时候，DE有最小值，在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点A作AG⊥BC于点G，如下图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴BC=2BG=2， ∴， ∴； （2）,理由如下： 证明：连接CE并延长，交BA的延长线与点H，作图如下： ∵， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 由勾股定理，得：,即：， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵F是BE的中点， ∴AF是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，如下图： ∴DE为△PMN的中位线， ∴MN=2BE， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，AM=AN，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴当AP有最小值的时候，DE有最小值， ∴在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值， 过点B作BF⊥AC于点F，如下图： ∵， ∴∠BFC=∠BFA=， 在中，， ∴， ∴FB=FC， 由勾股定理，得：，即， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， 即：， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理，得，即， ∵， ∴， ∴AP的最小值为3， ∴， ∴DE的最小值为：． 【点睛】本题考查勾股定理解直接三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，直接开平方法解一元二次方程，二次根式的加减，等知识点，能够用化归的思想，利用辅助线画准确图形是解该类型题的关键． 27．(1) (2)存在； (3)； 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由点，，的坐标得，，，再根据列方程求解即可； （3）根据题意可得出点，的坐标，进而可得出，的值，代入中，可得出，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和， 将点和代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：存在，理由： 由抛物线的表达式可知，其对称轴为直线， 故设点， 是以为底边的等腰三角形， ． 由点，，的坐标得，，， 则， ， 即点． （3）解：直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ． 当时，即， ，， ． 又， 当时，有最大值，最大值为． 28．（1）见详解；（2）见详解；（3）的长为或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，再由可得，进而可得，，根据四条边都相等的四边形是菱形即可证明四边形是菱形． （2）连接，先根据证明，则可得．设正方形纸片的边长为4，则，，．在中， 根据列方程求得，则可得，，进而可得 ． （3）分两种情况： ①如图，当F点在线段的延长线时，设与的交点为N点．先证，利用相似三角形对应边成比例列比例式可求得，． 再证明，利用相似三角形对应边成比例列比例式可求得，由折叠的性质可得． ②当F点在线段上时，连接．由题意得，则可得，由勾股定理可得，则可得．设，则， 根据列方程求得，进而可得． 【详解】（1）证明： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可得， ， ， ∴， ∴， ∵E点是边的中点 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 设正方形纸片的边长为4，， 则，，，， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴，， ∴． （3）解：分两种情况： ①如图，当F点在线段的延长线时，设与的交点为N点， 由题知四边形是矩形，且，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得，， ∵沿折叠得到， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴． ②如图，当F点在线段上时，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分情况讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $