精品解析：海南海口市2026届高三5月自测题库数学试题

高三数学 范围：高考全部内容． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】， 则在复平面内对应的点为，即在第四象限. 3. 设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据求和公式和通项公式代入求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以， 即， 整理得：， 解得 4. 若非零向量，满足，且，的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量垂直数量积为及数量积公式计算即可得. 【详解】由得， 故， 又均是非零向量，所以. 5. 在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以点在线段垂直平分线上. 又因为圆心也在线段垂直平分线上，所以直线就是的垂直平分线. 因为，所以， 因为， 所以. 由题意得直线过点，那么直线为，一般形式为. 那么. 6. 已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 即，得， 则. 因为， 所以，. 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据双曲线定义求出的长度，结合已知的，先在中利用余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理建立与的等量关系，最后借助双曲线中的关系求出的值，即可得到渐近线方程. 【详解】∵ 点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，可得. 又∵ ，∴ 代入得. 设，∵ 点也在双曲线的右支上，同理可得. ∵ 直线过且与双曲线右支交于两点，故在线段上， ∴ ，即，为等腰三角形. 在中，由余弦定理得： ， 将，，代入上式： ， 整理得， ∵ ，，∴ 解得，即，. 在中，再次应用余弦定理： ， 其中，代入已知值： ， 计算得， 化简得. 又∵ 双曲线满足，代入得， 整理得，即. ∵ 双曲线的渐近线方程为，代入得：， 整理为标准直线方程形式得，故选D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. “是周期函数”的否定是真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出导函数，根据奇函数、偶函数的定义即可判断AB；通过导数即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D. 【详解】已知函数，其导函数为，则， 对于A，由于，所以是奇函数，故A正确； 对于B，由于，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于，令，则， 再令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误； 对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有， 即，化简得， 显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾， 因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题， 所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. ，，，，，的上四分位数是 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 【答案】AC 【解析】 【分析】直接计算第75百分位数即可判断A；根据相关系数的绝对值越接近于1，线性相关性越强判断B；根据二项分布的期望公式与线性期望公式判断C；根据频率分布直方图的性质判断D. 【详解】对于A，数据共6个，，故第5个数据即为上四分位数，故正确； 对于B，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故错误； 对于C，随机变量服从二项分布，则，，故正确； 对于D，数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其中位数小于平均数，故错误. 11. 已知函数（，）图象的一条对称轴为直线：，一个对称中心为，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或5 C. 若直线与点是距离最近的一组对称轴和对称中心，则在上的值域为 D. 若在内恰有两个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意得，且判断A；根据题意，结合对称中心求得，再结合，讨论或满足题意判断B；根据题意得，解得，再结合对称中心求得，最后整体代换求解值域判断C；结合题意得，解得，再结合对称中心求解得判断D. 【详解】对于A选项，在正弦函数中，对称轴与对称中心的距离为，其中， 因为函数图象的一条对称轴为直线：，一个对称中心为， 所以，即， 即，由，解得， 因为在区间上单调，正弦函数的单调区间长度不超过， 所以，解得，故， 综上，，故A选项错误； 对于B选项，当时，，将对称中心为代入得，即，解得， 因为，故或， 当时，，在上单调递增，且是其对称轴，满足题干要求； 当时，，当时，，满足单调递增，且是其对称轴，满足题干要求； 综上，若，则或5，B选项正确； 对于C选项，直线与点是距离最近的一组对称轴和对称中心， 则，即，解得， 所以，将对称中心代入得， 即，解得，因为，故， 所以，此时，上单调递增，且是其对称轴，满足题干要求； 当时，， 所以，即，故C选项正确； 对于D选项，因为函数图象的一条对称轴为直线：，一个对称中心为，在内恰有两个零点， 则，整理得，即，解得， 所以， 将对称中心代入得，即，解得因为，故， 此时，由B选项知满足题意； 令，解得，即和为函数在内恰有两个零点，故D选项错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项为________． 【答案】180 【解析】 【分析】写出展开式的通项，确定的值代入求解. 【详解】展开式的通项为 ， 由得，所以常数项为. 13. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点，点，在上，且关于轴对称，定点，若，且直线，的斜率之积为，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先设出点坐标，利用对称性得到点坐标，结合斜率乘积条件与的条件求出点横坐标与的值，最后计算即可. 【详解】设点，∵ 点关于轴对称，∴ . ∵ 直线的斜率之积为， ∴ ， 整理得 ①. ∵ ，∴ 由两点距离公式得 ②. 将①代入②得 ，即 ， ∴ . ∵ 点在抛物线上， ∴ ，故，解得. 将代入①得 . 又∵ 点在抛物线上，∴ ，即，解得. 由抛物线焦半径公式，. 14. 已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，其中，由空间四点共面定理可得，再由，得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设，其中， 取空间基底, 因为底面是平行四边形， 所以 , 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以, 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得； （2）利用正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得即可. 【小问1详解】 由，结合正弦定理得， 因为，所以， 所以． 而，则，所以，而，故． 【小问2详解】 由题意得，外接圆半径， 由正弦定理得，得． 由余弦定理得，则， 即，当且仅当时等号成立， 此时的周长为． 16. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过定点、离心率及椭圆中的关系，列方程组求解出，进而写出椭圆的标准方程； （2）过焦点的直线方程，与椭圆方程联立得到韦达定理，根据原点在以为直径的圆内等价于，代入韦达定理结果化简求解出直线斜率的取值范围. 【小问1详解】 设的半焦距为．由题意得，解得，， 故的方程为． 【小问2详解】 易知，设直线的方程为，，． 由得， 得到， 则由韦达定理得，． 如图，因为原点在以为直径的圆内， 所以，所以，即， 所以，整理得， 即，整理得，解得， 即直线斜率的取值范围为． 17. 如图，在五面体中，底面四边形是梯形，，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】第（1）题，利用底面梯形的边长、角度关系，结合线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线，得出平面. 第（2）题，建立空间直角坐标系，用空间向量法求两个平面的法向量，再计算两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为为的中点，，所以且 ， 所以四边形为平行四边形，所以． 在中，，，， 由余弦定理得 ， 又因，则得，即，所以． 又，， 平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以，即． 因为且 ，所以四边形为平行四边形， 所以，，得， 因为，所以． 因为， 平面，平面， 所以平面． 由（1）知，，所以，，两两互相垂直. 以为原点， 所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 易知平面的一个法向量为． 如图(2)所示，因为平面，，,, ， 所以, . 设平面的法向量为， 则，故可取． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知（）． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，是函数的两个零点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合已知切点坐标与切线斜率建立关于a和b的二元方程组，直接代入求解 （2）采用分离参数法构造出新函数，通过求导判定单调区间并求出最大值，进而求得参数a的取值范围。 （3）通过代数消元变形，将指数不等式的证明转化为经典的极值点偏移模型，进而通过构造函数判定单调性，即可求证. 【小问1详解】 由，得． 所以解得 【小问2详解】 由恒成立，得恒成立． 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 令，即． 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 又，，时，，时，， 画出大致图象如下： 由图可知，，． 由，， 得①，②，所以． 所以要证，即证， 即证． 令，， 则， 所以在上单调递增，所以， 即，又，所以， 因为，所以， 由于且，又因为在上单调递减， 所以，即， 所以. 19. 某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． （1）求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望； （2）在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为． （i）求（）的值； （ii）求的最大值． 【答案】（1） 0 1 2 ． （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】(1)求出对应取值的概率，列出分布列，再用数学期望公式求解； (2) （i）求出三者的关系式，从而解出比值；（ii）构造等比数列，求出的表达式，再求出其最大值. 【小问1详解】 由题意得，的所有可能取值为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． 【小问2详解】 （i）甲达到累积分数m的事件，可根据最后一次得分的路径分为两类：1. 经累积m−1分后，再答对一道得1分的题； 2. 经累积m−2分后，再答对一道得2分的题.因此，根据概率加法和乘法原理， P(m)等于所有达到m−1分路径的概率之和乘以，加上所有达到m−2分路径的概率之和乘以， 所以时，， 所以， 即， 所以． （ii）由题意得，，， 所以由（i）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以① 又由， 得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以②． ②-①可得， 所以． 由于， 当时，， 令，则单调递减， 所以 ，所以时，， 又， 所以当时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 范围：高考全部内容． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -4 4. 若非零向量，满足，且，的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. “是周期函数”的否定是真命题 10. 下列说法中正确的是（ ） A. ，，，，，的上四分位数是 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 11. 已知函数（，）图象的一条对称轴为直线：，一个对称中心为，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或5 C. 若直线与点是距离最近的一组对称轴和对称中心，则在上的值域为 D. 若在内恰有两个零点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项为________． 13. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点，点，在上，且关于轴对称，定点，若，且直线，的斜率之积为，则________． 14. 已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 16. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围． 17. 如图，在五面体中，底面四边形是梯形，，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知（）． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，是函数的两个零点，求证：． 19. 某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． （1）求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望； （2）在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为． （i）求（）的值； （ii）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $