精品解析：海南海口海港学校2025-2026学年下学期高三数学5月模拟试卷

海南海口海港学校2025－2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 已知全集，则中元素个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 一样本的频率分布直方图如图所示，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5. 已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知在数列中，，其前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，，则 B. 若为等比数列，，则 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，则 10. 下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（参考数据：，）（ ） A. 底面直径为1，高为的圆锥 B. 底面边长为1，高为0.8的正三棱柱 C. 直径为0.8的球体 D. 底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体 11. 已知函数 ， ，则（ ）． A. 当时，直线与曲线相切 B. 当时，没有零点 C. 当时，是增函数 D. 当时，只有一个极值点 三、填空题 12. 已知向量，，，.若，则m=___________. 13. 圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 14. 随机变量服从正态分布，则______，的最小值为______. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期． （2）若将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 16. 已知函数（且）. （1）当时，求的极小值点与极小值； （2）讨论函数的单调性； 17. 如图，在四棱锥中，，底面为菱形，，，设点、分别为、的中点． （1）判断直线与平面的位置关系，并证明； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面所成角的大小． 18. 某生鲜电商平台有个待抽检的进口水果礼盒，需要筛查出携带有害生物的礼盒．已知携带有害生物的礼盒占比为，如果逐个抽检，需要检验次．平台质检部提出优化方案：随机按个礼盒一组分组，将每组个礼盒的检测样本混合检验，若混合样本没有携带有害生物，说明该组个礼盒的检测样本全部合格，仅需检验次： 若混合样本携带有害生物，说明该组至少有个礼盒携带有害生物，需要对该组每个礼盒再分别检验次． （1）当时，求一组礼盒携带有害生物的概率；（参考数据） （2）设一组礼盒的检测次数为，求的分布列及数学期望（用表示）： （3）如果携带有害生物的礼盒占比降为，按照个礼盒一组，估算取何值时，每个礼盒检验次数最少？并估算此时检测的总次数．（提示：利用进行估算）． 19. 直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； （3）如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口海港学校2025－2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 已知全集，则中元素个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示全集，可得到，从而得到集合，即可得解； 【详解】因为，， ∴，， ∴，中元素个数为4个， 故选：B． 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可． 【详解】由，则， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，准线，过作于，则，将问题转化为求，由图可知当三点共线时最小. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 4. 一样本的频率分布直方图如图所示，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】由频率分直方图可得数据落在区间[5，10)上的频率为0.04×(10-5)=0.20，数据落在区间[10，15)上的频率为0.10×5=0.50，从而可得第60百分位数是10+5× 【详解】解：由题图知，数据落在区间[5，10)上的频率为0.04×(10-5)=0.20，数据落在区间[10，15)上的频率为0.10×5=0.50，所以第60百分位数是10+5×=14． 故选：A 5. 已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程. 【详解】由函数，可得，所以且， 因为函数与偶函数在交点处的切线相同， 所以函数与相切于，且， 又因为为偶函数，所以，且， 所以函数在处的切线方程为，即． 故选：D. 6. 中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积． 【详解】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，可得， 而，可得， 由余弦定理可得， 即，① 因为边上的中线为，设中线为， 则， 两边平方可得， 即，② ②①可得，即， 所以． 故选：A． 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以， 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 二、多选题 9. 已知在数列中，，其前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，，则 B. 若为等比数列，，则 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，则 【答案】AC 【解析】 【分析】 求出等差数列公差，利用等差数列的求和公式可求得的值，可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；利用平方差公式可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，由已知条件可得，解得， 所以，，A选项正确； 对于B选项，设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，，B选项错误； 对于C选项，设等差数列的公差为， 则，C选项正确； 对于D选项，若等比数列的公比，则，， 此时，，D选项错误. 故选：AC. 10. 下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（参考数据：，）（ ） A. 底面直径为1，高为的圆锥 B. 底面边长为1，高为0.8的正三棱柱 C. 直径为0.8的球体 D. 底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算出正四面体的高及底面三角形内切圆半径，对于A，根据高的关系即可判定；对于B，计算出高为时正三棱锥底面三角形内切圆半径与棱柱底面三角形外接圆半径进行比较即可判定；对于C，根据正四面体内切球半径与球体的半径大小关系进行判断即可；对于D，计算出高为时正三棱锥底面三角形内切圆半径与底面圆半径进行比较即可判定. 【详解】依题可知，当几何体的外接球半径小于等于正四面体内切球半径时， 几何体能够被整体放入正四面体内， 对于正四面体，作平面. 交于，连接，且为正三角形的中心， 又棱长为2，则正三角形的内切圆半径为， 正四面体的高， 设正四面体内切球半径为， 则，则， 对于A，底面圆直径为1，半径为， 可以放到正四面体内，但高，所以不符合题意，故A错误； 对于B，底面边长为1，高为0.8的正三棱柱， 如图所示，当时，设内切圆半径为， 则， 则， 而边长为1时的正三角形内切圆半径为， 故满足题意，故B正确； 对于C，直径为的球体，其半径为，故满足题意，故C正确， 对于D，如图，当时，设内切圆半径为， 则， 则，故满足题意，则D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正四面体的结构特征求得其高与内切球的半径，再逐一分析各选项即可得解. 11. 已知函数 ， ，则（ ）． A. 当时，直线与曲线相切 B. 当时，没有零点 C. 当时，是增函数 D. 当时，只有一个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】求导，利用导函数逐项分析即可. 【详解】当时， ，则 ， 令 ，得． 因为，所以函数在处的切线方程为， 即，故A错误； 因为 ， ， 且函数 在上单调递增，所以方程有唯一解， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以有唯一极小值点，且，故D正确； 当时， ，则 ， 因为 ， ，且函数 在上单调递增， 所以方程 有唯一解t， 当时， ；当时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 因为 ，所以 ，， 的最小值为 ． 因为，所以，即，故B正确； 故选：BD. 三、填空题 12. 已知向量，，，.若，则m=___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值． 【详解】解：向量，，， ， 则， 故答案为：． 13. 圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】0（或者） 【解析】 【分析】根据直线过圆心及直线与圆相切的位置关系即可求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 因为在直线上， 所以圆关于直线对称的圆为圆本身， 所以直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：0（或者）． 14. 随机变量服从正态分布，则______，的最小值为______. 【答案】 ①. ##0.5 ②. ## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值. 【详解】随机变量服从正态分布， 所以， 结合正态曲线可知：，且 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：， 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期． （2）若将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换，得到，即可求解的最小正周期； （2）利用图象的平移，根据得到的解析式，确定函数的值域，即可求解函数的最大值与最小值. 【小问1详解】 所以最小正周期 【小问2详解】 由题知 由于，所以， 故函数在区间上的最大值为2，最小值为 16. 已知函数（且）. （1）当时，求的极小值点与极小值； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1）是的极小值点，极小值为 （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）通过导数求函数的极值点和极值； （2）分类讨论，结合导数的正负研究函数的单调性； 【小问1详解】 当时，，其定义域为， 求导，得， 令，即， 因为，所以，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. 【小问2详解】 的定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，， 在上，，所以在上单调递减， 在上，，所以在上单调递增，   综上所述， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 如图，在四棱锥中，，底面为菱形，，，设点、分别为、的中点． （1）判断直线与平面的位置关系，并证明； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面所成角的大小． 【答案】（1）直线平面，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接，，证得且，得到为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）设的中点为，连接，证得平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：直线平面. 证明如下： 设的中点为，连接，， 因为点为的中点，所以，且， 因为点为的中点，且底面为菱形，所以，且． 从而可得且，即可得为平行四边形， 即可得，平面，平面, 所以直线平面． 【小问2详解】 解：设的中点为，连接．因为，， 则，所以为等腰直角三角形，可得， 设点到平面的距离为， 因为菱形的面积为，且四棱锥的体积为， 可得，解得，即，所以平面， 以点为原点，以所在的直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则，， 设平面的法向量为，可得， 取，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 则， 又因为，所以， 所以平面与平面所成角的大小为． 18. 某生鲜电商平台有个待抽检的进口水果礼盒，需要筛查出携带有害生物的礼盒．已知携带有害生物的礼盒占比为，如果逐个抽检，需要检验次．平台质检部提出优化方案：随机按个礼盒一组分组，将每组个礼盒的检测样本混合检验，若混合样本没有携带有害生物，说明该组个礼盒的检测样本全部合格，仅需检验次： 若混合样本携带有害生物，说明该组至少有个礼盒携带有害生物，需要对该组每个礼盒再分别检验次． （1）当时，求一组礼盒携带有害生物的概率；（参考数据） （2）设一组礼盒的检测次数为，求的分布列及数学期望（用表示）： （3）如果携带有害生物的礼盒占比降为，按照个礼盒一组，估算取何值时，每个礼盒检验次数最少？并估算此时检测的总次数．（提示：利用进行估算）． 【答案】（1） （2）期望为，分布列为 （3），总次数估计为次【解析】 【分析】（1）根据条件，利用对立事件和独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （3）根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设事件为“一组礼盒携带有害生物”，， 所以一组礼盒携带有害生物的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， ，， 所以的分布列为 则. 【小问3详解】 设一组礼盒的检验次数为，的可能取值为，， ，， 所以， 则， 当且仅当时取等号， 所以时，每个礼盒检验次数最少，此时检测总次数估计为次. 19. 直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； （3）如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）16 （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意可得直线的方程为，，，即可求解. （2）直线的方程为，，，表示出，再根据，解得. （3）由，可得，，梯形的面积为，梯形的面积为6，设，，可求得，代入直线的方程，得出直线过定点. 【小问1详解】 由题意可得，直线的方程为，即， 令，解得，令，解得， 所以. 【小问2详解】 设直线的斜率为（），直线的方程为， 令，解得，令，解得， 则， 由，得， 由，成立， 由，解得， 综上，. 【小问3详解】 设，，因为，， 所以，可得，， ，则，， 梯形的面积为， 由题意，梯形的面积为6， 设，，可得，即， 当时，直线； 当时，直线的方程为， 将代入上式可得， 由，解得，所以直线过定点； 综上，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $