江苏苏州市相城第三实验中学 2025-2026学年下学期七年级数学期末模拟试卷

**基本信息** 初一数学期末模拟卷以AI软件图标、机器人精度、《孙子算经》等真实情境为载体，覆盖几何直观、运算推理、模型应用等核心素养，梯度设计兼顾基础巩固与创新探究。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|轴对称、整式运算、逆命题|以AI图标考轴对称，体现数学眼光| |填空题|8|科学记数法、平移、动态全等|机器人精度结合科学记数法，强化抽象能力| |解答题|11|方程组应用、图形变换、配方最值|《孙子算经》方程组建模，26题面积法推导恒等式，27题动态几何证明，发展推理能力与创新意识|

名思集团阳澄湖校区教学部2025-2026初一春学期期末模拟试卷（二） 三中数学 整体难度：中等 考试范围：图形的变化，数与式，图形的性质，方程与不等式，三角形 试卷题型 题型 数量 单选题 8 填空题 8 解答题 11 试卷难度 难度 题数 容易 10 适中 17 难度分布 37% 63% ■容易■适中 细目表分析 第1页共3页 题号 难度系数 详细知识点 、 单选题 0.85 轴对称图形的识别 同底数幂相乘；积的乘方运算；同底数幂的除法运算；运用完全平方公式进行运 2 0.85 算 判断命题真假；用SSS证明三角形全等(SSS);写出命题的逆命题；等边三角 3 0.85 形的性质 4 0.85 求完全平方式中的字母系数 5 0.75 古代问题（二元一次方程组的应用） 6 0.73 等腰三角形的定义；三角形三边关系的应用；绝对值非负性 7 0.51 根据三角形中线求面积 8 0.65 全等三角形的性质 二、填空题 9 0.85 同底数幂乘法的逆用；积的乘方的逆用 10 0.95 用科学记数法表示绝对值小于1的数 11 0.85 在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集 12 0.85 利用平移的性质求解 13 0.7 通过对完全平方公式变形求值 14 0.65 全等的性质和SAS综合(SAS)；三角形的外角的定义及性质 积的乘方运算；加减消元法；因式分解的应用；已知二元一次方程组的解的情况 15 0.5 求参数 16 0.52 全等三角形综合问题；动点问题（一元一次方程的应用） 三、解答题 17 0.75 零指数幂；负整数指数幂；幂的混合运算 18 0.65 代入消元法；加减消元法 19 0.77 求一元一次不等式的解集；在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集；求 一元一次不等式组的整数解 20 0.85 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 21 0.7 分析图案的形成过程；画轴对称图形；平移作图)；画旋转图形 第2页共3页 两直线平行同位角相等；写出一个命题的已知、求证及证明过程；垂线的定义理 22 0.85 解 23 有理数四则混合运算的实际应用；用一元一次不等式解决实际问题：销售、利润 0.72 问题（二元一次方程组的应用） 24 0.65 已知多项式乘积不含某项求字母的值；幂的混合运算 25 0.65 配方法的应用；运用完全平方公式进行运算；通过对完全平方公式变形求值 多项式乘多项式与图形缅积；已式子的值，求代数式的值；通过对完全平方公 26 0.52 式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用 27 全等的性质和SAS综合(SAS);证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的 0.65 辅助线问题) 知识点分析 序号 知识点 对应题号 图形的变化 1,12,21 2 数与式 2,46,9,10,13,15,17,23,24,25,26 3 图形的性质 3,6,7,8,14,16,20,22,27 4 方程与不等式 5,11,15,16,18,19,23,25 第3页共3页 名思集团阳澄湖校区教学部2025-2026初一春学期期末模拟试卷（二） 三中数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B C B D 1．A 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：B，C，D不是轴对称图形，A是轴对称图形， 故选：A． 2．C 【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 3．A 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，实数的性质，平行线的判定，等边三角形的判定，全等三角形的判定，把原命题的结论和题设互换，写出对应命题的逆命题，再根据实数的性质，等边三角形的判定，平行线的判定和全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、逆命题为若，则，取，则，但，即不成立，故逆命题不成立，符合题意； B、逆命题为各角都等于的三角形是等边三角形，逆命题成立，不符合题意； C、逆命题为同位角相等，则两条直线平行，此为平行线的判定定理，逆命题成立，不符合题意； D、逆命题为对应边相等的三角形全等，此为三角形全等的判定，逆命题成立，不符合题意． 故选：A． 4．D 【详解】解：由题意，， ∴. 5．B 【分析】根据等量关系“若每3人共乘一辆车，最终剩余２辆车；若每２人共乘一辆车，最终剩余９人无车可乘”列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为：． 6．C 【分析】利用绝对值和平方的非负性先求出m，n的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2， 2， 9， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9， 9， 2， ∵，满足三角形三边关系． ∴周长为． 7．B 【分析】如图，延长交于点F，连接，由重心的性质得到，，然后得到，设，表示出，，进而即可． 【详解】解：如图，延长交于点F，连接， ∵是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．D 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 9．/ 【分析】利用同底数幂的逆运算法则和积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 10． 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于的正数，根据科学记数法的定义，确定形式中和的值即可. 【详解】解： 11． 【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解． 【详解】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为， ∴不等式组的解集是． 12．2 【分析】根据平移的性质计算即可． 【详解】解：由平移得， ∴． 13． 10 【分析】利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出的值． 【详解】解：， ∴，， ， 整理得， ∴． 14． 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 15．①②/②① 【分析】先解二元一次方程组，得到x、y与m的关系，根据相反数的性质得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是非负整数可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则可判断④． 【详解】解：解方程组得， ①∵x，y的值互为相反数 ∴，即， 解得，故①正确； ② ，故②正确； ③∵方程组的解都为自然数，且m必须为自然数， ∴或， 当时，符合题意； 当时，符合题意， 故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误； ④由得， ∴ ， ∴无论m取什么实数，的值始终为27，故④错误， 综上，结论正确的是①②， 16． 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 17．(1) (2)13 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得 解得： 将代入①得 ∴ （2）解： 得 解得： 将代入得， 解得： ∴ 19．(1)，数轴见解析 (2)，非负整数解为0、1、 【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤进行解答即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 解集在数轴上表示如下： （2）解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为， 它的非负整数解为0、1、 20．（1）见解析（2）6 【分析】（1）根据ASA证明△ABF≌△DBC，故可求解； （2）根据SAS证明△ABE≌△DBE，得到AE=DE=4，故可求解． 【详解】（1）∵， ∴∠BFA=∠C=90° 又， ∴△ABF≌△DBC， ∴； （2）∵△ABF≌△DBC ∴∠ABF=∠DBC ∵=== ∴∠ABE=∠DBE 又AB=DB，BE=BE ∴△ABE≌△DBE ∴AE=DE=4， ∴的面积为AE×BF=． 【点睛】此题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 21．(1)见详解； (2)BD 【分析】（1）根据平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质画图即可； （2）三角形②可以看成由三角形①先平移，再关于直线a对称得到的；也可以看作三角形②是由三角形①绕点O顺时针旋转，再关于直线b对称得到的． 【详解】（1）解：①如图，即为所求，②即为所求，③即为所求； （2）解：三角形②可以看成由三角形①先平移，再关于直线a对称得到的； 也可以看作三角形②是由三角形①绕点O顺时针旋转，再关于直线b对称得到的； 22．①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 23．(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元． 24．(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 25．(1)见解析；； (2)最小值为，或． 【分析】（）根据配方法的定义配方，由平方具有非负性，即可得证； 将配方成，即可确定最小值； （）根据，（当时，且是定值时，有最小值是），即可确定S最小值，然后解方程即可求出的值； 本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握知识点的应用． 【详解】（1）证明：∵， ∴多项式的值一定恒为正数； ②解： ， ∴最小值为； （2）解：， ∴最小值为，此时有， ∴， ∴， ∴或． 26．(1) (2) (3) (4)22 【分析】（1）用两种方法表示图4中阴影部分的面积即可解答； （2）将代入（1）的结论求解即可； （3）设，则，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）如图：延长、交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，由推导出，再根据求得其表达式即可解答． 【详解】（1）解：如图4：第一种表示阴影部分的面积：； 第二种表示阴影部分的面积：； 所以． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴． （4）解：如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 由得： ， ， ， ， ， ， ． 答：图中阴影部分的面积是22． 27．(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $名思集团阳澄湖校区教学部2025-2026初一春学期期末模拟试卷（二） 三中数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D 1.A 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图 形，据此进行判断即可. 【详解】 解：B,C,D不是轴对称图形，A是轴对称图形， 故选：A. 2.C 【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式计算各选项即可判断正误。 【详解】解：A、m÷=m-3=m≠m,故本选项计算错误； B、m=m33=≠m,故本选项计算错误； C、(ab)=ab,故本选项计算正确： D、(a+1)=a+2a+1≠+1，故本选项计算错误. 3.A 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，实数的性质，平行线的判定，等边 三角形的判定，全等三角形的判定，把原命题的结论和题设互换，写出对应命题的逆命题， 再根据实数的性质，等边三角形的判定，平行线的判定和全等三角形的判定定理逐一判断即 可 【详解】解：A、逆命题为若a2<b2,则a<b,取a=1,b=-2,则d2=1<b2=4,但a=1>b=-2, 即a<b不成立，故逆命题不成立，符合题意： B、逆命题为各角都等于60°的三角形是等边三角形，逆命题成立，不符合题意； C、逆命题为同位角相等，则两条直线平行，此为平行线的判定定理，逆命题成立，不符合 题意； D、逆命题为对应边相等的三角形全等，此为三角形全等的S$S判定，逆命题成立，不符合 题意 第1页共18页 故选：A. 4.D 【详解】解：由题意，x2-x+1=(x士1)=x2±2x+1, .'.=±2 5.B 【分析】根据等量关系“若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最 终剩余9人无车可乘列出方程组即可. 3(y-2)=x 【详解】解：由题意，可列方程组为： 2y+9=x 6.C 【分析】利用绝对值和平方的非负性先求出，的值，再结合等腰三角形性质和三角形三 边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果. 【详解】解：，m-2+(n-9)}=0, .lm-2=0,(n-9)=0, 解得m=2,n=9, 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2,2,9， ,2+2<9,不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9,9,2， ,9+2>9,满足三角形三边关系， .周长为9+9+2=20. 7.B 【分析】如图，延长AG交BC于点F,连接AD,由重心的性质得到AG:GF=2:1, C=BC,然后得到DP:FC=12,设S.Gr=岛，表示出ScD=S=3S,S 2 进而即可. 【详解】解：如图，延长AG交BC于点F,连接AD, 第2页共18页 A E D F ,G是△ABC的重心， .AF是△ABC的中线，AG:GF=2:1, :.BF=FC=LBC, 2 DC=3DB, 设DB=x,则DC=3DB=3x, ∴BC=BD+DC=4x, ∴BF=FC=2x, ∴.DF:FC=1:2, 设SDF=S, .AG:GF=2:1, .S.AGD=2S0,S.coF=250, .S.CGD=S2=38 .S.AGC =2S.cGr=48, .S.CGE=SAGC-S.AGE=4S0-S1, S.AuR=GR S.com S.AGD DG S.CGD g=8 , P “g88 S,3S。15 8.D 【分析】根据△BDE≌△CDA,得到两组三角形中的边角的关系，得到△ADE、△BCD为 等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可， 【详解】解：：△BDE≌△CDA, 第3页共18页 ∴.DB=DC,DE=DA,∠BDE=∠CDA,∠DEB=∠DAC, :BDE+∠CDA=180°， .∴.∠BDE=∠CDA=90°， .DB=DC,DE=DA, .∠DBC=∠DCB=45°，∠DAE=∠DEA=45°， ∴.∠DEB-∠DCB=∠DAC-∠DAE， .∠CBE=∠CAE,即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确： ∠DEB=∠DAC,∠DEB+∠DBE=90°， ∴.∠DAC+∠DBE=90P, 设BE延长线交AC于点H,AE延长线交BC交于点M,则∠AHB=90°， .BE⊥AC,即③正确： ∠DAE=45°，∠DBC=45°， ∠DAE+∠DBC=90°， .∠AMB=90 .AE⊥BC,即④正确： 综上所述，结论中正确的是①③④. 9.-04 【分析】利用同底数幂的逆运算法则和积的乘方逆运算法则计算即可. 【1(》 （③〔引 〔引(》 第4页共18页 2 三5 10. 2.1×10-3 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，根据科学记数法的定义，确定形 式a×l0"中a和n的值即可」 【详解】解：0.000021=2.1×103. 11.x>3 【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）即可求解. 【详解】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为x>2,x>3 .不等式组的解集是x>3. 12.2 【分析】根据平移的性质计算即可. 【详解】解：由平移得EF=BC=5, ∴.CF=EF-EC=5-3=2. 13. 10 【分析】利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出 4a2+b2的值. 【详解】解：(2a+b2=14,(2a-b)2=6, ∴.4a2+4ab+b2=14①，4a2-4ab+b2=6②， ①+②(4a2+4b+b2)+(42-4ab+b2)=14+6, 整理得8a2+2b2=20, .4a2+b2=10. 14.50° 【分析】先证明△BAC2AEAD(SAS),得出∠2=∠BAC,A=∠ABC,再结合三角形外角 的定义及性质计算即可得出结果， 第5页共18页 【详解】解：，∠BAE=∠CAD, .∠BAE-∠CAE=∠CAD-∠CAE, .∠BAC=∠EAD, .AB=AE,AC=AD, ∴.△BAC≌AEAD(SAS), ∴.∠2=∠BAC,I=∠ABC, ,∠3=∠BAC+∠ABC=∠2+A,∠1+∠2+∠3=100°， ∴.2∠3=100°， .∠3=50°. 15.①②/②① 【分析】先解二元一次方程组，得到x、y与m的关系，根据相反数的性质得到m的方程， 然后解方程即可求解①：将x、y代入等式的右边，化简即可判断②：根据自然数是非负整 数可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则可判断④ [x+3y=4-m[x=1+2m 【详解】解：解方程组 t-2y=4m-1得1 y=1-m ①，y的值互为相反数 ∴.x+y=0,即1+2m+1-m=0, 解得m=-2,故①正确： ②y+y2 =(x+y)y =(1+2m)+(1-m)](1-m) =(2+m)1-m),故②正确： x=1+2m ③，方程组的解 都为自然数，且必须为自然数， y=1-m .=0或m=1, x=1 当=0时， y=1符合题意： 第6页共18页 当m=1时， x= =0符合题意， 故方程组的解x,y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误； x=1+2m ④由y=1-m 得x+2y=3, .3.9 =3.320 =3+2y =33 =27, ∴.无论m取什么实数，3.9的值始终为27，故④错误， 综上，结论正确的是①②， 16. 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的 运动边界条件， 【详解】解：设运动时间为t秒，则：BP=3t,PC=9-3t,CQ=xt,且0≤t≤3,0≤t≤5. ,∠B=∠C=90°， △PBE与△PCQ均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况： 情况一：BE=PC且BP=CQ, 3=9-3t 3t=xt 解得t=2,x=3 此时CQ=xt=6>CD=5,点O超出边界，舍去. 情况二：BE=CQ且BP=PC, [3=xt 13t=9-3t 解得号=2 此时CQ=3<5,BP=4.5<9,符合运动范围，有效. 综上，唯一符合条件的解为x=2. 第7页共18页 故答案为：2. 17.(1)xm+5 (2)13 【详解】(1)解：(x2.x)÷x2m =(x2m月÷x2m =x6+3m÷x2m =x6+3m-2m-1 =xm+5; (2)解：-+6614--（ =-1+6-1+9 =13. x=-2 18.(1) y=-8 a [y=3x-2① 【详解】(1)解： 5x-2y=6② 将①代入②得5x-2(3x-2)=6 解得：x=-2 将x=-2代入①得y=3×(-2)-2=-8 7x+3y=4① (2)解： 5x-4y=9② ①×4+②×3得43x=43 解得：x=1 将x=1代入①得7×1+3y=4, 第8页共18页 解得：y=-1 r-1 "y=-1 19.()x<亏，数轴见解析 (2)-1<x≤2，非负整数解为0、1、2 【分析】(1)根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤进行解答即可； (2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可. 【详解】(1)解：去分母得，2(x+4)-3(3x-1)>6, 去括号得，2x+8-9x+3>6, 移项得，2x-9x>6-8-3, 合并同类项得，-7x>-5, 系数化为1得，< 解集在数轴上表示如下： -3-2 -1012345 「2(x-3)≤x-4① (2)解： 2<② 3 由①得，x≤2， 由②得，x>-1, 故此不等式组的解集为-1<x≤2， 它的非负整数解为0、1、2. 20.(1)见解析（2)6 【分析】(1)根据ASA证明△ABF≌△DBC,故可求解； (2)根据SAS证明△ABE≌△DBE,得到AE=DE-4,故可求解. 【详解】(1)，BC⊥CD,BF⊥AE ∴.∠BEA=∠C-=90° 又BF=BC,∠ABF=∠CBD .△ABF≌△DBC, .AB=DB: 第9页共18页 (2),△ABF≌△DBC ∴.∠ABF=∠DBC ,∠CBF=2∠DBE=∠CBD+∠DBE+∠EBF=∠ABF+∠DBE+∠EBF=∠ABE+∠EBD ∴.∠ABE=∠DBE 又AB=DB,BE=BE .△ABE≌△DBE ∴AE=DE=4, ·△ABE的面积为片AExBF=-x4×3=6. 2 【点睛】此题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理. 21.(1)见详解； (2)BD 【分析】(1)根据平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质画图即可： (2)三角形②可以看成由三角形①先平移，再关于直线α对称得到的：也可以看作三角形 ②是由三角形①绕点O顺时针旋转90°，再关于直线b对称得到的， 【详解】(1)解：①如图△AB,C1,即为所求，②△ABC即为所求，③△ABC即为所求： A (2)解：三角形②可以看成由三角形①先平移，再关于直线α对称得到的： a 也可以看作三角形②是由三角形①绕点O顺时针旋转90°，再关于直线b对称得到的： 第10页共18页 (① b 22.①b∥c;②a⊥c;③∠1=90°；④垂直的定义；⑤b∥c;⑥∠1=∠2；⑦两直线平行， 同位角相等；⑧∠2=90°；⑨aLc;⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据α⊥b得到A=90°，再由b∥c, 得到∠2=A=90°，即可证明. 【详解】己知：如图，在同一平面内直线a⊥b,①b∥c. 求证：②a⊥c. b 证明：：a6(已知)， ∴.③A=90°（④垂直的定义）. .⑤b∥c(己知)， ∴.⑥1=∠2（⑦两直线平行，同位角相等）， .⑧∠2=90°（等式的基本事实）， ∴.⑨a⊥c(⑩垂直的定义). 23.(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个.方案2：购甲89个，乙111个.方 案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】(1)设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程 组求解； （2)设购进甲种书包个，则购进乙种书包(200-m)个，根据题意列出不等式得到m≤90， 然后结合>87求解即可： 第11页共18页 (3)分别计算三种方案的利润比较即可. 【详解】(1)解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， x=2y-30 根据题意得 2x+3y=255’ x=60 解得 y=45' 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元： (2)解：设购进甲种书包个，则购进乙种书包(200-m)个， 根据题意可得50m+40(200-m)≤8900 解得≤90 >87, .∴.87<m≤90 m为整数， m=88、89、90, 200-m=112,111,110 .该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个： 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个， (3)解：方案一：利润为(60-50)×88+(45-40)×112=1440（元）： 方案二：利润为(60-50)×89+(45-40)×111=1445（元）： 方案三：利润为(60-50)×90+(45-40)×110=1450（元）： .1440<1445<1450 .方案三利润最大，最大利润是1450元. 24.(1)p=3,q=1: (2)-96. 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合 并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值， 第12页共18页 (1)利用条件中积不含x项和x项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； (2)先化简，再利用第(1)问中的结果，代入求值. 【详解】(1)解：原式=x4-3x3+gm2+px3-3px2+pgr+8x2-24x+8, =x+(-3+p)x2+(g-3p+8)x2+(p9-24)x+8q, :(x2+px+8)(x2-3x+g的积中不含x项和x项， .-3+p=0,q-3p+8=0, .p=3,q=1: (2)(2pg2)(-2p)3÷(3pg}, =4pq(-8p）÷9pq, =-32pq÷9pq, 号， p=3,q=1, 9-271=323=96 ·原式32 9 25.(1)①见解析：②5： (2)S最小值为-6，a=4或2. 【分析】(1)①根据配方法的定义配方，由平方具有非负性，即可得证： ②将2A-B配方成(x+1)+5,即可确定最小值： （2)根据㎡+b2≥2b,（当a=b时，且2ab是定值时，d2+b2有最小值是2ab),即可确 定S最小值，然后解方程即可求出a的值： 本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握知识点的 应用， 【详解】(1)①证明：：A=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2， ∴.多项式A的值一定恒为正数； ②解：2A-B =2x2+4x+6-x2-6x =x2-2x+6 第13页共18页 =(x+1)2+5≥5， .2A-B最小值为5； 1+aa-3+a38≥2-8=-6， (2)解：S=ad-6+1+1 a-3} 8最小值为-6，此时有(a-3}=,一1 (a-3)}2, ∴(a-3)4=1, .(a-3)2=1, .a=4或2. 26.1)(a+b)2-4ab=(a-b} (2)16 (3)4052 (4)22 【分析】(1)用两种方法表示图4中阴影部分的面积即可解答； (2)将a+b=6,ab=5代入(1)的结论求解即可； (3)设=2025-x,n=x-2023,则m+n=2,w=-2024,(2025-x)2+(x-2023)2=m2+n2, 再利用完全平方公式变形求解即可； (4)如图：延长AD、FG交于点H,设正方形CEFG的边长为x,正方形ABCD的边长为 (10-x),由S+S,=56推导出10x-x2=22,再根据S阴影=S梯形-S方形C心-S4G求得 其表达式即可解答. 【详解】(1)解：如图4：第一种表示阴影部分的面积：(a+b)-4ab: 第二种表示阴影部分的面积：(a-b): 所以(a+b)2-4ab=(a-b)2. (2)解：由(1)可得：(a-b)=(a+b)-4ab, .'a+b=6,ab=5, .(a-b)2=6-4×5=16. 第14页共18页 (3)解：设=2025-x,n=x-2023,则m+n=2,=-2024, ∴.(2025-x)3+(x-2023)2=2+m, (m+n2=m2+2n+2, ∴.m2+=(m+n-2m=22-2×(-2024)=4052. (4)解：如图：延长AD、FG交于点H, 设正方形CEFG的边长为x,正方形ABCD的边长为(1O-x), 由S+S2=56得： x2+(10-x)2=56, x2+100-20.x+x2=56, 2x2-20x+44-0, x2-10x+22=0, 10x-x2=22, S影=S形AEH-SE方形CE心-SAaH, =(+10x10÷2x10x0-) =5x+50-x2-50+5x =10x-x2 =22. 答：图中阴影部分的面积是22. 27.(1)证明见解析 (2)不成立，EF=DF-BE,理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关 键. 第15页共18页 (I)延长EB至点H,使BH=DF,构造△ABH≌△ADF,得出AH=AF,∠BAH=∠DAF, 再利用∠BAF=∠DAB,得出E4F=∠EAH,证明△BAP≌△EAH,得出EF=H,再 利用线段的和差即可证明： (2)在DF上截取DM=EB,构造△ABE≌△ADM,得出AE=AM,∠BAE=∠DAM,再 利用∠BAF=∠DAB,得出∠BAF=MAF,证明AEAF2AMMF,得出BR=MR,再利 用线段的和差即可证明. 【详解】(1)证明：如图，延长EB至点H,使BH=DF, D 万 B C ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABH=180°， ,∠ADC=∠ABH, 在△ABH和△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADC, BH=DF △ABH≌△ADF, .AH=AF,∠BAH=∠DAF, :∠EAF=1∠DAB. 2 ∴.∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAH+∠BAE=∠EAH, 在△EAF和△EAH中， 「AF=AH {∠EAF=∠EAH, AE=AE ∴.△EAF≌△EAH, ..EF=EH, 第16页共18页 EH=BE+BH, .EF=BE+BH=BE+DF (2)解：如图，在DF上截取DM=EB, D M B ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, 在△ABE和△ADM中， AB=AD ∠ABE=∠ADC, BE=DM ,△ABE≌AADM, ∴.AE=AM,∠BAE=∠DAM, .∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM, 即∠EAM=∠DAB, ∠EAF= ∠DAB, 2 ·BAR= ∠EAM, 2 ∴.∠EAF=∠MAF, 在△EAF和△MAF中， AE=AM ∠EAF=∠MAF, AF=AF ∴△EAF≌△MAF, .EF=MF, DF =DM+MF, 第17页共18页 .'DF=BE+EF, 即：EF=DF-BE. 第18页共18页 名思集团阳澄湖校区教学部2025-2026初一春学期期末模拟试卷（二） 三中数学 一、单选题 1．下列图形是几款常用AI软件的图标，其中轴对称图形是（颜色除外）（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的各角都等于 C．两条直线平行，同位角相等 D．全等三角形的对应边相等 4．如果是一个完全平方式，那么m的值是（　 ） A．2 B． C． D． 5．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 7．如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 二、填空题 9．计算的结果是______． 10．在2024年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为______． 11．关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 12．如图，三角形沿着由点到点的方向，平移得到三角形，已知，，那么的长为__________． 13．已知，，则的值是________． 14．如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 15．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是___________（请填序号） ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ②无论取何值，恒成立； ③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1； ④无论取什么实数，的值始终为9． 16．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．解方程组： (1)； (2)． 19．解不等式或不等式组 (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并求出它的非负整数解． 20．如图，在多边形ABCDE中，，于点F，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 21．图形的变换：平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1中的三角形的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)①如图1，在方格纸中画出将向左平移1个单位长度得到的； ②如图1，在方格纸中画出关于对称的； ③如图1，在方格纸中画出绕点按顺时针旋转后的得到的； (2)如图2，方格纸中有两个形状、大小都相同的三角形，三角形②可以看成由三角形①经过怎样的图形运动得到？下列结论： A．1次轴对称    B．1次平移和1次轴对称 C．1次平移和1次旋转    D．1次旋转和1次轴对称 其中，正确的有__________________； 22．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 23．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 24．若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 25．定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； (2)因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 26．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：．图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形．然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是____________． (2)若，求的值． (3)已知，求值． 【类比迁移】 (4)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，直接写出图中阴影部分的面积． 27．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $名思集团阳澄湖校区教学部2025-2026初一春学期期末模拟试卷（二） 三中数学 一、单选题 1.下列图形是几款常用AⅡ软件的图标，其中轴对称图形是（颜色除外）() 2.下列计算正确的是() A.m÷m2=m2B..m=2C.(ab)}2=a2b2D.(a+1)2=d+1 3.下列命题的逆命题不成立的是() A.若a<b,则a2<b2 B.等边三角形的各角都等于60° C.两条直线平行，同位角相等 D.全等三角形的对应边相等 4.如果x2-x+1是一个完全平方式，那么m的值是() A.2 B.-4 C.4 D.±2 5.《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文： 今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一辆车，最终剩余 9人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为() 「3y-3)=x 「3(y-2)=x 「3y-x=2 「2y-x=2 A. C. D. 2y-9=x 2y+9=x 2y-x=9 2y-x=-9 6.已知，n是等腰三角形ABC的两边，且-2+(n-9)=0,则等腰三角形的周长为() A.13 B.13或20 C.20 D.13或19 7.如图，G是△ABC的重心，D为BC边上一点，且DC=3DB,连接并延长DG交AC于E, △4GE面积为S,△CGD面积为S,则令的值为( G A. 7 B 8 c D. 第1页共8页 8.如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且△BDE≌△CDA; 其中点B与点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是() ①∠CBE=∠CAE;②CE-ED;③BE⊥AC;④AE⊥BC. A.①② B.①②③ C.③④ D.①③④ 二、填空题 2027 2026 的结果是 10.在2024年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添 了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其 重复定位精度可达0.000021米.数据0.000021用科学记数法表示为 11.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 01234567 I2.如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向，平移得到三角形DEF,已知BC=5,EC=3, 那么CF的长为 13.已知(2a+b)2-14,(2a-b)2=6,则4a2+b2的值是 14.如图，点B,C,D三点在同一直线上，且AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD.若 ∠1+∠2+∠3=100°，则∠3的度数为. 第2页共8页 15.已知关于x,y的二元一次方程组 x-2y=4m-1给出下列结论中正确的是 x+3y=4-m (请填序号) ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，m=-2; ②无论m取何值，y+y2=(2+m)1-m)恒成立： ③当方程组的解x,y都为自然数时，则m有唯一值为1： ④无论m取什么实数，3.9的值始终为9. 16.如图，在长方形ABCD中，E为AB边上一点，其中BC=9cm,BE=3cm,AB=5cm.动 点P从B开始，以3c/s的速度沿B→C路线运动到点C停止，从点P开始运动的同一时刻 动点Q以cm/s的速度从C点出发沿边CD运动，到D点停止.当x为时，在某一时 刻△PBE与△PC2全等. 三、解答题 17.计算： ()(x2x"）÷x2m ②-1mr+614-5+( 18.解方程组： y=3x-2 [7x+3y=4 (0)15x-2y=6 (②15x-4y=9 19.解不等式或不等式组 ①解不等式十4_31>1，并把它的解集在数轴上表示出来」 3 2 2(x-3)≤x-4 2)解不等式组：x-2<x ，并求出它的非负整数解。 3 第3页共8页 20.如图，在多边形ABCDE中，BC⊥CD,BF⊥AE于点F,且BF=BC,∠CBF=2∠DBE, ∠ABF=∠CBD. (I)求证：AB=DB; (2)若DE=4,BF=3,求△ABE的面积. 21.图形的变换：平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式.图1中的三角形的顶点都在 边长为1个单位长度的正方形网格点上. B ① 图1 图2 (1)①如图1，在方格纸中画出将△ABC向左平移1个单位长度得到的△AB,C1: ②如图1，在方格纸中画出△ABC关于BC对称的△A,BC; ③如图1，在方格纸中画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的得到的△4B,C; (2)如图2，方格纸中有两个形状、大小都相同的三角形，三角形②可以看成由三角形①经过 怎样的图形运动得到？下列结论： A.1次轴对称B.1次平移和1次轴对称 C.1次平移和1次旋转D.1次旋转和1次轴对称 其中，正确的有 ； 第4页共8页 22.一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在 同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证 明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 己知：如图，在同一平面内直线a⊥b,①一· 求证：② 6 、 证明：：aLb(已知)，∴.③ (④). .⑤ (已知)，∴⑥ (⑦)， ⑧（等式的基本事实）， .⑨ (⑩ ). 请把小明的说明过程补充完整。 23.某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元， 网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）.请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书 包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店 有哪几种进货方案： (3)在(2)条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 第5页共8页 24.若(x2+px+8)(x2-3x+的积中不含x项和x2项.求： (1p、q的值： (2)代数式(2pg)(-2p)3÷(-3pq}的值. 25.定义：将二次三项式x2+b.x+c变形为(x+m)+n的形式，我们称为配方，然后由平方 具有非负性，即(x+m)≥0就可以解决很多问题，例如：把多项式x2-2x+3配方为： x2-2x+3=x2-2x-1+12-12+3=(x-1)}2+2. (1)若多项式A=x2+2x+3,B=x2+6x. ①证明：无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数： ②求多项式2A-B的最小值： (2)因为ad-2ab+b2=(a-b)≥0可得到：a2-2b+b2≥0，即ad2+b2≥2ab这是重要的基本 不等式：a2+b2≥2ab,（当a=b时，且2ab是定值时，a2+b2有最小值是2ab),若 S=ad2-6a+1+1 十(a-3，求s的最小值，并求出此时a的值. 第6页共8页 26.【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1， 在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪开并拼成一个 长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：2-b2.图2中阴影部分的面积可表 示为：(a+b)(a-b),因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式： a2-b2=(a+b)(a-b). 图1 图2 图3 图4 图5 【结论探究】 图3是一个长为2，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形.然后按 图4的形状拼成一个大正方形， (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于(a+b),(α-b),ab的 等式是 (2)若a+b=6,ab=5,求(a-b)的值. (3)已知(2025-x)(x-2023)=-2024,求(2025-x)2+(x-2023)值 【类比迁移】 (4)如图5，点C是线段BG上的一点，以BC,CG为边向上下两侧作正方形ABCD,正方形 CEFG,两正方形的面积分别记为S和S,,若BG=10,两正方形的面积和S+S,=56,直 接写出图中阴影部分的面积， 第7页共8页 27.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC,CD上，己知 ∠EAF=1∠DAB,∠ABC+∠ADC=180°. D D E B E C F 图1 图2 (I)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还 成立吗？若成立，请写出证明过程：若不成立，请写出新的结论，并说明理由. 第8页共8页