江苏省常州市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 以计算机视觉图标、“虾•稻”轮作等真实情境为载体，覆盖七年级下册几何变换、方程不等式、整式运算等核心知识，梯度设计凸显抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称图形、不等式解集、三角板角度计算|第1题结合科技图标考轴对称，第6题通过反例辨析假命题，培养批判性思维| |填空题|8/16|科学记数法、三角形内角和、亏数概念|第16题引入数学文化“亏数”，第14题结合角平分线与垂直平分线，考查推理能力| |解答题|9/68|整式化简求值、方程组应用、图形旋转|第23题以“虾•稻”轮作经济问题考方程组应用，第25题通过三角板旋转探究平行线条件，体现探究性与应用意识|

江苏省常州市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．设“□”“△”“〇”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（　　） A．口＞〇＞△ B．□＞△＞〇 C．△＞〇＞□ D．△＞□＞〇 3．如图1，现有边长为a和b的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中a＞b．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长为a+b的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足4S1＝S2，则a，b满足的关系式为（　　） A．a＝2b B．2a＝3b C．3a＝5b D．3a＝4b 4．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（　　） A．点B B．点C C．点D D．点E 5．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有x人．物价为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．下列各组a，b的值能作为说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题的反例的是（　　） A．a＝﹣2，b＝0 B．a＝﹣2，b＝﹣2 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3 7．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 8．如图，D是AB的中点，AEAC．若S△ADE＝2，则四边形BCED的面积是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．已知不等式组解集是x＜2，则a的取值范围是 　 　 ． 10．已知5x+2＝a，用含a的代数式表示5x结果为 　 　 ． 11．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”，该命题的逆命题是　 　 命题．（填真或假） 12．我国一款手机的芯片采用了先进的8nm制造工艺，已知8nm＝0.000000008m，将0.000000008用科学记数法表示为　 　 ． 13．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：3：5，那么△ABC是　 　 三角形（按角分类）． 14．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝ 　 　 度． 15．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是 　 　 km/h． 16．自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系1+3+5＝9＜15；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系1+2+4＝7＜8．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数n的所有因数为1，a，5，n（按从小到大排列），则n的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，共68分.第17、18、19、23、24题每题8分，第20、21、22题每题6分，第25题10分） 17．计算： （1）； （2）（2x﹣3y）（x+3y）． 18．先化简，再求值；[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x），其中x＝﹣2，y＝﹣4． 19．解方程组及解不等式组． （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 20．如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠1+∠D＝90°，求证：ED∥AB． 21．【发现】任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 【验证】（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个数为n，求出它们的平方和，并说明是5的倍数． 【延伸】任意三个连续整数的平方和被3除的余数是 　 　 ． 22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，三角形OAB的顶点都在格点上． （1）请作出三角形OAB关于直线CD成轴对称的三角形O1A1B1； （2）请将三角形OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的三角形BO2A2． 23．为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得的利润为30元． （1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价； （2）已知今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷的售价为2.5元/kg，且每亩农田收获的稻谷的产量比每亩农田收获的小龙虾的产量的6倍还多40kg．若该农户今年可获得“虾•稻”轮作的纯收入为8万元，则他家今年每亩农田收获的稻谷和小龙虾的产量分别为多少千克？ 24．已知和都是方程ax﹣y＝b的解，求a与b的值． 25．如图1，将一副直角三角板按如图1方式摆放，其中A，C，E三点在同一条直线上，∠A＝45°，∠E＝60°． （1）观察猜想将图1中的三角尺ABC沿AE的方向平移至图2的位置，使得点B在DE上．则∠ABD＝ 　 　 °． （2）操作探究将图1中的三角尺ABC绕点C按顺时针方向旋转，使一边CB在∠DCE的内部，如图3，且CB恰好平分∠DCE，AB与DE相交于点R，求∠ARE的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺ABC绕点C按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边AC旋转 　 　 °时，边AB恰好与边DE平行（直接写出结果）． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 2．【解答】解：由第二个天平可得□＞△， 由第一个天平可知1个△＝2个〇， 则□＞△＞〇， 故选：B． 3．【解答】解：由题意得S1＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，S2＝ab+b（a﹣b）＝2ab﹣b2， ∵4S1＝S2， ∴4（ab﹣b2）＝2ab﹣b2， 整理得：2a＝3b； 故选：B． 4．【解答】解：由题意可知，点A关于钟面中心O的对称点为点D． 故选：C． 5．【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 6．【解答】解：A、a＝﹣2，b＝0时，a＜b， 不能说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，不符合题意； B、a＝﹣2，b＝﹣2时，a＝b， 不能说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，不符合题意； C、a＝2，b＝﹣1时，a＞b，|a|＞|b|， 不能说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，不符合题意； D、a＝﹣2，b＝﹣3时，a＞b，而|a|＜|b|， 说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，符合题意； 故选：D． 7．【解答】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°， 则∠α＝45°+30°＝75°， 故选：D． 8．【解答】解：连接CD． ∵AEAC， ∴CE＝2AE， ∵△ADE底边AE上的高与△CDE底边CE上的高相等， ∴S△CDE＝2S△ADE＝4， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵△ACD底边AD上的高与△BCD底边BD上的高相等， ∴S△BCD＝S△ACD＝S△CDE+S△ADE＝4+2＝6， ∴S四边形BCED＝S△BCD+S△CDE＝6+4＝10． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．【解答】解：由不等式组的解集是x＜2， 因此a的取值范围是a≥2． 故答案为：a≥2． 10．【解答】解：∵5x+2＝a， ∴5x•52＝a， ∴5x， 故答案为：． 11．【解答】解：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的条件是如果a＝b，结论是a2＝b2， 故答案为：假． 12．【解答】解：0.000000008＝8×10﹣9． 故答案为：8×10﹣9． 13．【解答】解：设∠A＝x°，则∠B＝3x°，∠C＝5x°， 依题意得：x+3x+5x＝180， 解得：x＝20， ∴∠C＝5x°＝100°，100°＞90°， ∴△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 14．【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C， 由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°， 解得，∠C＝30°， 故答案为：30． 15．【解答】解：设船在静水中的平均速度是xkm/h， 根据题意得：2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得：x＝27， ∴船在静水中的平均速度是27km/h． 故答案为：27． 16．【解答】解：因为n为亏数， 所以1＜a＜5＜n，1+a+5＜n，5a＝n， 当a＝2时，n＝10， 当a＝3时，n＝15， 当a＝4时，n＝20，20不止4个因数， 所以n的值为10或15． 故答案为：10或15． 三．解答题（共9小题） 17．【解答】解：（1） 1﹣9 ＝﹣7； （2）（2x﹣3y）（x+3y） ＝2x2+6xy﹣3xy﹣9y2 ＝2x2+3xy﹣9y2． 18．【解答】解：[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x） ＝[（x2﹣2xy+y2）﹣（y2﹣9x2）﹣2x2+4xy]÷（﹣2x） ＝（x2﹣2xy+y2﹣y2+9x2﹣2x2+4xy）÷（﹣2x） ＝（x2+9x2﹣2x2﹣2xy+4xy+y2﹣y2）÷（﹣2x） ＝（8x2+2xy）÷（﹣2x） ＝﹣4x﹣y， 当x＝﹣2，y＝﹣4时，原式＝﹣4×（﹣2）﹣（﹣4）＝8+4＝12． 19．【解答】解：（1）， ②×3，得：9x+3y＝33③， ①+③，得：10x＝30， 解得x＝3， 将x＝3代入①，得：y＝2， ∴原方程组的解是； （2）， 解不等式①，得：x≤1， 解不等式②，得：x＜4， ∴原不等式组的解集为x≤1． 20．【解答】证明：（1）∵OD平分∠BOF，OC平分∠AOF， ∴，， ∵∠AOF+∠BOF＝180°， ∴， ∴OC⊥OD； （2）由（1）知，OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠1+∠DOB＝90°， ∵∠D+∠1＝90°， ∴∠D＝∠DOB， ∴ED∥AB． 21．【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32＝1+0+1+4+9＝15，15÷5＝3， 即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍； （2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2， 它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2 ＝n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4 ＝5n2+10， ∵5n2+10＝5（n2+2）， 又n是整数， ∴n2+2是整数， ∴五个连续整数的平方和是5的倍数； 延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1， 它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2 ＝n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1 ＝3n2+2， ∵n是整数， ∴n2是整数， ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2． 故答案为：2． 22．【解答】解：（1）如图，三角形O1A1B1为所作； （2）如图，三角形BO2A2为所作． 23．【解答】解：（1）设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x元，y元， 由题意得， 解得， 答：去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克8元，40元． （2）设他家今年每亩农田收获的稻谷m千克，小龙虾的产量每亩为n千克， 根据题意得：， 解得：， 答：他家今年每亩农田收获的稻谷640千克，小龙虾的产量每亩为100千克． 24．【解答】解：由条件可得：， 解得：， ∴a的值是﹣5，b的值是﹣13． 25．【解答】解：（1）如图2，由平移的性质可知，BF∥CD， ∴∠EBF＝∠D＝30°， 又∵∠ABF＝45°， ∴∠ABD＝180°﹣45°﹣30°＝105°， 故答案为：105； （2）如图3，∵CB平分∠DCE，∠DCE＝90°， ∴， ∵在Rt△ABC中，∠A＝∠B＝45°， ∴∠B＝∠BCE， ∴AB∥CE， ∴∠ARE+∠E＝180°， ∵∠E＝60°， ∴∠ARE＝120°； （3）如图4﹣1，当AB∥DE， ∴∠AMC＝∠E＝60°， ∵∠AMC＝∠B+∠BCE， ∴∠BCE＝60°﹣45°＝15°， ∴边BC旋转过的角度为∠DCB＝90°+15°＝105°， 即边AC旋转过的角度为105°； 如图4﹣2，当AB∥DE，过点C作CN∥AB， ∴AB∥CN∥DE， ∴∠ECN＝∠E＝60°，∠ACN＝∠A＝45°， ∴∠AOE＝45°+60°＝105°， ∴边AC旋转过的角度为180°+105°＝285°， 故答案为：105°或285°． 学科网（北京）股份有限公司 $