指数函数与对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数与对数运算、指数函数、对数函数等核心考点，依据高考评价体系明确运算性质、函数图象与性质等高频考查维度，通过梳理近五年真题考点分布，归纳出比较大小、复合函数单调性等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“知识点清单+高考真题精析+变式训练”的备考模式，如以2023天津卷比较指数式大小典例为依托，运用数学思维中的推理意识，详解“单调性法”“中间量法”等解题技巧，培养学生运算能力与逻辑推理能力。特设易错点警示和解题模板，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准把握学情，实现高效复习教学。

2.5 指数函数与对数函数 返回目录 知识清单 知识点1　指数与对数运算 1.指数幂的运算 (1)根式 根式 概念 式子 叫做根式,其中n叫做根指数, a叫做被开方数 性质 当n为奇数时, =a 当n为偶数时, =|a|=  返回目录 (2)分数指数幂及指数幂的运算性质 分数 指数幂 正分数指数幂: =  a>0,m, n∈N*, n>1 负分数指数幂: = =  0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义 指数幂 的运算 性质 ar·as=ar+s a>0,b>0, r,s∈R (ar)s=ars (ab)r=arbr 返回目录 2.对数的运算 对数的性质与运算性质 性质 loga1=0;logaa=1  =N;logaan=n(a>0且a≠1,N>0,n∈R) 换底 公式 logbN= (a,b均大于0且不等于1,N>0) 相关结论:logab= ;logab·logbc·logcd=logad (a,b,c均大于0且不等于1,d>0) 运算 性质 条件 a>0且a≠1,M>0,N>0 结论 loga(MN)=logaM+logaN loga =logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 返回目录 知识点2　指数函数 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 注意　形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象     返回目录 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即当x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 返回目录 提示    1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a), ,依据这三点的坐标 可得到指数函数的大致图象. 2.函数y=ax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 3.在y轴的右侧,指数函数的图象越高,其底数的值越大.如图所示,其中0<d<c<1<b<a.   返回目录 知识点3　对数函数 1.对数函数的概念 一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). 提醒　对数函数的3个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)自变量x>0;(3)系数为1. 返回目录 2.对数函数的图象及性质 底数 a>1 0<a<1 图象     性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 图象过定点(1,0),即恒有loga1=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 返回目录 知识拓展　对数函数底数大小的比较 　　如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d< 1<a<b.   由此可得到:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 3.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的 返回目录 定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.   返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1) =( )n=a. ( ) (2)log3x2=2log3x. ( ) (3)y=2ax(a>0,且a≠1)是指数函数. ( ) (4)若函数y=log(2a)x是减函数,则0<a< . ( )     √         ✕         ✕         ✕     返回目录 2.化简式子 + 的结果为____________.     7-2π     返回目录 3.若函数f(x)=(a2-1)·ax为指数函数,则a=_________. 返回目录 4.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=___________.     2或      返回目录 5.(人教B版必修第二册P20习题6改编)已知log7[log3(log2x)]=0,那么x等于_________.     8     返回目录 6.设alog29=3,则3-2a=_________. 返回目录 7.已知a=log0.23,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为_____________.     a<c<b     返回目录 考点清单 考点1　指数与对数运算 角度1　指数运算 典例1    (1)计算: +0.00 + = ( ) A.2 -1　　    B.12+ -  C.12　　     D.2 +8 (2)已知a>0,b>0,则 = ( ) A.-6ab　　    B.-6b　　    C.- ab　　    D.- b     B         C     返回目录 解析    (1) + + = +1 00 +| -2|= +10+2- =12.故 选C. (2) =-6 · =-6b.故选B. 返回目录 解题技巧　指数幂的化简与求值技巧 1.底数是小数的,要先化成分数;底数是带分数的,要先化成假分数,以便应用指数幂的运 算性质; 2.将根式化为分数指数幂,小数指数幂化为分数指数幂,负指数幂化为正指数幂的倒数; 3.运算结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)(多选)(2026届广东深圳龙城高中开学考,10)下列根式与分数指数 幂的互化正确的是( ) A.- =(-x 　　 B. = (y<0) C. = (x≠0)　　    D.[  = (x>0)     CD     返回目录 解析　因为- =- ,所以A错误; 因为 = =- (y<0),所以B错误; 因为 = (x≠0),所以C正确; 因为[  =(  = (x>0),所以D正确.故选CD. 返回目录 角度2　对数运算 典例2　若1 ·t=6×1 ,则t= ( ) A.60　　    B.45　　    C.30　　    D.15     C     解析　因为 ·t=6×1 ,所以t= = = =3×1 = 3×1 =30.故选C. 返回目录 方法总结　解决对数运算问题的常用方法 1.先把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,再利用对数的运 算性质化简合并. 2.将同底对数的和、差、倍合并; 3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆 用及变形应用; 4.利用lg 2+lg 5=1进行化简. 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)(2026届江苏盐城东台一中开学考,7)求值:2 +log85·lo 2+102lg 2-lg 3 =_________. 解析    2 +log85·lo 2+102lg 2-lg 3 =(33 +lo 5·lo 2+1  =3-2+ log25·(-log52)+  = - + = . 返回目录 考点2　指数函数 角度1　指数函数的图象及应用 典例3　指数函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=d x的图象如图所示,a,b,c,d分别是 , , ,  四个数中的一个,则a,b,c,d的值分别是 ( )   A. , , , 　　    B. , , ,  C. , , , 　　    D. , , ,      C     返回目录 解析　由题图可知,直线x=1与指数函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,即 c>d>a>b,又 > > > ,故选C. 解题技巧　有关指数函数图象问题的解题策略 1.已知解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足, 则排除. 2.对于指数型函数的图象,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、 对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. 3.根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点的纵坐标的 大小进行判断. 返回目录 变式训练 3.(条件结论变式)函数f(x)=|2x-1|的图象与直线y=m有两个不同的交点,则m的取值范 围为_____________.     (0,1)     解析　作出f(x)的图象与直线y=m,如图所示.由图可知,若直线y=m与f(x)的图象有两个 不同的交点,则m∈(0,1).   返回目录 角度2　指数(型)函数的性质及应用 典例4　(比较指数式的大小)(2023天津,3,5分)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的 大小关系为 ( ) A.a<b<c　　    B.b<a<c　　    C.c<b<a　　    D.c<a<b     D     解析　∵f(x)=1.01x单调递增,∴f(0.5)<f(0.6),即a<b.∵g(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增, ∴g(1.01)>g(0.6),即a>c,∴b>a>c,故选D. 返回目录 典例5　(指数型函数的单调性)若函数f(x)= 在区间(-1,2)上单调递增,则a的 取值范围是 ( ) A.[0,6]　　    B.[-2,0]　　    C.[6,+∞)　　    D.(6,+∞)     C     解析    f(x)= ,设y= ,t=x2-(a-2)x-2a,因为y= 在R上单调递减,所以二次函 数t=x2-(a-2)x-2a在(-1,2)上单调递减,所以 ≥2,即a≥6.故选C. 返回目录 解题技巧    1.比较指数式大小的方法   2.与指数函数有关的复合函数问题,首先要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区 间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一原则分析判断. 返回目录 变式训练 4.(解指数不等式)若不等式 < 恒成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-1,0)　　    B.  C. 　　    D.      B     返回目录 解析　不等式 < 恒成立,即 < 恒成立,由指数函数y= 的单 调性得x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,所以Δ=(3-2a)2-4a2<0,解得a> , 所以实数a的取值范围是 ,故选B. 返回目录 考点3　对数函数 角度1　对数函数的图象及应用 典例6　在同一平面直角坐标系中,函数y=a-x,y=logax+a(a>0,且a≠1)的图象可能是  ( )  　      A     返回目录 解析　对于A,B,若y=a-x= 的图象正确,则0<a<1,所以y=logax+a单调递减,又x=1时,y= loga1+a=a>0,所以A正确,B错误;对于C,D,若y=a-x= 的图象正确,则a>1,所以y=logax+a 单调递增,所以C,D均错误.故选A. 返回目录 变式训练 5.(关键元素变式)若不等式(x-1)2<logax(a>0,且a≠1)对任意x∈(1,2]恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A.(1,2]　　    B.(1,2)　　    C.(1, ]　　    D.(1, )     B     返回目录 解析　若0<a<1,则当x∈(1,2]时,logax<0,又当x∈(1,2]时,(x-1)2>0,所以(x-1)2<logax无解; 若a>1,则当x∈(1,2]时,logax>0,且当x∈(1,2]时,(x-1)2>0,令f(x)=logax(a>1),g(x)=(x-1)2,画出 两函数的图象,如图所示,   因为(x-1)2<logax对任意x∈(1,2]恒成立,所以loga2>1,所以1<a<2. 综上可得,a的取值范围为(1,2).故选B. 返回目录 角度2　对数(型)函数的性质及应用 典例7　(比较对数式的大小)已知a=log0.37,b=log0.57,c=log0.47,则 ( ) A.a<b<c　　    B.a<c<b　　    C.c<a<b　　    D.b<c<a     D     解析　在同一平面直角坐标系中,作出函数y=log0.3x,y=log0.4x,y=log0.5x的图象,如图,由图 可知b<c<a.故选D.   返回目录 典例8    (2020课标Ⅱ理,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( ) A.是偶函数,且在 单调递增 B.是奇函数,且在 单调递减 C.是偶函数,且在 单调递增 D.是奇函数,且在 单调递减     D     返回目录 解析　函数f(x)的定义域为 ,关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|- ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A,C; 当x∈ 时, f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f '(x)= - = >0,∴f(x)在 上 单调递增,排除B;当x∈ 时, f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x), 则f '(x)= - = <0, ∴f(x)在 上单调递减,∴D正确. 返回目录 解题技巧    1.比较对数式大小的类型及相应方法   2.求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三点:一是定义域, 所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它 是由哪些基本初等函数复合而成的,注意口诀“同增异减”在解题中的应用. 返回目录 变式训练 6.(关键元素变式)(2020新高考Ⅱ,7,5分)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增, 则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1]　　    B.(-∞,2]　　     C.[2,+∞)　　    D.[5,+∞)     D     解析　∵f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,∴ 解得a≥5.故a的取值范 围为[5,+∞). 返回目录 7.(命题推广变式)(多选)(2025届河南洛阳一高开学考,9)关于函数f(x)=log3 ,下列 结论正确的是 ( ) A.定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞) B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(1,0)对称 D.f(x)在(3,+∞)上单调递增     ACD     返回目录 解析　对于A,由 >0得x<-1或x>3,故定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),A正确; 对于B,因为定义域不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,B错误; 对于C,因为f(1-x)+f(1+x)=log3 +log3 =log3 +log3 =log3  =log31=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,C正确; 对于D, f(x)=log3 =log3 , 因为函数t=1- 在区间(3,+∞)上单调递增,且y=log3t在(0,+∞)上单调递增,【同增异 减】所以f(x)在(3,+∞)上单调递增,D正确.故选ACD. 返回目录 8.(条件结论变式)满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合为____________ ____. 解析　因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 所以 解得 <x<2. 所以满足要求的x的取值集合为 . 返回目录 角度3　幂、指、对的大小比较 典例9　若2a=3=logb9,c= ,则实数a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<b<c　　    B.c<a<b　　    C.b<c<a　　    D.a<c<b     B     解析　由题意可得a=log23,c= ,b3=9,则b= . 因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增, 所以2=log24>a=log23>log22=1. 因为幂函数y= 在(0,+∞)上单调递增,所以b= > =2. 综上,b>a>c.故选B. 返回目录 方法总结　比较幂、指、对的大小,一般是先尝试转化为同底或同指的形式,利用函数 单调性解决. 利用上述方法不能解决的问题,可以尝试以下两个方法: 1.中间量法:先将各式与“0”或“1”这类中间量进行比较,显然负数小于0、1之间的 数,而0、1之间的数必小于比1大的数. 2.构造法:根据需要构造适当的函数或代数式,利用“幂、指、对”等函数的性质进行 比较. 返回目录 变式训练 9.(情境模型变式)设a=20.7,b= ,c=log2 ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<b<c　　    B.c<a<b　　    C.b<c<a　　    D.c<b<a     D     解析    a=20.7>20=1,b= < =1且b>0,c=log2 <log21=0,故a>b>c,故选D. 返回目录 $