对数与对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦对数与对数函数专题，依据高考评价体系梳理了对数运算、函数图象性质、复合函数问题三大核心考点，通过知识网络构建和高频题型归纳，明确了对数运算（占比35%）、单调性判断（占比40%）等常考方向，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+方法提炼+素养提升”，如以换底公式应用（例2）和复合函数单调性分析（例5）为载体，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。特设易错点警示（如底数分类讨论）和解题模板（对数运算三步法），助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效规划复习。

对数与对数函数 x＝logaN a N 10 e＝2.718 28… logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM N N (0，＋∞) R (1，0) y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 D D D (3，1) B B AB C AB ACD B ACD (0，1) [知识梳理] 1．对数的概念 (1)如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)常用对数与自然对数 常用 对数 将以 为底的对数叫做常用对数 把log10N 记为lg N 自然 对数 将以无理数 为底的 对数叫做自然对数 把logeN 记为ln N 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R)； ④logamMn＝ ． logaM (2)对数的性质 ①alogaN＝ (N>0)；②logaaN＝ (a>0，且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)； ②推广：logab＝，logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c，d>0，且a，b，c≠1). 3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 性质 图象过定点 当x>1时， ； 当0<x<1时， 当x>1时， ； 当0<x<1时， 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [热身训练] 1．设lg 3＝a，lg 5＝b，则lg ＝( ). A．　　　 B． C．3a－2b　　　 D．3a＋2b－2 2．函数f (x)＝的定义域是( ). A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3) 3．函数f (x)＝ln 的单调递增区间为( ). A．(－1，＋∞)　　　 B．(1，＋∞) C．(2，＋∞)　　　 D．(4，＋∞) 4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点 ． 5．(易错题)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ ． 2或 【解析】分两种情况讨论：①当a>1时，loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0<a<1时，loga2－loga4＝1，解得a＝. 题型1　对数 角度1　对数的基本运算 【例1】计算求值： (1)log6432·log2·log3·log5； (2)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (3)log2； (4)(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52). 【解析】(1)原式＝log2625×log25-2×log32-3×log53-2＝×(－2)log25×(－3)log32×(－2)log53＝－10×××＝－10. (2)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. (3)原式＝log2(5－log2＋log2262)＝log2(5－log2＋log26)＝log2(5＋log28)＝log28＝3. (4)原式＝(3log52)＝log25·3log52＝13. 角度2　换底公式的应用 【例2】(1)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝( ). A．－2　　　 B． C．　　　 D．1 【解析】由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝××＝2，所以log4(abc)＝log42＝. (2)已知3a＝5b＝A，且＋＝2，则A的值为 ． 5 【解析】因为3a＝5b＝A，所以a＝log3A，b＝log5A，A>0，所以＝logA3，＝logA5.又因为＋＝2，所以logA3＋2logA5＝logA3＋logA25＝2，所以logA75＝2，所以A2＝75.因为A>0，所以A＝5. 角度3　对数的应用 【例3】在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20 h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加( ). A．2 h　　　 B．4 h C．20 h　　　 D．40 h 【解析】由题意知klog2(1.024×109)－klog2106＝20，即klog2＝20，所以klog21 024＝20，解得k＝＝＝2，所以2log2(4.096×109)－2log2(1.024×109)＝2log2＝2log24＝2×2＝4. 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． (3)利用换底公式将不同底的对数转化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 【变式】(1)(多选)若a>1，b>1，且lg (a＋b)＝lg a＋lg b，则( ). A．lg (a－1)＋lg (b－1)＝0 B．lg ＝0 C．lg (a－1)＋lg (b－1)＝1 D．lg ＝1 【解析】依题意，a>1，b>1，由lg (a＋b)＝lg a＋lg b＝lg (ab)，得a＋b＝ab，所以(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝1，且＝＋＝1，所以lg (a－1)＋lg (b－1)＝lg [(a－1)(b－1)]＝lg 1＝0，lg ＝0. (2)已知3a＝2，3b＝5，则lg 2＝ ．(用含a，b的式子表示) 【解析】因为3a＝2，3b＝5，所以a＝log32，b＝log35，所以a＋b＝log310，所以lg 2＝＝. (3)(菏泽一模)月球距离地球约38万千米，在理想状态下，将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以不小于地球到达月球的距离．n的值至少是(lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6)( ). A．40　　　 B．41 C．42　　　 D．43 【解析】每次对折，纸厚度变为原来的2倍，由题意知0.1×2n≥38×104×106，即2n≥3.8×1012，所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n lg 2≥0.6＋12，解得n≥＝42，所以对折的次数n至少是42. 题型2　对数函数的图象与性质 角度1　对数函数的图象 【例4】(多选)已知ax＝b－x，则函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是( ). 　 A B C D 【解析】因为ax＝b－x，即ax＝，所以a＝，当a>1时，0<b<1，指数函数y＝bx在R上单调递减，且其图象过点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，且其图象过点(1，0)，将y＝logax的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象，则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，且其图象过点(－1，0)，故A符合题意；当0<a<1时，b>1.同理，指数函数y＝bx在R上单调递增，且其图象过点(0，1)，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增，且其图象过点(－1，0)，故B符合题意． 角度2　对数函数的性质 【例5】(1)(多选)已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则( ). A．y>x　　　 B．x＋y>1 C．xy<　　　 D．＋< 【解析】因为12x＝3，12y＝4，所以x＝log123，y＝log124.因为函数y＝log12x在(0，＋∞)上单调递增，所以y>x，故A正确；x＋y＝log123＋log124＝log1212＝1，故B错误；因为x>0，y>0，所以xy≤＝，当且仅当x＝y时等号成立，而x<y，所以xy<，故C正确；因为(＋)2＝x＋y＋2＝1＋2<2，所以＋<，故D正确． (2)(江淮十校联考)已知函数f (x)＝则不等式f ((log2x)2－3)<4f (log2x)的解集为 ． 【解析】当x≥0时，f (x)＝2x2≥0，4f (x)＝8x2＝f (2x)，且f (x)在[0，＋∞)上单调递增．当x<0时，f (x)＝－2x2<0，4f (x)＝－8x2＝f (2x)，且f (x)在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在R上满足4f (x)＝f (2x)，且函数f (x)在R上的单调递增，所以原不等式可化为(log2x)2－3<2log2x，即(log2x)2－2log2x－3<0，即(log2x＋1)(log2x－3)<0，得－1<log2x<3，解得<x<8. (1)同底数的对数值大小比较，直接根据对数函数的单调性进行比较；当不能直接比较时，经常在两个对数值中间插入1或0等，间接比较两个对数值的大小． (2)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，要注意定义域的要求． 【变式】(1)已知定义在R上的偶函数f (x)在区间(－∞，0)上单调递减．若a＝f (20.7)，b＝f (－ln 2)，c＝f (log32)，则a，b，c的大小关系为( ). A．c<a<b　　　 B．c<b<a C．b<a<c　　　 D．b<c<a 【解析】因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，a＝f (20.7)，b＝f (－ln 2)＝f (ln 2)，c＝f (log32)，因为0<log32<ln 2<1<20.7，所以f (log32)<f (ln 2)<f (20.7)，即c<b<a. (2)(多选)下列关于函数f (x)＝lg 的说法正确的有( ). A．定义域为(－1，1) B．图象关于y轴对称 C．图象关于原点对称 D．在(0，1)内单调递增 【解析】因为f (x)＝lg ＝lg ，所以>0，所以<0，所以－1<x<1，所以f (x)的定义域为(－1，1)，故A正确；因为f (－x)＝lg ＝－f (x)，所以f (x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；又y＝1－x在(0，1)上单调递减，所以y＝－1在(0，1)上单调递增，又y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝lg 在(0，1)上单调递增，故D正确． (3)若函数f (x)＝log9(x＋2)－log9x，则f (x)的值域为 ． 【解析】因为f (x)＝log9＝log9，且函数y＝1＋在区间上为减函数，函数y＝log9x在定义域内为增函数，所以f (x)在上单调递减，当x>时，1<1＋<9，则0<log9<1，所以f (x)的值域为(0，1). 题型3　对数型函数的综合问题 【例6】已知函数f (x)＝ln . (1)求函数f (x)的定义域，并判断函数f (x)的奇偶性； (2)对于x∈[2，6]，f (x)>ln 恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】(1)由>0，即(x＋1)(x－1)>0，解得x<－1或x>1，所以函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以函数f (x)的定义域关于原点对称，又因为f (－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f (x)，所以f (x)＝ln 是奇函数． (2)因为当x∈[2，6]时，f (x)＝ln >ln 恒成立，所以>>0恒成立，因为x∈[2，6]，所以0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]时恒成立，令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时，函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时，函数g(x)单调递减，而g(2)＝15，g(6)＝7，所以g(x)min＝g(6)＝7，所以0<m<7，即实数m的取值范围为(0，7). 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数a的值是属于区间(0，1)，还是属于区间(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域内进行． (3)转化时一定要注意转化的等价性． 【变式】已知函数f (x)＝log2. (1)若函数f (x)是R上的奇函数，求实数a的值； (2)若函数f (x)的定义域是R，求实数a的取值范围； (3)若函数f (x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 【解析】(1)若函数f (x)是R上的奇函数，则f (0)＝0，所以log2(1＋a)＝0，所以a＝0.当a＝0时，f (x)＝－x是R上的奇函数，所以a＝0. (2)若函数f (x)的定义域是R，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立．由于－∈(－∞，0)，故需满足a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞). (3)易知函数f (x)在定义域内是减函数，故f (x)在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log2(1＋a)，最小值是f (1)＝log2.由题设得log2(1＋a)－log2≥2，则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)，所以1＋a≥4a＋2，4a＋2>0，解得－<a≤－，故实数a的取值范围是. 与对数函数有关的复合函数问题 与对数函数有关的复合函数问题主要涉及y＝f (logax)与y＝logaf (x)两种类型，考查函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性等．处理方法主要是换元法，将复合函数转化为基本初等函数解决，考查直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 【例题】已知f (x)＝log(x2－6x＋10). (1)解不等式：f (x)≤－1； (2)若y＝f (x)在区间[a，a＋1]上的最小值为－2，求实数a的值． 【解析】(1)由log (x2－6x＋10)≤－1＝log2，得x2－6x＋10≥2，解得x≥4或x≤2，所以不等式的解集为(－∞，2]∪[4，＋∞). (2)令t＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，则y＝f (x)在区间[a，a＋1]上的最小值为－2⇔t＝(x－3)2＋1在[a，a＋1]上的最大值为4.当a＋≥3，即a≥时，tmax＝(a＋1－3)2＋1＝4，解得a＝2＋；当a＋<3，即a<时，tmax＝(a－3)2＋1＝4，解得a＝3－.综上，a＝2＋或a＝3－. 对于y＝f (logax)与y＝logaf (x)两种类型的函数，主要是利用换元法将函数转化为基本初等函数，然后结合基本初等函数的图象和性质求解，注意换元后新元的取值范围． 【变式】已知函数f (x)＝a(log2x)2－2alog2x＋b－1(a>0)在区间[4，8]上的最大值为2，最小值为－1. (1)求实数a，b的值； (2)若对任意的x∈[1，4]，f (x)≤klog2x恒成立，求实数k的取值范围． 【解析】(1)令t＝log2x，x∈[4，8]，设m(t)＝at2－2at＋b－1(a>0)，t∈[2，3]，因为a>0，函数m(t)＝at2－2at＋b－1图象的对称轴为直线t＝1，所以m(t)＝at2－2at＋b－1在[2，3]上单调递增，所以即解得所以实数a的值为1，b的值为0. (2)由f (x)≤klog2x，得(log2x)2－2log2x－1≤klog2x，令t＝log2x，x∈[1，4]，则t∈[0，2]，由题得t2－2t－1≤kt，当t＝0时，－1≤0恒成立，此时k∈R；当t∈(0，2]时，t2－2t－1≤kt⇔k≥＝t－－2，令g(t)＝t－－2，0<t≤2，则只需k≥g(t)max，因为函数y＝t，y＝－均在(0，2]上单调递增，所以g(t)＝t－－2在(0，2]上单调递增，所以g(t)max＝g(2)＝2－－2＝－，所以k≥－.综上，实数k的取值范围为. $