第十一章 立体几何初步（11.1.4）限时作业（四）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以立体几何中棱柱、棱锥、棱台为核心，通过基础辨析、中档计算到综合应用的三层设计，实现从概念理解到运算推理再到实际应用的知识巩固路径，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念辨析与基本运算|单选题1（棱柱结构特征判断）、填空题8（四棱锥侧棱长计算），巩固核心概念| |提升层|概念辨析与空间关系推理|多选题5（直棱柱、棱台概念辨析）、填空题7（正四棱台高计算），强化推理意识| |综合层|综合运算与实际应用|解答题9（正四棱台高与表面积计算）、单选题4（胡夫金字塔问题），体现模型意识与应用能力|

2026年高一数学立体几何初步限时作业（四） （人教版B版必修四第十一章11.1.4） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.给出下列四个结论： 各侧面都是长方形的棱柱一定是正棱柱； 正三棱锥的各面都必须是正三角形； 有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； 长方体一定是正四棱柱， 其中正确结论的个数是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查棱柱、棱锥和棱台的结构特征，属于基础题． 利用正棱柱、长方体、直棱柱的概念求解． 【解答】 解：所有直棱柱的侧面都是长方形，故错误， 正三棱锥的侧面是等腰三角形，不必是正三角形，故错误， 直棱柱所有的侧面都垂直于底面，但有一组对面垂直于底面的四棱柱可能不是直棱柱，故错误， 长方体的底面可以是矩形，不一定是正四棱柱，故错误， 故选A． 2.正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长的比为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查椎体及其结构特征，属于基础题． 设正四棱锥的底面边长为，高为，侧棱为，利用勾股定理求解． 【解答】 解：设正四棱锥的底面边长为，高为，则侧棱也是，底面对角线长为， 由高，底面对角线长的一半及侧棱构成直角三角形． ，， 故选C． 3.正四棱台中，，，，则该棱台的体积为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了棱锥的结构，属于中档题． 根据题意列出的关系式，化简即可得到答案． 【解答】 解：设正四棱锥的高为，底面边长为侧面三角形底边上的高为， 则由题意可得 故， 化简可得， 解得． 故选C． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题错误的是(     ) A. 直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D. 棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查多面体的概念及性质，考查空间想象能力，是基础题． 根据空间几何体的定义判断． 【解答】 解：对于，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，故错误 对于，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误； 对于，由侧棱两两垂直得到侧棱与面垂直，进而得到侧面也互相垂直，故正确； 对于，棱台的侧棱延长后交于一点，侧面一定是梯形，故正确； 故答案选：． 6.如图，下列条件中不能推断出这个几何体三棱台的是(    ) A. ，，， B. ，，，，， C. ，，，，， D. ，， 【答案】ABD  第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台现有一个揽月阁模型如图，其下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为          ． 【答案】  【解析】 由题知，，，连接，，则，过作，过作，垂足分别为，，则，在中，，所以该模型的高为． 8.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，则侧棱          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查棱椎的结构特征以及线面垂直的性质，属于基础题． 利用线面垂直的性质的性质定理证明，结合勾股定理求出的长． 【解答】 解：连，如图所示， 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以，且， 所以， 在中，，， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知正四棱台两底面边长分别为和，若侧棱与底面所成的角为， 求棱台的高． 求棱台的表面积． 【答案】解：如图，设、分别为上、下底面的中心， 过作于． 则，过作于． 连接，则为正四棱台的斜高，为正四棱台的高， 由题意知． 正四棱台两底面边长分别为和． ． 正四棱台的高为 又． 斜高． ． ．   【解析】本题考查了多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征和棱台的侧面积、表面积，是基础题． 利用正四棱台的结构特征，设、分别为上、下底面的中心，过作于，则，过作于连接，则为正四棱台的斜高，为正四棱台的高，计算可得； 结合棱台的侧面积公式计算，可得棱台的表面积． 10.本小题分 如图为正四棱台，它的上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，侧棱长为，侧面是全等的等腰梯形，求正四棱台的表面积． 【答案】解：正四棱台的上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形， 上底面、下底面的面积分别是，， 侧棱长为，侧面是全等的等腰梯形， 侧面的高为， 侧面梯形的面积为． 四棱台的表面积为．  【解析】本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题． 由题意解直角三角形可得侧面的高，再由正方形面积公式及等腰三角形的面积公式求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学立体几何初步限时作业（四） (人教版B版必修四第十一章11.1.4) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题) 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.给出下列四个结论： ①各侧面都是长方形的棱柱一定是正棱柱： ②正三棱锥的各面都必须是正三角形： ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱： ④长方体一定是正四棱柱， 其中正确结论的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查棱柱、棱锥和棱台的结构特征，属于基础题. 利用正棱柱、长方体、直棱柱的概念求解。 【解答】 解：所有直棱柱的侧面都是长方形，故①错误， 正三棱锥的侧面是等腰三角形，不必是正三角形，故②错误， 直棱柱所有的侧面都垂直于底面，但有一组对面垂直于底面的四棱柱可能不是直棱柱，故③错误， 长方体的底面可以是矩形，不一定是正四棱柱，故④错误， 故选A. 第1页，共7页 2.正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长的比为( A.1:2 B.2:1 C.1:V2 D.V2:1 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查椎体及其结构特征，属于基础题. 设正四棱锥的底面边长为a,高为h,侧棱为a,利用勾股定理求解， 【解答】 解：设正四棱锥的底面边长为a,高为h,则侧棱也是a,底面对角线长为V2a, 由高，底面对角线长的一半及侧棱构成直角三角形 =+(号，目 故选C. 3.正四棱台ABCD-A,B1C1D1中，AB=2,AB1=1,AA=V2,则该棱台的体积为( A.V6 B.3 C.6 6 D 【答案】B 4埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长 的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长 的比值为( A B c型 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了棱锥的结构，属于中档题 根据题意列出a,h,h的关系式，化简即可得到答案. 第2页，共7页 【解答】 解：设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h, h2-ah 则由题意可得 h2=h2-(号2 故hP-(子=ah', 化简可得4，P-2,)-1=0,÷>0, 解得型 故选C. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题错误的是( A.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D.棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形 【答案】AB 【解析】【分析】 本题考查多面体的概念及性质，考查空间想象能力，是基础题， 根据空间几何体的定义判断. 【解答】 解：对于A,直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，故错误； 对于B,由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误： 对于C,由侧棱两两垂直得到侧棱与面垂直，进而得到侧面也互相垂直，故正确； 对于D,棱台的侧棱延长后交于一点，侧面一定是梯形，故正确： 故答案选：AB. 第3页，共7页 6如图，下列条件中不能推断出这个几何体三棱台的是() A B B A.AB1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.AB=A B1,BC=BCI,CA=CIA 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台现有一个揽月阁 模型（如图），其下底面边长为4V2,上底面边长为2√2，侧棱长为V6,则该模型的高为一· D 4 B B 【答案】√② 【解析】由题知，AB=4V2,A1B1=2V2,AA1=V6连接AC,A1C1,则AC=8,A1C1=4.过A1 作A1G⊥AC,过C1作C,H⊥AC,垂足分别为G,H,则A1C1=GH=4,AG=HC=2.在Rt△AA1G 中，A1G= AA-AG=J(W62-2=√2，所以该模型的高为V2. D A D A“G B 第4页，共7页 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,则侧棱 PC= 0 B 【答案】√3 【解析】【分析】 本题考查棱椎的结构特征以及线面垂直的性质，属于基础题， 利用线面垂直的性质的性质定理证明PA⊥AC,结合勾股定理求出PC的长. 【解答】 解：连AC,如图所示， D 因为PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PA⊥AC, 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=1,且AB⊥BC, 所以AC=VAB2+BC=√2， 在Rt△PAC中，PA=1,AC=V2, 所以PC=√PA2+AC2=√3， 故答案为：√3. 第5页，共7页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知正四棱台两底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为45°， D (1)求棱台的高. (2)求棱台的表面积. 【答案】解：(1)如图，设O、O分别为上、下底面的中心， 过C作CE⊥AC于E. 则CE/O,O,过E作EF⊥BC于F. 连接C1F,则CF为正四棱台的斜高，C1E为正四棱台的高， 由题意知∠C1C0=45°. :正四棱台两底面边长分别为2和4. CE=CE=C0-E0=C0-C1O1=2V2-V2=V2. …正四棱台的高为v② (2)又EF=CE:sin45°=V2×2=1. 斜高CF=C,E2+EF2=(W22+12=3, S侧=×(2+4)×V3×4=12W3. S表=12V3+2×2+4×4=12√3+20. 第6页，共7页 【解析】本题考查了多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征和棱台的侧面积、表面积，是基础题， (1)利用正四棱台的结构特征，设O1、O分别为上、下底面的中心，过C,作C,E⊥AC于E,则CE/ O1O,过E作EF⊥BC于F连接CF,则CF为正四棱台的斜高，CE为正四棱台的高，计算可得： (2)结合棱台的侧面积公式计算，可得棱台的表面积. 10.(本小题14分) 如图为正四棱台ABCD-AB,C,D1,它的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方 形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求正四棱台的表面积. D 【答案】解：~正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形， :上底面、下底面的面积分别是4,16， ~侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形， “侧面的高为 4-(号y=3, ∴侧面梯形的面积为×(2+4)×√3=3V3. :四棱台的表面积为4+16+3V3×4=20+12√3 【解析】本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题. 由题意解直角三角形可得侧面的高，再由正方形面积公式及等腰三角形的面积公式求解. 第7页，共7页 2026年高一数学立体几何初步限时作业（四） （人教版B版必修四第十一章11.1.4） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.给出下列四个结论： 各侧面都是长方形的棱柱一定是正棱柱； 正三棱锥的各面都必须是正三角形； 有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； 长方体一定是正四棱柱， 其中正确结论的个数是(     ) A. B. C. D. 2.正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长的比为(     ) A. B. C. D. 3.正四棱台中，，，，则该棱台的体积为(     ) A. B. C. D. 4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题错误的是(     ) A. 直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D. 棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形 6.如图，下列条件中不能推断出这个几何体三棱台的是(     ) A. ，，， B. ，，，，， C. ，，，，， D. ，， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台现有一个揽月阁模型如图，其下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为           ． 8.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，则侧棱           ． 第7题图 第8题图 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知正四棱台两底面边长分别为和，若侧棱与底面所成的角为， 求棱台的高． 求棱台的表面积． 10.本小题分 如图为正四棱台，它的上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，侧棱长为，侧面是全等的等腰梯形，求正四棱台的表面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学立体几何初步限时作业（四) （人教版B版必修四第十一章11.1.4) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.给出下列四个结论： ①各侧面都是长方形的棱柱一定是正棱柱： ②正三棱锥的各面都必须是正三角形： ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱： ④长方体一定是正四棱柱， 其中正确结论的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 2.正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长的比为( A.1:2 B.2:1 C.1:V2 D.V2:1 3.正四棱台ABCD-AB1CD1中，AB=2,AB1=1,AA1=V2,则该棱台的体积为( A.V6 B29 C.SVG D.VG 6 6 4埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长 的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长 的比值为( A 4 B.1 C*1 D.3+1 2 4 2 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题错误的是( ) A.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D.棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形 6.如图，下列条件中不能推断出这个几何体三棱台的是( A B B A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.AB=A B1,BC=B:C1,CA=CA 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台现有一个揽月阁 模型（如图），其下底面边长为4v2,上底面边长为2W2,侧棱长为√6，则该模型的高为 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PAI底面ABCD,且PA=AB=1,则侧棱 PC= A B 第7题图 第8题图 第2页，共3页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 己知正四棱台两底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为45°， 0 (1)求棱台的高， (2)求棱台的表面积. 10.(本小题14分) 如图为正四棱台ABCD-A1B1CD1,它的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方 形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求正四棱台的表面积. 第3页，共3页