课时测评12 棱锥与棱台-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评12　棱锥与棱台 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列说法正确的是(　　) A．直四棱柱是长方体 B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱 答案：C 解析：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故A错误； 两个面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，故B错误； 由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 由棱柱的定义可知，平行六面体一定是棱柱，故D错误．故选C． 2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 答案：D 解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D． 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过点P，Q，R的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 答案：D 解析：如图所示，连接QP，取C1D1的中点H，连接HR，则HR∥QP，再分别取B1B，D1D的中点M，N，连接HN，NQ，PM，MR，易知六边形HNQPMR即过点P，Q，R的截面图形．故选D． 4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为(　　) A．32 B．48 C．64 D． 答案：A 解析：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE与底面边心距OE组成直角△POE.由题知OE＝2，∠OPE＝30°，所以斜高PE＝＝4，所以S正四棱锥侧＝×BC×PE×4＝×4×4×4＝32．故选A． 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B．棱锥的侧面一定都是三角形 C．棱台各侧棱所在直线必交于一点 D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台 答案：BC 解析：对于A，如图，将两个平行六面体合在一起，可知A错误； 对于B，棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；对于C，棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确； 对于D，如图，该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故D错误．故选BC． 6．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的表面积为________． 答案：a2 解析：在三棱锥S -ABC中，AB＝a，SO＝a，于是OD＝·AB·sin 60°＝a，从而SD＝ ＝，故三棱锥的表面积为S＝3××a×＋×a×a＝a2． 7．如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，P是面对角线AC与BD的交点．若P为四棱锥的顶点，棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有________个． 答案：5 解析：以P为顶点的四棱锥，底面可以是长方体的四个侧面和一个下底面，共5个，即四棱锥P-A′B′C′D′，四棱锥P-A′D′DA，四棱锥P-BCC′B′，四棱锥P-DCC′D′，四棱锥P-ABB′A′. 8．已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为________，体积为________． 答案：48　 解析：如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于点O，取BC的中点M，连接PO，PM，OM.则PO，PM分别为该四棱锥的高与斜高．因为正四棱锥底面正方形的边长为4，所以OM＝2．又因为该棱锥的高与斜高的夹角为30°，即∠OPM＝30°，所以PM＝4，PO＝ ＝＝2.故正四棱锥的表面积为S＝4××4×4＋4×4＝48；正四棱锥的体积为V＝×4×4×2＝. 9．(10分)如图所示，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高PO为h，求侧棱PA的长和斜高PD的长(用含a，h的式子表示). 解：连接AD，则点O在AD上． 因为正三棱锥P-ABC的底面边长为a，O为△ABC的中心， 所以OA＝a，OD＝a. 在Rt△POA中，根据勾股定理，得PA＝＝＝. 在Rt△POD中，根据勾股定理，得PD＝＝＝， 所以正三棱锥的侧棱PA的长为，斜高PD的长为. 10．(10分)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm. (1)求三棱台的斜高；(4分) (2)求三棱台的侧面积和表面积．(6分) 解：(1)设O1，O分别为正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面正三角形的中心， 如图所示， 则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，交B1C1于D1，过O作OD⊥BC交BC于D，则D1D为三棱台的斜高； 过D1作D1E⊥AD交AD于E， 则D1E＝O1O＝， 因O1D1＝×3＝，OD＝×6＝， 则DE＝OD－O1D1＝－＝. 在Rt△D1DE中，D1D＝＝ ＝(cm). 故三棱台的斜高为 cm. (2)设c，c′分别为上、下底的周长，h′为斜高， S侧＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×＝(cm2)， S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2). 故三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm2． 11．(5分)正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，则的取值范围为(　　) A． B． C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案：B 解析：考虑极端情况，当顶点在底面上时，a＝2l，则＝，此时的值最小，所以>.故选B． 12．(5分)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝________． 答案：∶2∶2 解析：如图所示，设正三棱锥P-ABE的各棱长为a，则正四棱锥P-ABCD的各棱长也为a，于是h1＝ ＝a，h2＝ ＝a＝h，故h1∶h2∶h＝∶2∶2． 13．(13分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？(3分) (2)这个几何体共有几个面？每个面的三角形有何特点？(4分) (3)每个面的面积为多少？(6分) 解：(1)如图，折起后形成的几何体是三棱锥． (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形． (3)S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝a2． 14．(17分)正六棱锥的底面周长为24，斜高SH与高SO所成的角为30°. 求：(1)棱锥的高；(7分) (2)侧棱长．(10分) 解：(1)因为正六棱锥的底面周长为24， 所以正六棱锥的底面边长为4， 在正六棱锥S -ABCDEF中，取BC的中点H，连接SH，则SH⊥BC， 设O是正六棱锥S-ABCDEF的底面的中心，连接SO，OH， 所以OH⊥BC， 因为斜高SH与高SO所成的角为30°， 所以∠OSH＝30°，∠SHO＝60°， 在△OBC中，OH＝BC＝2， 所以棱锥的高SO＝OH·tan 60°＝2×＝6． (2)在Rt△SOB中，SO＝6，OB＝BC＝4， 所以侧棱长SB＝ ＝ ＝2 . 学科网（北京）股份有限公司 $