第十一章 立体几何初步（11.1.4）限时作业（五）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦立体几何旋转体核心知识，通过概念辨析、空间计算及实际应用问题，实现对圆锥、圆台性质与表面积体积运算的分层考查，适配高一新授课即时巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4/20|圆锥表面积与高、旋转体概念判断|基础概念辨析，如判断圆台形成条件| |多选题|2/12|圆台轴截面与最短路径、铁球磨制零件体积比较|结合轴截面图考查空间最短路径，体现空间想象| |填空题|2/10|圆锥侧面积与表面积比、三棱锥外接球表面积|综合公式应用，如扇形与圆锥转化| |解答题|2/28|圆台花盆体积与涂漆费用、斜二测图旋转体体积表面积|实际情境应用，如花盆涂漆费用计算；直观图与旋转体结合，考查综合运算|

2026年高一数学立体几何初步限时作业（五） （人教版B版必修四第十一章11.1.4） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了圆锥的表面积，属于基础题． 设圆锥的底面半径为，母线长为，可得，根据圆锥的表面积求出，，由此可得圆锥的高． 【解答】 解：设圆锥的底面半径为，母线长为， 它的侧面展开图是圆心角为的扇形， ， 圆锥的母线长， 又圆锥的表面积为， ， 解得：，， 故圆锥的高， 故选B． 2.下列说法正确的是(     ) 圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成； 用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面； 以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球； 圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查旋转体圆柱、圆锥、圆台、球及其结构特征，属于基础题． 根据旋转体的相关概念逐项判定，即可得到答案． 【解答】 解：圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其两底边的中点连线旋转形成的，故错误； 用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；正确； 球是以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体，故错误； 圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交，正确． 故选D． 3.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由圆锥的底面半径为， 得侧面展开图半圆弧长为， 因此该半圆半径为， 即圆锥的母线长为， 所以圆锥的高为． 故选：． 4.以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该几何体体积为，则其侧面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设等腰直角三角形的直角边长为，则旋转后圆锥的底面半径，高， 母线长为斜边长度，由勾股定理得 圆锥体积公式为，代入、及， 得： 化简得，解得，即； 圆锥侧面积公式为，代入，， 得： 故选B． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为，点为的中点，则(     ) A. 圆台的轴截面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面积为 D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为 【答案】AD  【解析】解：对于， 圆台的高为， 圆台的轴截面面积 ，故A正确； 对于，上下底面的面积分别为和， 则圆台的体积为，故B错误； 对于，圆台的侧面积 ，故C错误； 对于，如图所示，在圆台的侧面展开图上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得：，由为中点，所以， 所以，故D正确． 故选：． 6.将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(     ) A. 底面直径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 底面直径为，高为的圆锥体 D. 各棱长均为的四面体 【答案】ABD  【解析】对于，若圆柱的底面直径为， 则半径为，此时球心到圆柱底面的距离为， 故圆柱的高可以为，符合 对于，若圆锥的底面直径为， 则半径为，此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，符合 对于，若圆锥的底面直径为， 则半径为，此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，不符合 对于，若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合． 故选ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是          ． 【答案】：  【解析】【分析】 本题考查圆锥的表面积与侧面积，是基础题． 先求出圆锥的底面半径和侧面积，再求圆锥的表面积，由此能求出这个圆锥的侧面积与表面积的比． 【解答】 解：设圆锥的底面半径为， 则底面周长为，故展开后的扇形弧长为， 又扇形的圆心角为，半径为， 故，， 所以圆锥的侧面积为，表面积为， 故侧面积与表面积的比是：． 故答案为． 8.已知三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的表面积为          ． 【答案】  【解析】因为，，，所以，所以，由平面，，，平面得，，，因为且，平面，所以平面，又平面，得． 于是将三棱锥放入正方体中，如图：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半径为，则，解得所以该三棱锥的外接球的表面积为， 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，一个圆台型花盆盆口直径为，盆底直径为，盆壁长指圆台的母线长．    求这个圆台型花盆的体积； 现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费元，给这批万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？第问中取 【答案】解：根据题意可得圆台高为， 这个圆台形花盆的体积为； 根据及题意可得一个圆台的侧面积为， 这批万个花盆全部涂上油漆，预计花费为：元．  【解析】根据圆台的体积公式即可求解； 根据圆台的侧面积公式，即可求解． 本题考查圆台的体积与侧面积的求解，属基础题． 10.本小题分 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． 画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； 若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】解：平面四边形的平面图如下图所示： 由上图可知，平面四边形为直角梯形， 所以面积为； 旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为，即， 圆锥的高为，母线长为， 所以体积， 所以表面积．  【解析】本题考查平面图形的直观图与斜二测画法，组合体体积和表面积的计算，属于基础题． 根据题意画出平面四边形的平面图，可知平面四边形为直角梯形，计算面积即可； 旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，结合中数据即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学立体几何初步限时作业（五） （人教版B版必修四第十一章11.1.5） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为(     ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(     ) 圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成； 用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面； 以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球； 圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交． A. B. C. D. 3.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是(     ) A. B. C. D. 4.以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该几何体体积为，则其侧面积为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为，点为的中点，则(     ) A. 圆台的轴截面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面积为 D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为 6.将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(     ) A. 底面直径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 底面直径为，高为的圆锥体 D. 各棱长均为的四面体 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是           ． 8.已知三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的表面积为           ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，一个圆台型花盆盆口直径为，盆底直径为，盆壁长指圆台的母线长．    求这个圆台型花盆的体积； 现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费元，给这批万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？第问中取 10.本小题分 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． 画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； 若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学立体几何初步限时作业（五) (人教版B版必修四第十一章11.1.4) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为() A.1 B.V2 C.2 D.22 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了圆锥的表面积，属于基础题， 设圆锥的底面半径为r,母线长为1，可得1=3r,根据圆锥的表面积求出t,1,由此可得圆锥的高. 【解答】 解：设圆锥的底面半径为r,母线长为1， 它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形， 1=2m, 圆锥的母线长1=3r, 又~圆锥的表面积为π， ∴r(t+3r)=, 解得：r=克1= 故圆锥的高h=√P-=√2， 故选B. 第1页，共7页 2.下列说法正确的是() ①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成： ②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面； ③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球； ④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交. A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征，属于基础题 根据旋转体的相关概念逐项判定，即可得到答案. 【解答】 解：①圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其两底边的中点连线旋转形成的，故①错误： ②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面：②正确： ③球是以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体，故③错误； ④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交，④正确. 故选D 3.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是( A.1 B.V2 C.v3 D.2 【答案】C 【解析】解：由圆锥的底面半径为1， 得侧面展开图半圆弧长为2π， 因此该半圆半径为2， 即圆锥的母线长为2， 所以圆锥的高为√22-1下=√3 故选：C 4.以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该 几何体体积为9π，则其侧面积为( A.6V2π B.9V2π C.18√2π D.27v2n 【答案】B 第2页，共7页 【解析】解：设等腰直角三角形的直角边长为a,则旋转后圆锥的底面半径r=a,高h=a, 母线长1为斜边长度，由勾股定理得1=√a2+a=√2a 圆锥体积公式为V=h,代入r=a、h=a及V=9m, 得：a2,a=9n 化简得a3=9,解得a3-27,即a=3: 圆锥侧面积公式为S=ml,代入r=a=3,1=√2a=3√2， 得：S=π×3×3V2=9V2π 故选B. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r1=1,r2=2,母线AB长为2，点E为AB 的中点，则( B A.圆台的轴截面积为3√3 B.圆台的体积为12π C.圆台的侧面积为18π D.在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 【答案】AD 【解析】解：对于A,圆台的高为h=√22-1下=√3， 圆台的轴截面面积=号×(2+4)×√了=3√了，故A正确： 对于B,上下底面的面积分别为π和4π， 则圆台的体积为×V5x(π+4红+Vπ×4m=,故B错误： 对于C,圆台的侧面积S=π×2×(1+2)=6π，故C错误： 对于D,如图所示，在圆台的侧面展开图上，从C到E的最短路径的长度为CE. 第3页，共7页 由题意可得：FB=FC=4,AB=2,由E为AB中点，所以FE=3, 所以CE=√CF2+FE=√4+3？=5，故D正确. B A D 故选：AD 6.将一个直径为10的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是() A.底面直径为8，高为6的圆柱体 B.底面直径为8，高为8的圆锥体 C.底面直径为7，高为9的圆锥体 D.各棱长均为8的四面体 【答案】ABD 【解析】对于A,若圆柱的底面直径为8， 则半径为4，此时球心到圆柱底面的距离为V5-4=3, 故圆柱的高可以为6，A符合； 对于B,若圆锥的底面直径为8， 则半径为4，此时球心到圆锥底面的距离为V52-4平=3， 故圆锥的高最大时为3+5=8，B符合； 对于C,若圆锥的底面直径为7， 则半径为，此时球心到圆锥底面的距离为、 59-(⑤=<=4， 故圆锥的高最大时为区+5<9，C不符合： 对于D,若将各棱长均为8的四面体放入到棱长为4V2的正方体中， 此时正方体的外接球直径为V3×4V2=4V6<10,故D符合. 故选ABD 第4页，共7页 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为？，半径为1的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比 是 【答案】3：4 【解析】【分析】 本题考查圆锥的表面积与侧面积，是基础题， 先求出圆锥的底面半径和侧面积，再求圆锥的表面积，由此能求出这个圆锥的侧面积与表面积的比： 【解答】 解：设圆锥的底面半径为r, 则底面周长为2，故展开后的扇形弧长为2π， 又扇形的圆心角为行，半径为1， 故2m=号×1，r= 所以圆锥的侧面积为，表面积为号+（兮了=钙， 故侧面积与表面积的比是3：4. 故答案为3：4. 8.己知三棱锥A-BCD中，AB1平面BCD,且AB=BD=5,BC=3,CD=4,则该三棱锥的外接 球的表面积为一· 【答案】50m 【解析】因为BD=5,BC=3,CD=4,所以BD=BC2+CD,所以CD⊥BC,由AB1平面 BCD,BC,CD,BDC平面BCD得AB 1 BC,AB⊥BD,AB 1 CD,因为AB∩BC=B且AB, BCc平面ABC,所以CDI平面ABC,又ACc平面ABC,得CD L AC. 于是将三棱锥放入正方体中，如图：三棱锥A-BCD的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半 径为R,则2R=√AB2+BC+CD=√S+32+平=5√2，解得R=2所以该三棱锥的外接球的表 第5页，共7页 面积为4R2=50m, B 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm,盆底直径为l0cm,盆壁长（指圆台的母线长）13cm. 20cm 13cm 10cm (1)求这个圆台型花盆的体积： (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1 万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第(2）问中π取3.14) 【答案】解：(1)根据题意可得圆台高为 132-(9>=12 这个圆台形花盆的体积为×（π×102+π×52+π×10×5）×12=700m(cm): (2)根据(1)及题意可得一个圆台的侧面积为(10m+5m×13=195π≈612.3(cm), 这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费为：612.3×10-4×10000×10=6123（元）. 【解析】(1)根据圆台的体积公式即可求解： (2)根据圆台的侧面积公式，即可求解。 本题考查圆台的体积与侧面积的求解，属基础题， 第6页，共7页 10.(本小题14分) 如图所示，OAB'C为四边形OABC的斜二测直观图，其中OA'=3,OC'=1,BC=1. (1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积： (2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 【答案】解：(1)平面四边形OABC的平面图如下图所示： 由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形， 所以面积为+3x2=4: 2 (2)旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由(1)可知几何体底面圆半径为r=2,圆柱母线长和高都为1，即h,=11=1, 圆锥的高为2=2，母线长为12=2V2, 所以体积V=V鞋+V维=mh+甘πh,=4+孤=碧元 所以表面积S=m2+2ml1+l2=4m+4m+4V2m=(8+4W2)m. 【解析】本题考查平面图形的直观图与斜二测画法，组合体体积和表面积的计算，属于基础题， (1)根据题意画出平面四边形OABC的平面图，可知平面四边形OABC为直角梯形，计算面积即可： (2)旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，结合（①）中数据即可求解。 第7页，共7页2026年高一数学立体几何初步限时作业（五) （人教版B版必修四第十一章11.1.5) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为() A.1 B.V2 C.2 D.22 2.下列说法正确的是( ) ①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成： ②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面： ③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球； ④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交· A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 3圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是( A.1 B.V2 c.3 D.2 4以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该 几何体体积为9π，则其侧面积为( ) A.6V2π B.9V2π C.18V2π D.27v2n 第1页，共4页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r1=1,r2=2,母线AB长为2，点E为AB 的中点，则( E B A.圆台的轴截面积为3v3 B.圆台的体积为12π C.圆台的侧面积为18π D.在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 6将一个直径为10的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是( A.底面直径为8，高为6的圆柱体 B.底面直径为8，高为8的圆锥体 C.底面直径为7，高为9的圆锥体 D.各棱长均为8的四面体 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比 是 8.已知三棱锥A-BCD中，ABI平面BCD,且AB=BD=5,BC=3,CD=4,则该三棱锥的外接 球的表面积为 第2页，共4页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm,盆底直径为10cm,盆壁长（指圆台的母线长）13cm, 20cm 13cm 10cm (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1 万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第(2）问中取3.14) 第3页，共4页 10.(本小题14分) 如图所示，OABC为四边形OABC的斜二测直观图，其中OA'=3,OC=1,BC=1. (1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积： (2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 第4页，共4页