基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理求最值（直接、配凑、常数代换、消元法）及综合应用（恒成立、实际应用、知识交汇）考查维度，通过真题分析明确求最值占60%的高频考点，归纳10类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+变式拓展”策略，如2021天津卷典例解析两次基本不等式应用，总结配凑法“拆项添项凑定值”步骤，培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（模型表达）素养，特设易错警示与母题变式，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

1.4 基本不等式 返回目录 知识清单 知识点　基本不等式 1.基本不等式 基本不等式 不等式成立的 条件 等号成立的 条件  ≤  a>0,b>0 a=b 其中 为正数a,b的算术平均数, 为正数a,b的几何平均数,基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 返回目录 2.几个重要不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2) + ≥2(a,b同号). (3)ab≤ (a,b∈R). (4) ≥ ≥ ≥ (a,b为正实数,当且仅当a=b时等号成立). 返回目录 3.基本不等式与最值 已知x>0, y>0, (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2 (简记:积定和最小). (2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值 (简记:和定积最大). 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)当x>2时, + ≥2 . ( ) (2)若x>0,y>0,则lg x+lg y≥2 . ( ) (3)函数y=x+ 的最小值是2. ( ) (4)x2+2+ (x∈R)的最小值是2. ( )     ✕         ✕         ✕         √     返回目录 2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是( ) A.4　　    B.4 　　     C.9　　    D.18     D     返回目录 3.(人教A版必修第一册P49习题T5改编)已知x>0,则2+3x+ 的最小值是____________.     2+4      返回目录 考点清单 考点1　利用基本不等式求最值 角度1　直接法 典例1　(求和的最值)(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则 + +b的最小值为__________.     2      解析　解法一    (两次利用基本不等式,先消去a,再消去b) 因为a>0,b>0, 所以 + +b≥2 +b= +b≥2 =2 , 当且仅当 即a=b= 时等号成立,故 + +b的最小值为2 . 返回目录 解法二    (n元均值不等式,拆项) ∵a>0,b>0, ∴ + +b= + + + ≥4 =2 ,当且仅当 = = ,即a=b= 时等号成立. 故 + +b的最小值为2 . 知识拓展    n元均值不等式: ≥ ,x1,x2,···,xn>0,当且仅当x1=x2=···=xn 时等号成立. 易错警示　多次使用基本不等式解决同一问题时,要保证每次等号成立条件的一致性 和不等号方向的一致性. 返回目录 变式训练 1.(求积的最值)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.1     A     解析　因为0<x<1,所以1-x>0,由基本不等式得x(1-x)≤ = , 当且仅当x=1-x,即x= 时,等号成立,故x(1-x)的最大值为 .故选A. 返回目录 角度2　配凑法 典例2　(凑配积为定值)当x< 时,函数y=x+ 的最大值为_______. 　-      解析　由x< ,得2x-3<0,则3-2x>0,则y=x+ = (2x-3)+ +  =- +  ≤-2 + =- , 当且仅当 = ,即x=- 时等号成立,即函数的最大值为- . 返回目录 方法总结　配凑是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值 或积为定值的形式. 返回目录 变式训练 2.(凑配和为定值)已知0<x< ,则x(3-2x)取得最大值时x的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　∵0<x< ,∴3-2x>0, 则由基本不等式得,x(3-2x)= ≤ = , 当且仅当2x=3-2x,即x= 时,等号成立,故x(3-2x)取得最大值时x的值为 .故选D. 返回目录 角度3　常数代换法 典例3　(“1”的代换)(2025届河南三模)若a>0,b>0,且a+b=1,则- - 的最大值为  ( ) A.-9　　    B.-7　　     C.-5　　    D.-3     A     解析　因为a>0,b>0,且a+b=1, 所以 + = (a+b)=5+ + ≥5+2 =9, 当且仅当 = ,即a= ,b= 时等号成立,所以- - 的最大值为-9.故选A. 返回目录 方法总结    1.常数代换法求解最值的基本步骤:(1)根据已知条件或其变形确定定值(常 数);(2)把确定的定值(常数)变形为“1”的表达式;(3)把“1”的表达式与所求最值的 表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;(4)利用基本不等式求解最值. 2.当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+by)  (a,b,m,n为正常数,x,y为正数)的形式,利用(ax+by) =am+bn+ + ≥am +bn+2  当且仅当 = 时等号成立 得到结果. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)(2025届福建泉州二模)若x≥0,y≥0,且 + =1,则3x+4y的 最小值为 ( ) A.2　　    B.3　　     C.4　　    D.8     B     返回目录 解析　因为x≥0,y≥0,所以x+1≥1,2x+4y≥0,由题意知2x+4y≠0,则2x+4y>0, 3x+4y=(3x+4y+1)-1=[(x+1)+(2x+4y)] -1=2+ + -1≥2+ 2 -1=3, 当且仅当 即 时,等号成立,所以3x+4y的最小值是3.故选B. 返回目录 角度4　消元法 典例4　已知正实数x,y满足x2+3xy-2=0,则4x+3y的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.2 　　    D.      C     解析　因为正实数x,y满足x2+3xy-2=0,则y= - , 则4x+3y=4x+ -x=3x+ ≥2 , 当且仅当3x= ,即x= 时,等号成立,所以4x+3y的最小值为2 .故选C. 返回目录 变式训练 4.(关键元素变式)已知正实数m,n满足mn=2,则 + + 的最小值为 ( ) A.2 　　    B.3　　    C.3 　　    D.4     C     解析　由mn=2,得n= , 则 + + = +m+ , 设 +m=t,则t≥2, 原式=t+ ≥2 =3 , 当且仅当t= 时等号成立,所以 + + 的最小值为3 .故选C. 返回目录 5.(关键元素变式)(2025届云南玉溪期中)若正数a,b满足ab+a+b=8,则(a+1)2+(b+1)2的 最小值是 ( ) A.15　　    B.18　　    C.24　　    D.36     B     解析　由ab+a+b=8得b= =- =-1+ ,0<a<8,则b+1= ,∴(a+1)2+(b+1)2=(a+ 1)2+ ≥2(a+1)· =18,当且仅当(a+1)2= ,即a=b=2时等号成立,所以(a+1)2+ (b+1)2的最小值是18.故选B. 方法总结　当要求最值的代数式中的变量比较多时,通常可以利用已知条件消去部分 变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,再利用基本不等式求最值. 返回目录 考点2　基本不等式的综合应用 角度1　与基本不等式有关的恒成立及有解问题 典例5　(恒成立问题)(2025届吉林延边一模,4)已知正实数x,y满足x+y- xy=0,且不等 式x+y-a>0恒成立,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2)　　    B.(-∞,8)　　     C.(-∞,6)　　    D.(-∞,4)     B     解析　因为正实数x,y满足x+y- xy=0,所以 + = , 则x+y=2(x+y) =2 ≥8, 当且仅当x=y=4时取等号,因为不等式x+y-a>0恒成立,所以a<8.故选B. 返回目录 方法总结    常见不等式恒成立及有解问题的处理策略 不等式恒成立及有解问题常常转化为函数的最值问题来处理,具体如下: (1)若对任意的x∈[m,n],a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max; 若存在x∈[m,n],a>f(x)有解⇒a>f(x)min; 若对任意的x∈[m,n],a>f(x)无解⇒a≤f(x)min. (2)若对任意的x∈[m,n],a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min; 若存在x∈[m,n],a<f(x)有解⇒a<f(x)max; 若对任意的x∈[m,n],a<f(x)无解⇒a≥f(x)max. 返回目录 变式训练 6.(有解问题)两个正实数x,y满足 + =1,若不等式x+ <m2+3m有解,则实数m的取值 范围是____________________.     {m|m<-4或m>1}     解析　由于x+ =  =2+ + ≥2+2 =4, 当且仅当 = ,即y=4x=8时等号成立.若不等式x+ <m2+3m有解, 则m2+3m>4,即m2+3m-4=(m+4)·(m-1)>0,解得m<-4或m>1. 故m的取值范围是{m|m<-4或m>1}. 返回目录 角度2　基本不等式的实际应用 典例6　如图所示,利用一堵长8 m,高3 m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库.由于空间 限制,仓库的宽度固定为3 m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2,仓库底面的建 造成本为600元/m2.整个仓库的建造成本预算为32 400元,假设成本预算恰好用完,则仓 库的储物量(即容积)的最大值为__________m3.       36     返回目录 解析　设仓库的长为a m,高为b m, 则(3b+3b+ab)×900+3a×600=32 400. 即6b+ab+2a=36,其中0<a≤8,0<b≤3. 因为6b+ab+2a=36≥4 +ab, 即( -2 )( +6 )≤0, 所以0<ab≤12,当且仅当a=3b=6时取等号,所以仓库的储物量为3ab≤36 m3, 即仓库的储物量的最大值为36 m3. 返回目录 方法总结　应用基本不等式解决实际问题的步骤 1.仔细阅读题目,理解题意; 2.分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变量 表示为关于未知数的函数; 3.应用基本不等式求出函数的最值; 4.还原实际问题,写出答案. 返回目录 变式训练 7.(情境模型变式)(2025届江苏无锡期中,4)一家货物公司计划租地建造仓库储存货 物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:元)与仓库到车站的距离x (单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:元)与x成正比;若在距离车站6 km处建仓库, 则y2=4y1.要使这家公司的两项费用之和最小,则所建仓库与车站的距离为 ( ) A.2 km　　    B.3 km　　     C.4 km　　    D.5 km     B     返回目录 解析　由题意设y1= ,y2=k2x,k1>0,k2>0,x>0, 由若在距离车站6 km处建仓库,则y2=4y1,得6k2= ,则k1=9k2, 设两项费用之和为y元,则y=y1+y2= +k2x≥2 =6k2,当且仅当 =k2x,即x=3时等 号成立, 即要使这家公司的两项费用之和最小,所建仓库与车站的距离为3 km.故选B. 返回目录 8.(情境模型变式)现使用一架两臂不等长的天平称中药,操作方法如下:先将100 g的 砝码放在天平左盘中,取出一些中药放在天平右盘中,使得天平平衡;再将100 g的砝码 放在天平右盘中,再取出一些中药放在天平左盘中,使得天平平衡.则两次实际称得的药 品总质量( ) A.等于200 g　　    B.大于200 g C.小于200 g　　    D.以上都有可能     B     返回目录 解析　设天平左臂长为m,右臂长为n,m,n>0且m≠n,左盘放的药品质量为x1克,右盘放的 药品质量为x2克, 则 解得x1= ,x2= , x1+x2= + ≥2 =200,当且仅当 = ,即m=n时取等号,而m≠n,故 等号无法取到,所以x1+x2>200.故选B. 返回目录 角度3　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 典例7　已知随机变量X~N(4,σ2),P(X>6)=m,P(2<X<4)=n,则 + 的最小值为 ( ) A.6+2 　　    B.3+4 　　     C.6+4 　　    D.8+2      C     解析　已知随机变量X~N(4,σ2),所以该正态分布曲线的对称轴为直线x=4,则P(2<X<4)= P(4<X<6),所以P(X>6)+P(2<X<4)=m+n= ,且m>0,n>0,即2m+2n=1,所以 + =(2m+2n)  = + +6≥2 +6=4 +6,当且仅当 = ,即m= n= 时,取等号. 返回目录 变式训练 9.(情境模型变式)(2025届湖北黄冈三模,2)若平面向量a=(x-1,-1)与b=(y,2)平行,则4x+ 2y的最小值为 ( ) A.2　　    B.4　　    C.2 　　    D.4      B     解析　∵平面向量a=(x-1,-1)与b=(y,2)平行,∴2(x-1)-(-1)·y=0,化简得2x+y=2. ∴4x+2y=22x+2y≥2 =2 =2 =2×2=4,当且仅当22x=2y,2x+y=2,即x= ,y=1时取 等号.所以4x+2y的最小值为4.故选B. 返回目录 10.(情境模型变式)(多选)(2026届湘豫名校联考一轮复习诊断,10)已知函数f(x)= |ln(x-1)|,当a>b时, f(a)=f(b),则下列结论正确的是 ( ) A. + =1 B.ab有最小值4 C. + ≥2  D.a+2b的最小值是4      AC     返回目录 解析    对于A,由题可知f(a)=ln(a-1)=f(b)=-ln(b-1)(1<b<2<a),所以ln(a-1)+ln(b-1)=0,即(a- 1)(b-1)=1,所以ab=a+b,即 + =1,A正确;对于B,因为a>b,所以ab=a+b>2 ,即 ( - 2)>0,即ab>4,B错误;对于C, + ≥2 =2 ,当且仅当a=1+ ,b=1+ 时, 等号成立,且满足a>b,C正确;对于D,由a+2b=(a+2b) =1+2+ + ≥3+2 =3+ 2 ,当且仅当a= +1,b=1+ 时,等号成立,D错误.故选AC. 返回目录 $