函数的概念及表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及表示”核心考点，依据高考评价体系梳理了定义域求解、解析式求法、分段函数应用三大考查维度，通过考点权重分析明确定义域、分段函数为高频考点，归纳复合函数定义域、分段函数求值等常考题型，培养学生用数学眼光观察问题的素养。 课件特色在于“知识清单系统化+典例实战化+变式训练针对性”，如通过换元法、待定系数法解析函数解析式求法，结合分段函数值域问题培养数学思维与推理能力，即练即清与方法总结帮助学生掌握答题技巧，教师可利用其精准把握学情，提升高考复习效率。

2.1 函数的概念及表示 返回目录 知识清单 知识点1　函数的有关概念 1.函数的概念 函数的 概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的 记法 y=f(x),x∈A,x叫做自变量,与x的值相对应的y值叫做函数值 定义域 x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 返回目录 提醒　直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象有0或1个交点. 2.同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也 相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 解析法、列表法、图象法. 返回目录 知识点2　分段函数 　　若函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的 函数称为分段函数. 提醒    分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)A=N,B=N,f:x→y=(x-1)2是从集合A到集合B的函数. ( ) (2)y= 与y= 是同一个函数. ( ) (3)任何一个函数都有三种表示法. ( )     ✕         ✕         √     返回目录 2.下列图象中,y不是x的函数的是 ( )          D     返回目录 3.函数f(x)= 的定义域是____________________.     (-∞,2)∪(2,3]     返回目录 4.已知f(x)= + ,若f(-2)=0,则a的值为_________.     1     返回目录 5.若f(x)= 则f(f(-1))=_________.     3     返回目录 考点清单 考点1　函数的概念及表示 角度1　函数的概念 典例1    (1)(多选)下列选项中正确的是 ( ) A.函数f(x)= - 的定义域为[0,+∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y= 与y=x-1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 (2)已知函数y=f(x+1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.[-1,1]　　    D.[3,5]     B         ABD     返回目录 解析    (1)对于A,由题意得 解得x≥0,即函数f(x)的定义域为[0,+∞),A正确. 对于B,D,根据函数的定义知B,D正确. 对于C,函数y= 的定义域是{x|x≠-1},函数y=x-1的定义域是R,C不正确.故选ABD. (2)由函数y=f(x+1)的定义域为[1,2]知2≤x+1≤3.因此函数y=f(x)的定义域为[2,3]. 在函数y=f(2x-1)中,2≤2x-1≤3,解得 ≤x≤2,故选B. 返回目录 方法总结　求复合函数的定义域   返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则y= 的定义域为 ( ) A.(1,8]　　    B.[-4,1)∪(1,8] C.(1,2]　　    D.[-1,1)∪(1,2]     D     解析　由题意得 解得-1≤x≤2且x≠1.故选D. 返回目录 角度2　求函数的解析式 典例2    (1)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,则f(x)=______________. (2)若f( +1)=x+2 ,则f(x)的解析式为______________________.     f(x)=x2-1(x≥1)         x2-x+1     返回目录 解析    (1)由f(x)是二次函数设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1. 由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,则有 解得  所以f(x)=x2-x+1. (2)解法一　换元法　令 +1=t,则x=(t-1)2,t≥1.所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以函 数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 解法二　配凑法    f( +1)=x+2 =x+2 +1-1=( +1)2-1. 因为 +1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 返回目录 方法总结　函数解析式的求法 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等),则可用待定系数法 换元法 主要适用于求解:已知f(g(x))的解析式,求函数f(x)的解析式.其求解的步骤如下: (1)先令g(x)=t,求出t的取值范围; (2)反解出x,用含t的代数式表示x; (3)将f(g(x))中的x换为用t来表示,可求得f(t)的解析式,从而求得f(x) 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式 构造法 已知关于f(x)与f 或f(-x)或f 的一个等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x) 赋值法 f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x) 返回目录 变式训练 2.(构造法)已知函数f(x)的定义域为R,且满足2f(x)-f(1-x)=x,则f(x)= ( ) A.x-2　　    B. 　　    C. 　　    D.-x+2     B     解析　因为2f(x)-f(1-x)=x①,所以2f(1-x)-f(x)=1-x②,由①×2+②得3f(x)=x+1,则f(x)= . 故选B. 返回目录 3.(赋值法)已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对任意实数x,y恒成立,且f(0)=1,则f(x)的解析式为 ___________________.     f(x)=x2+x+1     解析　令y=x,则f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1),因为f(0)=1,所以f(x)-x(x+1)=1,所以f(x)=x2 +x+1. 返回目录 考点2　分段函数 典例3    (1)(分段函数求值)设f(x)= 则f(9)的值为 ( ) A.9　　    B.11　　    C.28　　    D.14 (2)(分段函数的值域)已知函数f(x)= 若函数f(x)的值域为R,则实数a的取 值范围是_______________.     [-10,6]         B     返回目录 解析    (1)f(9)=f(f(14))=f(2×14-15)=f(13)=2×13-15=11.故选B. (2)在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x+6与y=x2-4x的图象,如图.结合图象可知要使 f(x)的值域为R,则有 解得-10≤a≤6.   返回目录 方法总结    1.求分段函数的函数值的方法 先确定自变量的取值属于哪一段区间,再代入该段区间所对应的解析式求值.当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.与分段函数有关的方程或不等式问题 依据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式分类讨论求解,最后将讨论结 果并起来,特别地,可以借助函数单调性求解不等式. 3.分段函数求值域 (1)根据自变量的不同范围,求出每段函数的值域,每段函数的值域的并集就是函数的值 域. (2)借助函数的图象,确定函数的值域,解含有参数的值域问题常用此法. 返回目录 变式训练 4.(分段函数与不等式)设函数f(x)= 若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范 围是______________________.     (-∞,-1)∪(2,+∞)     解析　作出函数f(x)= 的图象,如图所示,   由图可知,函数f(x)= 在R上单调递增,所以由f(a2-3)>f(a-1),可得a2-3>a-1,即 a2-a-2>0,解得a<-1或a>2,则实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 返回目录 5.(已知函数值求自变量)函数f(x)= 当f(f(a))=8时,实数a=_________.     8     解析　令f(a)=t,当t≤1时,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去); 当t>1时, -5=8,解得t= (舍去),因此t=-4,所以f(a)=-4. 当a≤1时,a2+2a=(a+1)2-1≥-1,故a2+2a=-4无解,舍去; 当a>1时, -5=-4,解得a=8,符合题意.综上所述,a=8. 返回目录 6.(分段函数与方程)已知a≠0, f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为_______. 　-      解析    f(1-a)=f(1+a)可化为 或   解得a=- . 返回目录 $