第6讲 函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及其表示”专题，依据课标要求覆盖函数三要素、定义域值域、解析式求法及分段函数应用等核心考点，通过分析近三年高考真题明确定义域求解（占30%）、分段函数求值（占25%）等高频题型，构建知识网络与解题体系。 课件亮点在于“真题溯源+分层突破+素养渗透”策略，如以2024吉林长春三模分段函数题为例，运用分类讨论思想（数学思维）和符号表达（数学语言）解析求值问题，总结换元法、配凑法等解析式求法技巧。设“易错警示”专栏规避定义域遗漏等问题，助力学生提升解题效率，教师可依托专题训练实现精准复习。

第2章 函数 第6讲 函数的概念及其表示 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.掌握求函数定义域及解析式的基本方法. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.函数 函数 两个集合， 设， 是两个__________ 对应关系 f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应 名称 称__________为从集合到集合 的一个函数 函数记法 函数， 非空数集 任意 唯一确定 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的　 　;与x的值相对应的y值叫做　 　，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的　 .  (2)函数的三要素:　 　、　 　和　 　.  (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有　 　、　 　和　 　.  定义域 函数值 值域 定义域 对应关系 值域 解析法 图象法 列表法 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因　 　不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.  分段函数的定义域等于各段函数的定义域的　 　，其值域等于各段函数的值域的　 　，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.  对应关系 并集 并集 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【重要结论】 1.常见函数的定义域 (1)一次函数、二次函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0. (3)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y=ax(a>0且a≠1)，y=sin x，y=cos x的定义域均为R. (6)y=logax(a>0，a≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)y=tan x的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) (2)对于函数f:A→B，其值域是集合B.(　　) (3)若A=R，B={x|x>0}，f:x→y=|x|，其对应是从A到B的函数.(　　) (4)函数f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点.(　　) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(　　) × × × √ × 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 教材改编 2.[必修1p66例3]下列函数中与函数y=x是同一个函数的是(　　) A.y=()2 B.u= C.y= D.m= B [解析] 函数y=()2与函数m=和y=x的定义域不同，不是同一个函数，函数y==|x|与y=x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.[必修1p67T1]函数f(x)=的定义域为　　　　.  [-3，1] [解析] 由-x2-2x+3≥0，得-3≤x≤1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.设M={x|0≤x≤4}，N={y|-4≤y≤0}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是(　　) B [解析] 因为定义域为{x|0≤x≤4}，所以舍去A; 因为值域为{y|-4≤y≤0}，所以舍去D; 因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，所以舍去C; 选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.(2024·吉林长春·三模)已知函数f(x)=则f(-5)=　　　　　.  2 [解析] 由函数可得，f(-5)=f(-3)=f(-1)=f(1)=21=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 函数的概念 例1　(1)(2025高三·全国·专题练习)已知A={x|0≤x≤2}，B={1，2}，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) C [解析] 对于A，函数的值域为[0，2]，不符合题意; 对于B，函数的值域为[1，2]，不符合题意; 对于C，函数的定义域为{x|0≤x≤2}，值域为{1，2}，符合题意; 对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (2)(2025·江西九江·模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A.f(x)=，g(x)=x B.f(x)=x+1，g(x)= C.f(x)=1，g(x)=x0 D.f(x)=x，g(x)= A [解析] 对于A，函数f(x)==x的定义域为R，函数g(x)=x的定义域为R，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数; 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 对于B，函数f(x)=x+1和g(x)==|x+1|=的定义域都是R，但对应法则不同，所以不是同一个函数; 对于C，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，定义域不相同，所以不是同一个函数; 对于D，函数f(x)=x的定义域为R，g(x)=的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域不相同，所以不是同一个函数.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结](1)两个函数是否为同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一个函数.判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同. (2)函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.已知函数y=g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的图象如下图所示，则g(f(2))的值为(　　) x 1 2 3 g(x) 4 3 -1 A.-1 B.0 C.3 D.4 D [解析] 观察函数y=f(x)的图象，得f(2)=1，由数表得g(1)=4， 所以g(f(2))=g(1)=4. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 2.已知f(x)=则f(x)的值域是　　　　.  [1，+∞) [解析] 当 x>0 时， 根据指数函数的性质知f(x)=2x>1， 当 x≤0 时， f(x)=1. 综上:y=f(x)的值域为 [1，+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 考点2 函数的定义域 例2　(1)(2025·江苏常州·一模)函数f(x)=的定义域为　 　　　　　. (3，4)∪(4，+∞) [解析] 由题意函数f(x)=有意义，需满足解得x>3且x≠4， 故函数的定义域为(3，4)∪(4，+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 (2)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1，2]，则函数f(x)的定义域为　　　　.  [3，5] [解析] 设2x+1=t，因为1≤x≤2，所以3≤2x+1≤5，即3≤t≤5， 函数y=f(t)的定义域为[3，5]， 由此得函数y=f(x)的定义域为[3，5]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 (3)已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1)，若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围为　　　　　　　. (1，+∞) [解析] 若f(x)的定义域为R，则函数u=ax2+2x+1的图象恒在y轴的上方，  ∴解得a>1， ∴实数a的取值范围为(1，+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 [小结](1)对于给出解析式的函数f(x),其定义域可能有如下几种情况:①若f(x)是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合;②若f(x)是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合;③如果f(x)是由一些函数通过四则运算组合而成的,那么它的定义域是各函数定义域的交集. (2)函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分,研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念. (3)抽象函数的定义域:①无论是已知定义域还是求定义域,均是指其中的自变量x的取值集合;②对应法则f下的范围一致. (4)已知定义域求参数范围,可将问题转化,列出含参数的不等式(组),进而求范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 3.(2025·江苏镇江·模拟预测)若函数y=f(2x)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)-f(-x)的定义域为(　　) A.[-2，2] B.[-2，4] C.[-4，4] D.[-8，8] C [解析] 因为函数y=f(2x)的定义域为[-2，4]，则-2≤x≤4，可得-4≤2x≤8， 所以，函数y=f(x)的定义域为[-4，8]，对于函数y=f(x)-f(-x)， 则有解得-4≤x≤4， 因此，函数y=f(x)-f(-x)的定义域为[-4，4].故选C. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 4.(2024四川成都·期中)一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t2.发射器的高度不计.该函数的定义域为(　　) A.(0，+∞) B.(0，845] C.[0，26] D.[0，845] C [解析] 由题意可知，炮弹发射后共飞行了26 s， 所以0≤t≤26，即函数h=130t-5t2的定义域为[0，26]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 考点3 函数的解析式 例3　 (1)已知f(2x+1)=4x2-6x+5，则f(x)=　　　 　　　.  x2-5x+9(x∈R) [解析] 解法一(换元法):令2x+1=t(t∈R)，则x=， 所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R)， 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 解法二(配凑法):因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9， 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 (2)已知f(x)满足3f(x)+2f(1-x)=4x，则f(x)的解析式为　　　　　　　.  f(x)=4x- [解析] 由3f(x)+2f(1-x)=4x，① 用1-x代x可得，3f(1-x)+2f(x)=4(1-x)，② 由3×①-2×②可得，f(x)=4x-， 故f(x)的解析式为f(x)=4x-. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [小结]1.求函数解析式的几种常用方法: (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),根据函数类型设出函数解析式,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可. (2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便可得f(x)的解析式. (3)换元法:已知f(h(x))=g(x)求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,求出f(t)的解析式,再将t替换为x即可. (4)解方程组法:已知关于f(x)与f(或f(-x))的表达式,可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x). 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 2.谨防求函数解析式的2种失误 (1)在求函数解析式时,一定要注意自变量的范围,也就是定义域问题.求出解析式后要标注x的取值范围. (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围. 如已知f()=x+1,求函数f(x)的解析式,可通过换元的方法得f(x)=x2+1,函数f(x)的定义域是[0,+∞),而不是(-∞,+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 5.若函数f(x)是二次函数，满足f(0)=2，f(x+2)-f(x)=4x，则f(x)=(　　) A.x2+x+2 B.x2-2x+2 C.x2-x+2 D.x2+2x+2 B [解析] 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=2，则c=2， 由f(x+2)-f(x)=4x，则a(x+2)2+b(x+2)+2-(ax2+bx+2)=4x， 整理可得4ax+4a+2b=4x，则解得 所以f(x)=x2-2x+2.故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 6.(2025·河南·模拟预测)已知函数f(x)对定义域{x|x≠0}内的任意实数x满足 f(2x)-2f=4x，则f(x)=　　　　　　.  -x- [解析] 由f(2x)-2f=4x， 得f(2x)-2f=2·(2x)， 即f(x)-2f=2x①，将x换为， 得f-2f(x)=2×②，由①+2×②可得，-3f(x)=2x+， 故f(x)=-x-. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 考点4 分段函数 角度1.分段函数求值 例4　设f(x)=若f(a)=6，则f=(　　) A. B. C. D. A [解析] 由已知得，当0<a<1时，f(a)=<1，与f(a)=6矛盾， ∴a≥1，代入得2(a-1)=6，解得a=4， ∴f=f==. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 角度2.分段函数与不等式 例5　(1)已知函数f(x)=若f(a)>3，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，-1) B.(3，+∞) C.(-1，3) D.(-∞，-1)∪(3，+∞) D [解析] 由题意可得或解得a<-1或a>3， 所以a的取值范围是(-∞，-1)∪(3，+∞).故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 (2)已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A.(-4，4) B.[-4，4) C.(-∞，-4] D.{-4} B [解析] 当x≥1时，y=log3x在[1，+∞)上单调递增，且log31=0， 所以函数在[1，+∞)的值域是[0，+∞). 因为函数f(x)的值域是R，所以当x<1时的函数值域应该包含(-∞，0)， 即⇒-4≤a<4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 [小结](1)分段函数问题一般分段求解,其定义域和值域是各段的并集; (2)求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解; (3)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围; (4)当自变量含参数或范围不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 7.(2025·吉林长春·模拟预测)已知f(x)=则f=(　　) A.- B. C. D. A [解析] 函数f(x)=则f==， 所以f=f=log2=-. 故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 8.(2025高三上·北京朝阳)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A.[0，4] B.(0，4] C.[-2，4] D.[-2，0] A [解析] 当x≥2时，由f(x)=log2x≤2，解得0<x≤4， 所以f(x)≤2在[2，+∞)上的解集为[2，4]; 当x<2时，由f(x)=2-x≤2，解得x≥0， 所以f(x)≤2在(-∞，2)上的解集为[0，2)， 综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，4]，故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 $