函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及其表示”核心模块，依据高考评价体系明确函数定义、定义域、解析式、分段函数等考查要求，通过梳理近五年高频考点，归纳出定义域求解（占比30%）、分段函数应用（占比25%）等常考题型，构建知识网络与解题框架。 课件亮点在于“知识梳理+题型突破+素养提升”的备考路径，如针对分段函数求值与不等式问题，采用分类讨论结合数形结合的方法，培养学生数学思维与运算能力。设置易错点警示（如复合函数定义域混淆）和高考真题变式训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

　函数的概念及其表示 非空 唯一 定义域 值域 定义域 值域 C C BD (－∞，－2]∪[0，10] C D D C D A C BC (－1，＋∞) (0，＋∞) BCD [知识梳理] 1．函数的定义 一般地，设A，B是 的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ． (2)函数的三要素： 、 和对应关系． (3)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 3．常用函数的表示方法 (1)解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； (2)列表法：就是列出表格表示两个变量之间的函数关系； (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 5．求复合函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． [热身训练] 1．下列图象中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象的是( ). 　　　　 　　　　 2．函数f(x)＝＋的定义域为( ). A．[0，2) B．(2，＋∞) C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 3．(多选)下面各组函数中是同一函数的是( ). A．y＝与y＝x B．y＝与y＝|x| C．y＝·与y＝ D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 4．函数f＝，则函数f(x)的解析式是 ． f(x)＝(x≠0，且x≠－1) 5．(易错题)设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 ． 【解析】因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]. 题型1　求函数的定义域 【例1】(1)函数y＝＋的定义域是( ). A．[－1，0)∪(0，1)　　　 B．[－1，0)∪(0，1] C．(－1，0)∪(0，1)　　　 D．(－1，0)∪(0，1] (2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】由题意知ax2－4ax＋2>0的解集为R.当a＝0时，2>0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0<a<.综上，实数a的取值范围是. (3)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是( ). A．[－2，5]　　　 B．(－2，3] C．[－1，3]　　　 D．(－2，5] 【解析】因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].要使y＝有意义，则需要解得－2<x≤5，所以y＝的定义域是(－2，5]. (1)求具体函数的定义域的策略 已知函数的解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数的解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． (2)求具体函数的定义域的注意点 ①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化． ②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． (3)已知函数的定义域求参数的值或取值范围的解题步骤 ①根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题． ②根据方程或不等式的解集情况确定参数的值或取值范围． (4)求抽象函数的定义域的策略 ①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围，进而确定f(g(x))的定义域． ②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，进而确定f(x)的定义域． 【变式】(1)函数f＝的定义域为( ). A．　　　 B．(2，＋∞) C．∪(2，＋∞)　　　 D．∪[2，＋∞) 【解析】由已知得(log2x)2－1>0，即log2x>1＝log22或log2x<－1＝log2，解得x>2或0<x<，所以f(x)的定义域为∪(2，＋∞). (2)已知函数y＝f(2x)的定义域是[－1，1]，则函数f(log3x)的定义域是( ). A．[－1，1]　　　 B． C．[1，3]　　　 D．[，9] 【解析】由题意，当x∈[－1，1]时，≤2x≤2，所以≤log3x≤2，解得≤x≤9. 题型2　求函数的解析式 【例2】(1)已知f ＝lg x，求f (x)； (2)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x). (3)已知f (x)＋2f (－x)＝3x2－x，求f (x). 【解析】(1)(换元法)令＋1＝t(t>1)，则x＝，所以f (t)＝lg ，所以f (x)＝lg (x>1). (2)(待定系数法)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则3f (x＋1)－2f (x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f (x)＝2x＋7. (3)(解方程组法)由f (x)＋2f (－x)＝3x2－x，得f (－x)＋2f (x)＝3x2＋x， 由解得f (x)＝x2＋x. 求函数解析式的4种方法 【变式】(1)已知f (1－sin x)＝cos2x，则f (x)的解析式为( ). A．f (x)＝2x－x2(x∈[0，2]) B．f (x)＝2x－x2(x∈[0，1]) C．f (x)＝x2＋2x(x∈[0，2]) D．f (x)＝x2＋2x(x∈[0，1]) 【解析】设1－sin x＝t，则t∈[0，2]，sin x＝1－t，因为f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，所以f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝2f (x).若当0≤x≤1时，f (x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f (x)＝ ． －x(x＋1) 【解析】因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f (x)＝f (x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1).故当－1≤x≤0时，f (x)＝－x(x＋1). 题型3　分段函数 【例3】(1)已知函数f (x)＝则f ＝( ). A．－16ln 2　　　 B．16ln 2 C．－8ln 2　　　 D．－32ln 2 【解析】由题意可知f ＝2f ＝4f ＝8f ＝－8ln 2. (2)(多选)已知函数f (x)＝则下列说法正确的有( ). A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为(－∞，4] C．若f (x)＝2，则x的值是－ D．f (x)<1的解集为(－1，1) 【解析】函数f (x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x<1时，f (x)＝x2，f (x)的值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2，f (x)的值域为(－∞，1].综上，f (x)的值域为(－∞，4]，故 B正确；当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解；当－2≤x<1时，令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x<1时，令f (x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)；当x≥1时，令f (x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞).综上，f (x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． (1)“分段函数——分段看”，根据自变量的取值范围选择合适的解析式代入求值 ①求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，最后代入检验． (2)分段函数与方程、不等式问题的解题思路 ①分类讨论，先在分段函数每一段上分别求解，并与该段自变量的取值范围取交集，最后将各段的结果取并集． ②若分段函数每一段的解析式便于作出相应图形，则作出分段函数的图象，通过数形结合求解． (3)当分段函数的分段点含有参数时，分段函数的间断点是随着参数的变化而变化的，其动态模型不易建立，解决此类问题的一般方法是先不考虑分段点，将各段函数的完整图象绘制在同一个坐标系中，再取一些特殊的参数值作为分段点来辅助分析，数形结合解决问题． 【变式】(1)若函数f (x)＝的值域为R，则实数m的取值范围为 ． 【解析】当x＜－2时，f (x)＝∈(4，＋∞).因为函数f (x)的值域为R，所以当x≥－2时，f (x)＝mx＋2的值域应包含(－∞，4]，所以m＜0且f (－2)＝－2m＋2≥4，解得m≤－1. (2)(2025·河北廊坊部分重点高中调研)已知函数f (x)＝则满足f (x－1)<f (2x)的x的取值范围是 ． 【解析】画出函数f (x)的图象，如答图2.1­1，由图可知，要满足f (x－1)<f (2x)，只需解得x>0，故x的取值范围是(0，＋∞). 答图2.1­1 函数的新定义问题 (1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解． (2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答． (3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题． (4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的． 【例题】(2025·湖南娄底联考)设f (x)的定义域为Df ，若对于任意的x1∈Df ，存在唯一的x2∈Df ，使得f (x1)f (x2)＝1，则称f (x)在定义域上是“可逆函数”．设f (x)＝，g(x)＝x＋，判断f (x)，g(x)是不是“可逆函数”，并说明理由． 【解析】关于函数f (x)＝，其定义域为Df ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于任意的x1∈Df ，设f (x1)＝，由f (x1)f (x2)＝1，得x2＝，因为对于任意x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，x2＝∈(－∞，0)∪(0，＋∞)且唯一，所以f (x)＝是“可逆函数”；关于g(x)＝x＋，其定义域为Df ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，令x1＝1，则g(x1)＝1＋1＝2，由g(x1)g(x2)＝1，即2g(x2)＝1，得g(x2)＝，那么x2＋＝，即2x－x2＋2＝0，其判别式Δ＝(－1)2－4×2×2＝1－16＝－15<0，方程无解，所以g(x)＝x＋不是“可逆函数”． 解决新定义函数问题的关键是紧扣新定义函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化． 【变式】(多选)设函数f (x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f (y)＝－f (x)成立，则称f (x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的有( ). A．f (x)＝x2　　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ln (2x＋3)　　　 D．f (x)＝2x＋3 【解析】函数f (x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f (y)＝－f (x)成立，所以函数f (x)的值域关于原点对称．对于选项A，函数f (x)＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意；对于选项B，函数f (x)＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；对于选项C，函数f (x)＝ln (2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；对于选项D，函数f (x)＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合题意． $