专题06分式压轴题型专项训练(18大题型+压轴题型精析)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 18类分式高频压轴题型，典例精讲+梯度专练，覆盖概念、运算、方程及应用，附思路分析与详解，系统性强 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|题型01-02|分式有意义与值为零综合判断、值正负判定|从分式定义到性质应用，构建概念理解逻辑链| |运算技巧|题型03-06|混合运算、整体代入求值、裂项相消|从基础运算到技巧性化简，培养运算能力与推理意识| |方程综合|题型07-12|参数分类讨论、增根与无解分析、与不等式综合|从方程求解到参数探究，发展逻辑推理与模型意识| |实际应用|题型13-18|工程、行程、利润等问题建模|从数学抽象到实际问题解决，提升应用意识与数据观念|

专题06分式压轴题型专项训练 【温馨提示】18大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.分式有意义与值为零的综合判断 题型02.分式值正负判定题型 题型03.分式混合运算综合题 题型04.分式化简整体代入求值 题型05.分式值为整数求解问题 题型06.分式裂项相消计算题 题型07.分式规律探究题 题型08.分式新定义运算题 题型09.分式方程增根求参数 题型10.分式方程无解分类讨论 题型11.分式方程解的情况求参数 题型12.分式方程与不等式综合 题型13.分式方程工程问题 题型14.分式方程行程问题 题型15.分式方程销售利润问题 题型16.分式方程方案选择问题 题型17.分式方程经济问题 题型18.分式方程和差倍分问题 题型01.分式有意义与值为零的综合判断 【典例】若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________． 【答案】 2 或2/2或 2 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及分式值为零的条件，两个整式乘积为0的条件，根据分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．以及两个整式乘积为0的条件一一计算即可． 【详解】解：若的值为0，即，即． 若代数式的值为0，则或，解得：或． 若代数式的值为0，则或，又使得分式有意义即，故只有当时，代数式的值为0， 故答案为：2；2或；2 【跟踪专练1】已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 【跟踪专练2】下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得，且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 题型02.分式值正负判定题型 【典例】若分式的值为正数，则x的取值范围为________． 【答案】或 【分析】此题考查分式的值、解不等式组等知识，根据分式的值为正数得到或，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可知：或， 解得，或， 故本题答案为：或． 【跟踪专练1】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 【跟踪专练2】已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 题型03.分式混合运算综合题 【典例】化简，． 【答案】 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解：原式 【跟踪专练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【跟踪专练2】（1）计算：． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的方法是解题的关键； （1）先计算原式的倒数，求得最后结果再取倒数即可； （2）对已知式子取倒数后计算得出的值，对的值再取倒数即可求解． 【详解】解：（1）原式的倒数为 ， ． （2）， ， ， ． 题型04.分式化简整体代入求值 【典例】先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】注意分式有意义的条件是分母不为0，故且，故只能选3代入求值． 【详解】解：原式 由，知且且，故取，代入得原式的值为 ． 【跟踪专练1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法运算，约分后再通分化简原式，代入已知值计算即可得解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【跟踪专练2】先化简，再求值：，其中x是从，0，2，4四个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： 当时，原式无意义， 故时，原式． 题型05.分式值为整数求解问题 【典例】若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的运算与化简，掌握分式的化简及求整数的方法是解题的关键． 【详解】解：， 当原式的值是整数时，或， 即：或或或． 又： 即． 故：或或共3个整数值． 故答案为：． 【跟踪专练1】能使分式的值为整数的整数的值有_____个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数的个数．需要注意原分式在时无定义，需排除该情况． 【详解】解：整理得： （）. 设 （ 为整数）， 则 ， ∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数， ∴ 为 2 的约数，即 . 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，. 所有 均满足 ， ∴ 整数 的值有 4 个. 【跟踪专练2】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 题型06.分式裂项相消计算题 【典例】观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 【答案】 【分析】观察已知等式中分母的奇数规律与分式拆分形式，推导第个等式的表达式 【详解】解：第1个等式的分母为，拆分形式为； 第2个等式的分母为，拆分形式为； 第3个等式的分母为，拆分形式为； 以此类推，第个等式的分母为，拆分后为，即（为正整数）． 【跟踪专练1】已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为________． 【答案】 【分析】先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， …， ∴的值每6个一循环， ∵ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键． 【跟踪专练2】观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； （2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 题型07.分式规律探究题 【典例】观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为__________． 【答案】 【分析】本题主考查分式的定义、分式的规律等知识点，发现分式的分子、分母的指数的规律是解题的关键． 分别找出分子指数规律和分母指数规律，再运用规律即可解答． 【详解】解：∵ ∴分母是以a为底数，指数为1，2，3，……，n；分子是以b为底数，指数为2，4，6，……，， ∴第8个式子为 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（    ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的规律性问题； ①根据题意求出，再根据和之间的关系求和即可；②根据题意求出，表示出，然后计算时的值即可；③根据得出，移项得，求出的最值，即可得到m的取值范围． 【详解】解：①由题意得：，，，…， ∴， ∴， ∴，正确； ②由题意得：， ， ，…， ∴， ∴ ， ∴当时，，错误； ③∵，恒成立， ∴恒成立，即， ∵， ∴，正确； 综上，正确的有2个， 故选：C． 【跟踪专练2】观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①x右下角的角码是第一个幂分母的底数，角码加上1就是第二个幂分母的底数，结果是常数1加上角码与相邻较大的整数积的倒数，找到规律，计算即可． ②角码为n，相邻整数n+1，规律一般化即可． （2）通分，运用完全平方公式计算即可． （3）根据计算后，两边分别求和计算即可． 【详解】（1）①； 故答案为：． ②， 故答案为：． （2）证明：左边 右边． （3）由题意可知，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了等式中规律问题，正确发现恒等式中的规律是解题的关键． 题型08.分式新定义运算题 【典例】定义新运算“”：，如果，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新运算的定义，将方程 转化为分式方程求解，并检验分母是否为零即可． 【详解】解：由题意，． 解得 ． 检验：当 时，分母 ，符合要求． 故答案为：． 【跟踪专练1】定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 【跟踪专练2】若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①由，可判断①； ②把化简得，然后根据为整数，为整数，可判断②； ③由得，然后把变形，可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴ ， ∴的最小值为，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∵为整数，为整数， ∴，，，，，，，， ∴，，，，，，，， ∵， ∴，，，，，，共个，故结论②正确； ③∵，，， ∴，即， ∴，即， ∴ ， 故结论③错误． 综上所述，正确结论为①和②，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，完全平方公式，分式的化简求值等知识点，掌握相应的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练3】新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 题型09.分式方程增根求参数 【典例】若关于的方程有增根，则的值为_______． 【答案】4或8 【分析】本题考查解分式方程，理解分式方程的增根意义是解答的关键． 先确定分式方程的增根为使分母为零的x值，即或；然后去分母得到整式方程，代入增根求解k的值 【详解】解：去分母，两边同乘，得， 化简得，即， ∵方程的分母为，，，其中， 故分母为零时，或，即为可能增根， 若增根为，则，解得； 若增根为，则，解得， 故k的值为4或8， 故答案为：4或8． 【跟踪专练1】关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 【跟踪专练2】关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．0 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解. 【详解】解：增根是使分母为0的根，即． 去分母，得， 代入，得． 故选：B． 题型10.分式方程无解分类讨论 【典例】若关于的分式方程无解，则的值为____________． 【答案】1或或 【分析】分式方程无解的情况包括整式方程的解为增根，即使最简公分母为零．因此，先将分式方程化为整式方程，再令增根代入求解． 【详解】解：原方程化为： ， ：两边同乘最简公分母 ，得 ， 整理得 ：，即 ， 解得：． 方程无解时，整式方程的解为增根，即 或 ． 当 时，代入得 ，解得 ， 或 ； 当 时，代入得 ，解得 ，． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解决本题的关键是理解分式方程无解的含义． 【跟踪专练1】若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】或22或 【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，转换为整式方程，解方程即可． 【详解】解： ， 去分母，得， 整理，得， 当时，原方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，方程无解，也符合题意． 故答案为：或22或． 【跟踪专练2】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． （2）解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 题型11.分式方程解的情况求参数 【典例】关于的分式方程有增根，则__________． 【答案】 1 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， ∵分式方程有增根， ∴增根满足，解得， 原方程两边同乘去分母，得 ，即， 将增根代入整式方程，得 ，解得． 【跟踪专练1】关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 【跟踪专练2】关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程，得， 去分母得， 整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （3）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且， ∴且． 题型12.分式方程与不等式综合 【典例】关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，先解一元一次不等式组，可得到该不等式组的解集为，结合不等式组有解且至多有个整数解，可得，将分式方程变形得到，结合，可得，结合分式方程有整数解，可得或． 【详解】解： 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 因为该不等式组有解且至多有个整数解， 所以． 解不等式组，得 ． 将变形，得 ． 当时， ． 根据题意可知 ，即，可得 ，即． 因为分式方程有整数解， 所以或． 所以或或或． 因为且， 所以或或． 所以满足条件的所有整数的和是． 【跟踪专练1】若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 【答案】24 【分析】先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个偶数解， ∴这两个偶数解为，0， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a为整数， ∴或5或7或8， 则． 【跟踪专练2】若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的积为（　　） A． B．3 C． D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查解不等式组和解分式方程，解题的关键是注意分式方程的增根．先解不等式组，根据不等式组有解且至多3个整数解得到m的取值范围，再解分式方程，结合分式方程有整数解且分母不为0，找出符合条件的整数m，计算它们的积即可． 【详解】解：解不等式组 解①得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴，解得， 解分式方程， 方程两边同乘得 ， 整理得 ， 当时，方程无解，不符合题意， 当时，， ∵分式方程分母不为0， ∴，即，得， ∵方程有整数解，m为整数， ∴是3的因数，即， 解得，排除，符合的整数m为， 它们的积为， 故选∶A． 【跟踪专练3】若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程，得到，根据方程的解不小于2，得到，由分式有意义的条件，得到，即，从而可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得，， ∵方程的解不小于2， 且， 解得且． .题型13.分式方程工程问题 【典例】现有形状、大小、库存货物完全相同的，两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时，乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时．现由乙先与甲合作搬运仓库，同时丙在独立搬运仓库，小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息小时立即到仓库和丙一起搬运，若搬运完，两个仓库各用了小时，则___________． 【答案】 【分析】可设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，根据等量关系：甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时；乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时；搬运完、两个仓库各用了小时；列出方程组求解即可． 【详解】解：设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，依题意有 ①③得⑤， ②④得⑥， 联立⑤⑥得， 经检验得，n，y的值是原方程组的解， ∴n的值为6. 故答案为：6． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． (1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ (2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 【答案】(1)甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼 (2)甲至少要销售7小时 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【详解】（1）解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． （2）解：设甲销售小时，则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 【跟踪专练2】为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 题型14.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题． 【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（）最大为， ①正确， 由图知乙到B地时，甲到B地时，（）， ②正确， 乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进． 设乙从A地刚出发时的速度为，则停留后的速度为， 由图知乙在中途停留前已走，则停留后行驶路程为（），总的行驶时间为（）， 有，解得， 乙从A地刚出发时的速度为（）， ③正确， 根据图象可知，甲的速度为 乙在途中停留后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为 乙的第二个拐点时间为（）， 由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间， 设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得： 解得 故第三次相遇为乙出发后 ④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【跟踪专练1】高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【答案】高铁的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：高铁的平均速度为． 【跟踪专练2】“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 题型15.分式方程销售利润问题 【典例】某商品的标价比成本价高，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为，若用m表示n，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意得到，把成本价看做单位1，根据题意列出方程，然后用m表示n即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程，并正确解方程是解题关键，注意列方程时把成本价看做单位1，解方程时把m看做已知数． 【跟踪专练1】某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第一次每个书包的进价是多少元？ 【答案】第一次书包的进价是50元 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一次每个书包的进价是元，根据某商店第一次用3000元购进某款书包的数量比第二次用2400元购进该款书包多20个可列方程求解，正确列出等量关系是解题的关键 【详解】解：设第一次每个书包的进价是元， ． 经检验得出是原方程的解，且符合题意， 答：第一次书包的进价是50元． 【跟踪专练2】2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 题型16.分式方程方案选择问题 【典例】某厂家生产，两种智能分拣设备，已知设备分拣1500件快件所用的时间与设备分拣1800件快件所用的时间相同，且设备每小时比设备少分拣100件快件． (1)求设备每小时分拣多少件快件？ (2)一公司现需从该厂家购进，设备若干，由于费用限制要求设备比设备多购进2个，若购进的这批设备1小时至少需要共同完成10900件快件的分拣任务，那么至少要购进多少个设备？ 【答案】(1)设备每小时分拣500件快件 (2)至少要购进个设备 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设设备每小时分拣件快件，则设备每小时分拣件快件， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解． 答：设备每小时分拣500件快件． （2）解：设购进设备个，则购进设备个， 由题意得，， 解得，． 答：至少要购进个设备． 【跟踪专练1】播州区苟坝会议会址是红色旅游热门景点，为提升游客体验，景区引入了两种电动观光车接驳游客．某兴趣小组以此为契机，开展了以“景区观光车运行与采购方案设计”为主题的项目式学习． 素材 A型观光车比B型观光车平均每小时少行驶4千米．A型观光车从景区入口到陈列馆行驶6千米的时间与B型观光车从景区入口到会议旧址行驶7.2千米的时间相同． 问题解决 任务1 （1）求两种观光车的速度． 任务2 （2）若景区计划采购观光车共15辆，A型每辆8万元，B型每辆10万元．若15辆车都在行驶的情况下，1小时行驶总路程不少于310千米，应如何采购才能使总费用最低？ 【答案】（1）A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时 （2）采购A型观光车辆，B型观光车辆才能使总费用最低 【分析】本题主要考查分式方程及不等式的应用，根据题意，准确找出关系是解题的关键． （1）设A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时，则，再解方程即可； （2）设采购A型观光车辆，B型观光车辆，则，，再代入解不等式即可得到，结合观光车的费用即可求解． 【详解】解：设A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时， ，整理得， 即，解得， 答：A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时； （2）解：设采购A型观光车辆，B型观光车辆， ，且， ，解得， 又观光车的费用， 所以应尽量多采购A型观光车才能使费用更低， 故时，费用最低， 答：采购A型观光车辆，B型观光车辆才能使总费用最低． 【跟踪专练2】根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 题型17.分式方程经济问题 【典例】某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 【跟踪专练1】米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 【答案】(1)A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)10袋 【分析】（1）设A种包装的米脂小米进价是x元/袋，根据“用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同”列分式方程求解即可； （2）设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋，根据“购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种包装的米脂小米进价是x元/袋， 根据题意可得， 解得， 经检验：时，，故是原方程的解． ∴， 答：A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋； （2）解：设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋， 根据题意可得， 解得， 答：该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米10袋． 【跟踪专练2】某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元 (2)最省钱的购进方案为购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元 【分析】（1）根据A、B单价的倍数关系设未知数，结合购买数量的差列分式方程，求解后检验即可得到单价； （2）先根据A种收纳箱数量的限制条件求出的取值范围，再根据优惠政策得到总费用关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应方案． 【详解】（1）解：设B种收纳箱的单价为元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得 化简得 ，即 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意.， 则 答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； （2）解：由题意得，购进A种收纳箱个，则购进B种收纳箱个， 根据题意得 解不等式①得：， 解不等式②得： ∵为正整数， ∴， ∵ ， ∴每个A种收纳箱售价为 元，B种收纳箱售价不变为40元， 总费用 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，最小， 此时 ， （元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元． 题型18.分式方程和差倍分问题 【典例】莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列出分式方程，解分式方程即可得出答案． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴改良前的平均亩产量为， 故答案为：． 【跟踪专练1】某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 【答案】(1)款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元 (2)最少购进33个款文件袋 【分析】（1）先设款文件袋的单价为元，再根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）先设购进款文件袋个，再根据题意列出不等式，最后解不等式，并结合为整数解答即可． 【详解】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元． （2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个， 由题意得，， 解得，， 又为整数， 的最小值为． 答：最少购进33个款文件袋． 【跟踪专练2】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题06分式压轴题型专项训川练 【温馨提示】18大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲+梯度跟踪专练。 所有题目附标准答案+思路分析+步骤详解，无基础题，学生提分、教师备 课直接用，可编辑打印。 题型01.分式有意义与值为零的综合判断 题型02.分式值正负判定题型 题型03.分式混合运算综合题 题型04.分式化简整体代入求值 题型05.分式值为整数求解问题 题型06.分式裂项相消计算题 题型07.分式规律探究题 题型08.分式新定义运算题 题型09.分式方程增根求参数 题型10.分式方程无解分类讨论 题型11.分式方程解的情况求参数 题型12分式方程与不等式综合 题型13.分式方程工程问题 题型14.分式方程行程问题 题型15.分式方程销售利润问题 题型16.分式方程方案选择问题 题型17.分式方程经济问题 题型18.分式方程和差倍分问题 轴 题型01.分式有意义与值为零的综合判断 【奥例】若代数式-2的值为0，则x= 若代数式(x-2)(x+)的值为0，则 尤+1 x= :若代数式-2x+的值为0，则x= x+1 【跟踪专练1】已知分式+2口，当x=1时，分式没有意义；当x=6时，分式的值为零.则 4x-b' a2-b2的值为 【型除专然2】下列结论：@无论为何实数：。都有省意义：@当。=-时、分式的 值为0：③若+1的值为负，则x的取值范围是x<1:④若+：÷+1 有意义，则x的 x-1 x+2 x 试卷第1页，共3页 取值范围是x≠-2且x≠0.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型02.分式值正负判定题型 【奥例】若分式2行 的值为正数，则x的取值范围为 1+c1 【跟踪专练1】由 3+c3 值的正负可以比较4=+C与的大小，下列正确的是() 3+C A.当e=-3时，A= 3 B.当c=0时，A+方 C.当c<-3时，A> 3 D.当c<0时，A< 3 【跟踪专练2】已知分式2x+b (a,b为常数)满足表格中的信息. x-a x的取值 1 -2 分式的值 无意义 0 (1)a=-,b=- (2)求出c的值： (③)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围. 题型03.分式混合运算综合题 【典例】化简， a-1 a-2 2a2-a a a+1 a2+2a+1 【跟踪专练1】计算： a2-4a+4 2+2a 【跟踪专练2】(1)计算： x+3 x+3,x2+3x 2-4x+2x-2 (2)若 =2025,求1 的值 a+2025 a+2026 题型04.分式化简整体代入求值 试卷第1页，共3页 【典例】先化简： x2-2x+1 4 然后从-3,0,3中选一个合适的数作为x的值代 x2+3x ÷1- x+3 入求值 【跟踪专练1】先化简，再求值： a+2 .a+2a a-2a+1*a2-1a-'其中a=1+5. 【跟踪专练2】先化简，再求值： 〔生24共地从1024四个 数中选一个合适的数代入求值， 题型05.分式值为整数求解问题 【典例】若整数x使式子3x。(x- 的值为整数，则满足条件的x的值有个 x-3'(x+1)(x-3) 2x2-4x+2 【跟踪专练1】能使分式 （x-13 的值为整数的整数x的值有个() A.5 B.4 C.3 D.2 【跟踪专练2】已知当x=-2时，分式-b无意义：当x=1时，此分式的值为0. x+a (1)求a,b的值. (2)当分式a的值为正整数时，直接写出整数x的值， 题型06.分式裂项相消计算题 11、 x1-: 【典例】观察下列等式：第1个等式41x32×1):第2个等式 1 111 a,=3x5235 第3个式：=7》 第4个等式 1 111 a4= 7×92(79》 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：an== (n为正整数). 【跟踪专练1】已知a>0,S=。5,=-S-15,=5,=-5,-5,.即当为于1的 1 1 1 奇数时，5：当为大于1的偶数时，5.=-1.计算S+5,+8++5m:的结 果为 【跟踪专练2】观察下列各式： 试卷第1页，共3页 a1这 1 (求1+1 1 1 +…+ `1×22×3"3×4 2023×2024的值。 1,11 1 (2)化简1×2+2x33×4 nn+1·其中n≥l,且n为整数. …+ 题型07.分式规律探究题 【典例】观察式子： b2 b4 b6 b8 a aa'a …根据你发现的规律知，第8个式子为 【跟踪专练1】一列数M1,M2,M3,Mn+2满足M1=m,M2=M1-3,M3=M2-3,. 1 1 1 1 以此类推，且规定：X=M,NM,MN店=MM·N.-M.,其中 m为正整数，则以下说法中正确的有() ①M1+M2+M3+…+M2=12m-198 ②当m=10时，N+N,+N,+…+N=-} 8 ③若M,<n2+n+6恒成立，则m<-1 A.0 B.1 C.2 D.3 113 跟踪专练2】观察下列等式：x中市221+ 1+ 1x2 117 x=1+2+6 =1+- 2x3 .1,113 1 =1+3+=12 1+ 3×49 … ()【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①x= —=·(不填中间式子) ②xn= =·(不填中间式子) (②)【论证猜想】请证明②这个等式， (3)【拓展运用】根据以上规律，求x+x2+x3+…+x2020-2021的值. 试卷第1页，共3页 题型08.分式新定义运算题 【典例】定义新运算“⑧”：a⑧b= -1，如果3⑧x=4,那么x的值为 -b 11 【跟踪专练1】定义：我们将能使方程二+二=k成立的数对(x,y)称为“k的倒立数对”.例如： x y 当x=2,y=2时， 11 二+。=1成立，则(2,2)是“1的倒立数对”. 22 若m,n是“1的倒立数对”，且a=b+m,b=c+n,当分式 2(a-b)(b-c) (a-c2 的值为整数时， 符合条件的m+n的整数值有() A.1个 B.2个 C.3个 D.6个 【跟踪专练2】若定义三个函数分别为：G到=2-9x,F(x到=2x-3x-2,T=-2 下列结论：①Fx-G(y的最小值为-1，②若G)T因为整数，则满足条件的整数x的 x-3 Fx x2 个数为7个；③当 T(x) e2时，4+72+48其中正确的个数是（》 A.0 B.1 C.2 D.3 【跟踪专练3】新定义：如果两个实数a(a≠0)、b使得关于x的分式方程a-1=b的解是 x=1成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,]称为关于x的分式方程-1=b的 atb 一个“友好数对” 例如：4=2,6=-3使得关于x的分式方程21=-3的解是x=2+-3 =1成立，所以数 对2，-3引就是关于x的分式方程-1=b的一个“友好数对. ()判断下列数对是否为关于x的分式方程“-1=b的“友好数对”，若是，请在括号内打“.若 不是，打“×”. ①[2,1(_)；②[3，-4]（_). (2)请判断数对[m,n-3]是否有可能是关于x的分式方程-1=b的“友好数对”，如果可能， 请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由. (3)若数对[-4，km]k<-3,n≠0)，是关于x的分式方程-1=b的友好数对”， 试卷第1页，共3页 M=- +1n+2N 2k+3n+3,试比较M、N的大小 1 题型09.分式方程增根求参数 【典例】若关于x的方程2-1=大 +2x-24产有增根，则飞的值为 【跟踪专练1】关于x的方程m-x+1 =0有增根，则m的值是() x-1x-1 A.3 B.2 C.1 D.-1 【跟踪专练2】关于x的分式方程3 ,+1三”有增根，则m的值为(》 x-1 A.1 B.3 C.4 D.0 题型10.分式方程无解分类讨论 【典例】若关于的分式方程53=m++6无解，则m的值为 十一 x-1x+1x2-1x2-1 【限除专练】若关于：的方程，之。%无报，则和的的为 6x+3k 【跟踪专练2】若关于x的分式方程 -】xx-可无解，则k的值为() A.-3 B.-3或-5 C.1或-3 D.1或一5 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程： 2 3x-16x-21 (1)当m=6时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值。 题型11.分式方程解的情况求参数 【奥例】关于的分式方程号2一有塔根，则m= 【跟踪专练1】关于x的分式方程-2+6，=-3的解为正数，且关于x的不等式组 4-xx-4 x>1 a+x. 7有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为() 2 -≥X 2 A.14 B.16 C.18 D.21 【跟踪专练2】关于x的分式方程0-X-3 =5 x-11-x (1)当a=3时，求此时方程的解： 试卷第1页，共3页 (2)若此方程有增根，求a的值： (3)若此方程的解为正数，求©的取值范围. 题型12.分式方程与不等式综合 [1-+≤1 【典例】关于x的不等式组 2 3 有解且至多有5个整数解，关于x的方程 x< 2-mx2 -1有整数解，则满足条件的所有整数m的和是 1-xx-1 4x+1>3(x-1 【跟踪专练1】若关于x的不等式组 3x+a 有解且仅有两个偶数解，且关于y的分 ≤2-x 式方程0-8 y-2 2= 2-y 的解为非负数，则满足条件的所有整数☑的值的和为 2-x 2+x 【跟踪专练2】若数m使关于x的不等式组 3 有解且至多有3个整数解，且使关 x< 3 于x的分式方程m-2+,3=2有整数解，则满足条件的所有整数m的积为《) x-11-x A.-3 B.3 C.-15 D.15 【跟踪专练3】若关于x的分式方程x。=m+2的解不小于2，求m的取值范围。 x-3x-3 题型13.分式方程工程问题 【典例】现有形状、大小、库存货物完全相同的A,B两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运 完A仓库需要20小时，乙、丙两人合作搬运完B仓库需要24小时.现由乙先与甲合作搬运 A仓库，同时丙在独立搬运B仓库，小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息1.5小时立即 到B仓库和丙一起搬运，若搬运完A,B两个仓库各用了27小时，则”= 【跟踪专练1】列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春 节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼.己知乙每小时售出的数量是甲 每小时售出数量的1.5倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时. (1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ (2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出 试卷第1页，共3页 450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 【跟踪专练2】为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改 造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多 D0平方米，甲队单独完成全部在务所需甜间是乙队的 (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)己知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干 天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任 务总共需要施工费用多少元？ 题型14.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以 不同的速度匀速前行乙比甲晚0.5出发，并且在中途停留1h后，按原来速度的一半继续前 进.此过程中，甲、乙两人离A地的路程s(km)与甲出发的时间t（h)之间的关系如图， 下列说法：①A,B两地相距24km;②甲比乙晚到B地1h;③乙从A地刚出发时的速度为 72张mh,④乙出发h与甲第三次相遇.其中正确的有() 14 个s(km) 24 ---.甲 -乙 3 00.51 3t) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练1】高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，己经成为人们出行的重要方式之一.某 地去北京南站原来只有动车，动车路程为810km,高铁开通后，路程缩短了90km,且高铁 的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了1.5h。求高铁的平均速度. 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2歼-10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代 战斗机.宋文骢生于云南省昆明市，是“歼-10”战机的总设计师，被誉为中国“歼-10之父”， 阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和萨博JAS-39”并驾齐驱，被誉为战机 界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼-10”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的 1.2倍，己知A地与B地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地， 歼-10”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼-10”战机 的速度是每小时多少公里？ 题型15.分式方程销售利润问题 【典例】某商品的标价比成本价高m%,当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多 为n%,若用m表示n,则n= 【跟踪专练1】某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进 该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第 次每个书包的进价是多少元？ 【跟踪专练2】2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印 机产品.上半年，该公司A,B两款打印机的墨盒销量表现突出.己知用400毫升墨水量可 灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整 数次)，且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水. (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水： (2)己知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数 价与售价知下表所示，若所有打印机全部售出，。 为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 试卷第1页，共3页 售价（元） 1400 2300 09 题型16.分式方程方案选择问题 【典例】某厂家生产A,B两种智能分拣设备，已知A设备分拣1500件快件所用的时间与B 设备分拣1800件快件所用的时间相同，且A设备每小时比B设备少分拣100件快件。 (1)求A设备每小时分拣多少件快件？ (2)一公司现需从该厂家购进A,B设备若干，由于费用限制要求A设备比B设备多购进2 个，若购进的这批设备1小时至少需要共同完成10900件快件的分拣任务，那么至少要购进 多少个B设备？ 【跟踪专练1】播州区苟坝会议会址是红色旅游热门景点，为提升游客体验，景区引入了两 种电动观光车接驳游客.某兴趣小组以此为契机，开展了以“景区观光车运行与采购方案设 计”为主题的项目式学习 A型观光车比B型观光 车平均每小时少行驶4 千米.A型观光车从景 区入口到陈列馆行驶6 素材 千米的时间与B型观 光车从景区入口到会 议旧址行驶7.2千米的 时间相同。 问题解决 任务1 (1)求两种观光车的速度， (2)若景区计划采购观光车共15辆，A型每辆 8万元，B型每辆10万元.若15辆车都在行驶 任务2 的情况下，1小时行驶总路程不少于310千米， 应如何采购才能使总费用最低？ 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】根据素材，完成任务 如何设计雪花模型材料采购方案？ 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作.每款雪花模型都需要用到长、短两 素 种管子材料.某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙 材 雪花模型.已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1： 9 1. 短管子售价：m元/根，长管 子售价：2m元/根 素 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费 2.6月起，购买3根长管子赠 材 320元向该商店购得的长管子数量比花200元购 送1根短管子. 二 得的短管子数量少80根. 3. 本店库存数量有限，长管子 仅剩267根，短管子仅剩2130 根，先到先得割 素 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制 材 作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完. 三 问题解决 任 求制作一个甲、乙款雪花模型分 务 分析雪花模型结构 别需要长、短管子多少根？ 一 任 务 确定采购费用 试求m的值. 二 任 求出所有满足条件的采购方 务 拟定采购方案 案。 三 试卷第1页，共3页 题型17.分式方程经济问题 【典例】某学校为有效地落实和推行“双减政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验 器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学 实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（) 64009600 A. B.800-6400-9600 800-x C. 64009600 D. 6400,9600 =800 800-xx x800-x 【跟踪专练1】米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效.某粮油超市计划购 进A,B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装 的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装 的米脂小米袋数相同， (1)求A,B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A,B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请 你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 【跟踪专练2】某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的号倍，用120元单独购进A种收纳 箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个 ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱 超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变.学校计划购进A、B两种 收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的弩又不超过B种收纳箱数 量的； (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (②)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为W元，请设计出最省钱的购进方案，并求出 最少费用 题型18.分式方程和差倍分问题 【典例】莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一·某莜麦标准化种植基地在改良前总产 量为12600kg,改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍， 试卷第1页，共3页 则改良前的平均亩产量为 kg 【跟踪专练1】某文具店计划购进A、B两种文件袋，购进A款共用960元，购进B款共用 1680元.B款数量是A款的1.5倍，B款的单价比A款贵4元. ()求A、B两款文件袋的单价： (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个A款文件袋. 【跟踪专练2】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米(a>1)的正方形去掉一个边长为 1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a-)米的正方形，两 块试验田的小麦都收获了300kg, c到 .(a-1)m am “丰收1号” “丰收2号” (1)①“丰收1号”单位面积产量为_kg/m2,“丰收2号”单位面积产量为_kg/m2(以上结果均 用含a的式子表示)； ②通过计算可知，一（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高： 40 (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多 kg/m2,求a的值： a-1)2 (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验 田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数)，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收 1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当a<8且a为整数时，符合条件 的n值为_（直接写出结果） 试卷第1页，共3页