精品解析：北京市第二中学2025-2026学年高二第五学段考试数学试卷

北京二中2025-2026学年度第五学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 得分：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合A中函数的定义域，可得，利用交集的定义即得解 【详解】由题意，集合，由交集的定义 故选：C 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即，， 故选：． 3. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：. 故选：D 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题. 4. 某社区举行“喜迎五一”书画作品比赛，参加比赛的老年人占，中年人占，小朋友占，经评审，评出一、二、三等奖作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品获奖的概率分别为0.6，0.2，0.1．现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为（ ） A. 0.21 B. 0.4 C. 0.42 D. 0.58 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件和独立事件的概率求解. 【详解】解： 现从所有作品中任取一件， 则取到获奖作品的概率为． 故选：C 5. 已知，且，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本不等式可比较A，B大小，作差判断正负可判断大小. 【详解】，即， ，， 故. 故选：B. 6. 已知p： q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件. 【详解】当时，，所以，所以充分性满足， 当时，取，此时不满足，所以必要性不满足， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 7. 设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得或，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解． 【详解】等比数列中，公比；由，所以，又，所以解得或； 若时，可得，可得的值为，可知数列单调递增，且各项均大于，所以不会存在使得的乘积最大(舍去)； 若时，可得，可得的值为，…， 可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数，前项均为正数且大于等于， 所以存在，使得的乘积最大，综上，可得的一个可能值是. 故选：A. 8. 已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上为减函数，函数g（x）＝x2－aln x在（1，2）上为增函数，则a的值等于 A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上为减函数，所以，即，函数g（x）＝x2－aln x在（1，2）上为增函数，即，当，即恒成立，即，所以同时满足两个条件的，故选． 考点：1．导数的基本应用；2．函数的性质． 9. 设，在上有3个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程分离参数并换元成，利用函数的图象与直线有三个公共点即可得解. 【详解】由得，而， 令，于是得， 令， 当时，，即在上单调递减， 当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，时，取得极大值， 作出函数在上的图象及直线，如图， 方程在上有3个根，当且仅当函数的图象与直线有三个公共点， 观察图象知，函数的图象与直线有三个公共点， 当且仅当，即， 所以实数的取值范围是. 故选：A 10. 我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（ ）位的数.(参考数据：) A. 18 B. 19 C. 62 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意个超导量子比特共有种叠加态，进而两边取以为底的对数化简整理即可得答案. 【详解】根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态， 所以当有62个超导量子比特共有种叠加态。 两边取以为底的对数得， 所以，由于， 故是一个19位的数. 故选：B 【点睛】本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得个超导量子比特共有种叠加态，进而根据对数运算求解. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11. 10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典概型的概率公式计算即可 【详解】解：根据题意，10张奖券有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券， 所以在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为， 故答案为： 12. 函数(）的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【详解】，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 13. 若，为自然对数的底数，则、、的大小关系是______．（用小于号“<”连接三个式子） 【答案】 【解析】 【分析】先令，利用导数法证得当时，.再令，利用导数法证得当时，，即可比较大小. 【详解】令，， 当时，， 故在上单调递增， 所以， 故当时，. 令，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 因为，所以. 14. 已知数列满足：，，若前2010项中恰好含有666项为0，则的值为___________. 【答案】8或9##9或8 【解析】 【分析】先利用x=1，2，3，4，5分析出在前2010项中含有0的项的个数的规律即可计算得解. 【详解】因数列满足：，，则： 当时，数列各项为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中恰好含有项为0， 当时，数列各项为：1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中， 由知，恰好含有669项为0， 当时，数列各项为：1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，…，在前2010项中， 由知，恰好含有669项为0， 当时，数列各项为：1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中， 由知，恰好含有668项为0， 当时，数列各项为：1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，…，在前2010项中， 由知，恰好含有668项为0， 由上述可得当或时，在前2010项中恰好含有667项为0，当或时，在前2010项中恰好含有666项为0， 所以的值为8或9. 故答案为：8或9 【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应的数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则. 其中，所有正确结论的序号为__________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解. 【详解】当时，， 当时，， 若，则当时，，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，， 则函数有最小值为满足题意； 若，则当时，，时，， 要使函数有最小值，则，解得； 综上，的取值范围是，①错误； 当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减， 作图如下， 因为无实根，所以或，②正确； 当时， 因为，所以函数在单调递减， 又因为所以由可得， ，即，解得，所以， 所以不等式的解集为，③正确； 函数在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，则由图象可知，时，， 设， 记直线与函数，，的交点的横坐标为， 因为经过点， 所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确； 故答案为:②③④. 【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键. 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可. （2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可. 【小问1详解】 由和余弦定理可得. 因为为的内角，所以，故， 由变形得，由正弦定理得. 【小问2详解】 选择条件①：， 由正弦定理得，解得， 因为为的内角，所以，故， 与相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①， 选择条件②：， 因为，，所以， 解得，由余弦定理得， 化简得，解得或（舍）， 所以. 选择条件③：， 因为，所以. 因为，所以， 由余弦定理得，化简得. 解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以. 17. 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55； 乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40． 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立． （1）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数． （2）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）人 （2）分布列见解析，期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本计算频率，再估计总体参加体检的职工人数； （2）以样本中的数据的频率作为概率，利用独立事件概率公式，求分布列和数学期望； （3）根据样本的关系，再结合方差的定义，即可比较大小. 【小问1详解】 乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人， 所以运动时长不足20小时的频率为， 所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为人； 【小问2详解】 甲单位职工户外运动时长不少于35小时概率为，乙单位职工户外运动时长不少于35小时的概率为， 由题意可知，， ，， ，， 分布列如下表 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 甲单位和乙单位的前9个数据的差值都是10，所以甲单位和乙单位前9个数据的方差相同， 甲单位比乙单位多一个数据55，这个数据与平均数的差值最大，所以使甲单位的波动变大，从而方差变大，所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面，原题即得证； （2）以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）证明平面，再利用向量法求平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 在中，∵，P为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. 【小问2详解】 在直角梯形中，∵，，P为中点， ∴，且，则四边形为平行四边形， ∵，∴，             由（1）可知，平面，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，，           设平面的一个法向量， 由，取，得， 所以为平面的一个法向量； 设直线与平面所成角为， 则． ∴直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 ∵，，，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， ∵M为的中点， ∴点M的坐标为，而，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，， 所以为平面的一个法向量．      ∴． ∴平面与平面的夹角余弦值为． 19. 已知函数，过点（）有条直线与函数的图象相切． （1）求函数的单调区间与极值； （2）若，求的值并求切线的方程； （3）当取最大值时，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 （2），切线方程为 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据求导法则求导数，判断单调性并求最值；（2）点在函数图象上，分为切点和不为切点两种情况求切线方程；（3）设切点为求切线方程，得到，讨论的单调性、极值，根据直线与的交点个数确定的最大值，求出的取值范围． 【小问1详解】 由，， 令，， ，，，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，点在函数图象上， 若点为切点，， 切线方程为，即； 若点不为切点，设切点为， 切线方程为， 所以， 整理得， 令， ， ，或，单调递增， ，，单调递减， 时取得极小值，，， 所以时，方程无解， 所以仅有条切线，，切线方程为. 【小问3详解】 设切点为， 切线方程为， 代入点，得， ， 令，， ，或，单调递减， ，，单调递增， 时取得极小值， 时取得极大值， ，，， ，， 直线与的交点个数即为， 当时，直线与有个交点， 此时最大，所以的取值范围为. 20. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定、，即可求解 （2）①根据直线与椭圆相切于第一象限内的点，求出，再根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，由此可求；②根据已知条件与平行关系确定，由平行四边形确定，再结合，得，分两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意，从而，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：， 解得：（由条件可知：k，m异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因为A，C两点关于原点对称，所以，所以，， 所以． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 于是， 由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形， 则还需，即， 由①可知：，所以． 又，， 所以， 由可得：， 又，所以，即， 当时，； 当时，． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. 已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列，对于A中任意一项，都有，则称数列A是长为m的数列． （1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）： ①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16． （2）若，证明：数列a，b，c为数列； （3）设M是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列． 【答案】（1）①数列，，，是数列；②数列，，，是数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案； （2）分当，和三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解； （3）假设中没有长为的数列，先考虑集合，得到存在一个，使得中没有一个元素属于，再考虑集合，得到存在一个，使得中没有一个元素属于，进而证得集合中至多有个元素，即可得到结论. 【详解】（1）由数列的新定义，可得数列，，，是数列；数列，，，是数列． （2）①当时，令，，，， 所以数列，，，为等差数列，且， 所以数列，，为数列． ②当时，令，，，， 所以数列，，，为等差数列，且． 所以数列，，为数列． ③当时，令，，，， 所以数列，，，为等差数列，且． 所以数列，，为数列． 综上，若，数列，，为数列． （3）假设中没有长为的数列， 考虑集合，，，，． 因为数列，，，，是一个共有5项的等差数列， 所以存在一个，使得中没有一个元素属于． 对于其余的， 再考虑集合，，，，． 因为，，，，是一个共有5项的等差数列， 所以存在一个，使得中没有一个元素属于． 因为中个数成等差数列，所以每个中至少有一个元素不属于． 所以集合中至少有个元素不属于集合． 所以集合中至多有个元素，这与中至少有个元素矛盾． 所以假设不成立． 所以中的元素必能构成长为4的数列． 【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2025-2026学年度第五学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 得分：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某社区举行“喜迎五一”书画作品比赛，参加比赛的老年人占，中年人占，小朋友占，经评审，评出一、二、三等奖作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品获奖的概率分别为0.6，0.2，0.1．现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为（ ） A. 0.21 B. 0.4 C. 0.42 D. 0.58 5. 已知，且，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知p： q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上为减函数，函数g（x）＝x2－aln x在（1，2）上为增函数，则a的值等于 A. 1 B. 2 C. 0 D. 9. 设，在上有3个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（ ）位的数.(参考数据：) A. 18 B. 19 C. 62 D. 63 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11. 10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为___________． 12. 函数(）的最大值为______． 13. 若，为自然对数的底数，则、、的大小关系是______．（用小于号“<”连接三个式子） 14. 已知数列满足：，，若前2010项中恰好含有666项为0，则的值为___________. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则. 其中，所有正确结论的序号为__________. 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17. 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55； 乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40． 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立． （1）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数． （2）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 19. 已知函数，过点（）有条直线与函数的图象相切． （1）求函数的单调区间与极值； （2）若，求的值并求切线的方程； （3）当取最大值时，求的取值范围． 20. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 21. 已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列，对于A中任意一项，都有，则称数列A是长为m的数列． （1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）： ①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16． （2）若，证明：数列a，b，c为数列； （3）设M是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $