精品解析：北京市第二中学2025-2026学年高二第三学段考试数学试卷

北京二中2025—2026学年度第三学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第二册 命题人：傅靖 审核人：鲁智虎 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，然后用公式计算即可. 【详解】在等数列中，， 所以， 解得， 所以， 故选：B. 2. 二项式 展开式中， 常数项为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理计算即可求解. 【详解】 令，解得， 则常数数为 故选：B 3. 从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接法求满足条件的组合个数. 【详解】满足条件的选法有：种. 故选：B 4. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，即，解得或； 因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选B 【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型. 5. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为， 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 6. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法结合排列组合的知识即可求解. 【详解】先排乙班和丙班的学生，有（种）， 又甲班的2名同学不相邻，利用插空法得（种）， 综上，共有（种） 故选：C. 7. 已知为正方形，若椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点，则椭圆与双曲线的离心率之积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据椭圆与双曲线的性质求离心率，进而得答案. 【详解】解：因为椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点， 设其焦距为,椭圆中，长轴为,短轴为；双曲线中，实轴长为,短轴长为, 所以，对于椭圆，有，即，故，解得 对于双曲线，有，即，故，得， 所以，椭圆与双曲线的离心率之积为 故选：C 8. 设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设，分别表示出和即可. 【详解】抛物线的焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：D. 9. 等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为　　 A. 65 B. 75 C. 90 D. 110 【答案】A 【解析】 【分析】由的首项，前项和为，，求出，可得 ，再求数列前10项和． 【详解】∵的首项，前项和为，， 解得 故数列的前项和为 故选A. 【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 10. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（ ） A. 可能为等差数列 B. 中最大的项为 C. 存在最大值 D. 的最小值为36 【答案】D 【解析】 【分析】对 A，找出其与题目条件的矛盾；对BC，举反例数列可得；对D，分别列举与（即）成立时的数列，求出最小值即可. 【详解】对A，若为等差数列，设公差为， 当时，对任意的，与均成立； 当时，对任意，与均不成立， 两种情况都不满足和中有且仅有一个成立，故A错； 对B，给定数列， 可知对任意的，满足和中有且仅有一个成立， 中最大的项为，不为，故B错； 对C，给定数列， 假设，则， 与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故； 假设，则， 也与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故； 当且时，数列各项满足题意， 因此，在给定数列中，可取任意大的正整数， 故无最大值，故C错； 对D，由题意与中有且仅有一个成立， ①若，则，设， 则 ，则，设，则， 则，设，则， 则，故. 即数列. 故，由题意均为正整数， 因此，若，则当且仅当时， 即数列，取最小值； ②若，则，设，则， 则，设，则，则， 设，则，则，， 由，故，即， 即数列. 故，由题意均为正整数， 因此，若，则当且仅当时， 即数列，取最小值； 综合①②比较可知，的最小值为, D正确. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 11. 若抛物线的焦点坐标为，则____；准线方程为_____. 【答案】2， 【解析】 【详解】因为抛物线方程为y2=2px,所以焦点坐标为,又焦点坐标为(1,0),则p=2,准线方程为x=-1. 12. 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为_______，从第层各取1本书，不同的取法种数为_______． 【答案】 ①. 15 ②. 120 【解析】 【分析】从书架上任取1本书，根据分类加法原理求解，从第层各取1本书，根据分步乘法原理求解. 【详解】由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为． 由分步乘法计数原理知，从层各取1本书，不同的取法种数为． 故答案为：15，120 13. 已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【详解】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 14. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知为直角顶点，设，，，…，构成数列，令，为数列的前n项和，则 ___________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据勾股定理得到，然后得到，利用裂项求和可得. 【详解】由题意： 因， 故， 所以， ， ， 所以. 故答案为：8. 15. 已知曲线.①若为曲线上一点，则；②曲线在处的切线斜率为0；③，与曲线有四个交点；④直线与曲线C无公共点当且仅当.其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先对曲线按、正负去绝对值拆分出椭圆、双曲线分支，再结合各分支几何性质与直线联立分析，逐一验证四个结论的正误. 【详解】对于①：由，可得情况如下， 当（不同时为）时，曲线，表示双曲线在第一象限的部分， 若点位于此段图象上，则， 因为，所以； 当时，曲线，表示椭圆在第四象限的部分， 若点位于此段图象上，显然； 当时，曲线，即，不表示任何区域； 当时，曲线，表示双曲线的下支在第三象限的部分， 若点位于此段图象上，则。因为， 则，所以； 综上，若点为曲线上一点，则，故①正确； 对于②：因为点为椭圆的下顶点， 由椭圆的几何性质可知在处的切线平行于轴，斜率为，故②正确； 对于③：如图，因为直线与两段双曲线的渐近线平行， 且与椭圆部分的两个端点连线平行，所以该直线最多与曲线有两个交点，故③错误； 对于④：由图，若直线与直线重合或在其上方， 即时，与曲线无公共点， 作直线在直线下方， 则当直线与椭圆部分无公共点时，与曲线无公共点， 此时直线与椭圆部分相离，由， 得，即， 由，得，解得（舍）或， 综上，直线与曲线无公共点当且仅当，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 记为数列的前项和，已知. （1）求，； （2）证明：数列是等比数列； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先令求出首项，再将分别代入已知等式即可求出； （2）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （3）由（2）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得 【小问2详解】 证明：当时，； 当时，， 两式相减得：，所以 所以 又因为， 所以，所以是首项为4，公比为4的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知： 所以， 所以①， 故②， 两式相减得，， 故. 17. 已知抛物线，其焦点为，是上的一点. （1）求； （2）直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义来求焦半径即可； （2）利用直线与抛物线联立方程组，结合韦达定理和面积公式即可求解. 【小问1详解】 将代入，得，其中， 所以； 【小问2详解】 直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 18. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 19. 如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，证明从而得到平面，根据，平行且相等得到四边形是平行四边形，进而得到，所以平面，根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求出答案； （3）根据，分别求三棱锥和三棱锥的体积，即可求出答案. 【小问1详解】 取中点，连接，， ，，则， 平面，平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又，四边形是平行四边形，， 是等边三角形，为中点，， 平面，平面平面，平面平面， 平面，垂直平面内任意直线， 从而由可知垂直平面内任意直线， 平面 平面平面平面 【小问2详解】 由（1）得平面，平面，， 又，， 以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，， 则，令，则， 则， 设平面与平面所成夹角为， 则. 平面与平面所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面，因为平面， 所以， 所以. 20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4； （1）求C的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线上和，直线与C相交于两个不同点A，B，在线段上取点Q，满足，直线交y轴于点R，求面积的最小值． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即得； （2）由题可设的方程为，利用韦达定理法可得，进而可得，然后利用面积公式及基本不等式即求. 【小问1详解】 由题可得， ∴， ∴椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， ， 由，可得， 由，可得，或， ∴， 由及四点共线，知， ∴， 则， ∵和相互垂直，则的方程为，令，得， ∴，， ∴面积为， 当且仅当，即等号成立， 所以面积的最小值为1. 21. 对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数 列具有“性质”． 不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同 时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”． （I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”； （II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由； （III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时， 数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”． 【答案】（I）证明见解析．（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，数列为3，2，1，5，4．数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”理由见详解；（III）证明见解析． 【解析】 【详解】（I）当时， 又． 所以是完全平方数， 数列具有“P性质” （II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”， 数列为3，2，1，5，4 数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” 因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数 所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” （III）设 注意到 令 由于， 所以 又 所以 即 因为当时，数列具有“变换P性质” 所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成 使得都是平方数 另外，可以按相反顺序排列， 即排列为 使得 所以1，2，可以排列成 满足都是平方数. 即当时，数列A也具有“变换P性质” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2025—2026学年度第三学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第二册 命题人：傅靖 审核人：鲁智虎 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 2. 二项式 展开式中， 常数项（ ） A. 4 B. C. 6 D. 3. 从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 4. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A 2 B. C. D. 6. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 720种 7. 已知为正方形，若椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点，则椭圆与双曲线的离心率之积为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为　　 A. 65 B. 75 C. 90 D. 110 10. 已知数列各项均为正整数，对任意，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（ ） A. 可能为等差数列 B. 中最大的项为 C. 存在最大值 D. 的最小值为36 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 11. 若抛物线的焦点坐标为，则____；准线方程为_____. 12. 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为_______，从第层各取1本书，不同的取法种数为_______． 13. 已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 14. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知为直角顶点，设，，，…，构成数列，令，为数列的前n项和，则 ___________． 15. 已知曲线.①若为曲线上一点，则；②曲线在处的切线斜率为0；③，与曲线有四个交点；④直线与曲线C无公共点当且仅当.其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 记为数列的前项和，已知. （1）求，； （2）证明：数列是等比数列； （3）设，求数列的前项和. 17. 已知抛物线，其焦点为，是上的一点. （1）求； （2）直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 18. 在中，内角对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求多面体的体积. 20. 已知椭圆离心率为，短轴长为4； （1）求C的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线上和，直线与C相交于两个不同点A，B，在线段上取点Q，满足，直线交y轴于点R，求面积的最小值． 21. 对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数 列具有“性质”． 不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同 时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”． （I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”； （II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由； （III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时， 数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $