江苏泰州市靖江外国语学校2025-2026学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学 第③次学情自测

外国语2025-2026学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学第③次考试 (时间：120分钟， 总分：150分) 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 () A. B C D 笛卡尔心形线 斐波那契螺旋线 赵爽弦图 伯努利双纽线 2.“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来.”出自宋代诗人王安石的《梅花》.诗人以梅花的坚强和 高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人.梅花的花粉直径约为0.000036，将数据 0.000036用科学记数法表示为（) A.3.6×105 B.3.6×10-6 C.-3.6×105 D.-3.6×105 3.下列各式中，可以用平方差公式计算的是() A.(x+1)2B.(x-1)(x-2) C.(+1)(x-1)D.(-+1)(x-1) 4.已知关于y的方程组6红+=26的解米利红十》二18的解湘同，则(o6)测的值为(） A.-2026 B.-1 C.2026 D.1 5.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED的延长线交BC于点G, 若∠BGE=a,则∠EFC=()(用含a的代数式表示) E D D A.180°-a 1 B.180°-Q C.2a D.360°-2a 6.已知a、b为常数，若am+b>0的解集是x<,则bx-a<0的解集是() A.x>3 B.x<-3 C.x>3 D.x<3 二、填空题(30分) 7.计算：（-2a2P= 8.在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 9.《九章算术》是我国一部杰出的数学著作.其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有×人，物品价值y元，则可列二元一 次方程组为 (2x-a≤1， 10.若关于×的不等式组 >1无解，则a的取值范围是 3 11若x2-(a+2)x+9是完个平方式.则常数a的值是 12.若3x+2-3x+1=162,则×的值是」 13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE,若∠CAE=62°，∠E=70°，且AD⊥BC,则∠BAC= 2 14.如图，长方形ABCD的长是14cm,宽是5cm,动点P从点A出发，沿边AD以每秒3cm的速度运动，同时点Q 从点B出发，沿边BC以每秒1.5cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时， 长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称. l5如图，线段AB和线段CD交于点O,连AC、BD,∠CAP=∠CAB,∠CDP-∠CDB,AP、DP分别交CD,AB于M、 N:则∠C、∠B、∠P之间数量关系是 16.如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下方，使其重叠部分是长 方形，面积记为S3,两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S1,S2.己知BF=6,DF=10,且S1+S2=120, 则S= 1e0 D 题8 题13 题14 D B N S B E C 题15 题16 三、解答题(102分) 17.计算：（本题共3小题，每小题5分，共15分） (1)1-3÷(-1)2026x(m-3)0-(厂3(2)(2xy)3。(-xw2)÷4xy (3)(3y+2)2(3y-2)2. 18.解方程（不等式）组：（本题共2小题，每小题5分，共10分） 5x-10y=-4 (2x-7<3(x-1) (1) 4型-号 (2) 2 号c+1)-专x≤1并把它的解集表示在数轴上 2 19.(本题6分)先化简，再求值：(2×-12-(x+3)x-3)-3x(×-2),其中×=-1 20.(本题8分)对于任意实数m,n,定义一种新运算m※n=mn-m-n+2.例如：2※6=2×6-2-6+2=6.请 根据上述定义解决以下问题： (1)若2※×<4，求实数×的取值范围. (2)若a<4※x<7,且×的解集中有3个整数解，求实数a的取值范围 21.如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上. (1)将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1: (2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应的△AB2C2: (3)第（1)问中△ABC平移过程中边AB“扫过”的面积为 A B 22如图，在长方形ABCD内有一点B' (1)将长方形ABCD沿EF折叠，使点B洛在B'处，折痕与边BC、AD分别交于E、F,请用直尺与圆规作出 折痕EF(保留作图痕迹)： (2)连接B'E,将点C沿过点E的直线EH折叠，EH与CD交于点H,使点C落在射线EB'上，请用直尺 与圆规作出折痕EH(保留作图狼迹)： (3)直接写出折狼EF与EH的位置关系 23.随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷洒农药相比传统人工喷洒 具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎.某公司目前有A,B两款无 人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园：2架A款 无人机和3架B款无人机每小时可喷酒540亩茶园. (1)求A,B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ (2)当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A,B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷酒，为了在一个 小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 3 24.小明在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究。 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为PQ,SR,且PQ∥SR,小球从点 A滚向挡板PQ,碰着PO上的点B后进行第一次反弹滚向挡板SR(A、B为定点)，碰着SR上的点C后进行第 二次反弹滚向点D.经过多次测量.她进一步发现BN⊥PQ,MC⊥SR,且∠ABN=∠CBN,∠BCM=∠DCM. B B D M DO 34 ，Q 1N5856 A C R 图1 图2 图3 【解决问题】 发现小球经过两次反弹后的路径CD平行于原来的路径AB,请你借助图2帮助小明完善 证明过程. (1)因为BN⊥PQ, 所以∠PBN=∠QBN=90°.所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，又因为∠1=∠2， 所以 ( ),同理，∠5=∠6，又因为PQ∥SR,所以∠4= ( ),所以∠3=∠6（等量代换），又因为PQ∥SR, 所以∠3=∠BAC,所以∠BAC= ,所以AB∥CD( 【引中拓展】(2)如图3，小明把挡板SR固定，将挡板PQ绕点B逆时针旋转a(0°<a<30°)至直线GH, 若∠BAC=69°，球从A打到挡板GH和球从B打到挡板SR均按照【探索模型】中的规律反弹. ①则∠QBC=」 (用含a的代数式表示)： ②当a=」 时，CD∥GH. 25.定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学 梅方程”.例如，方程2x-1=1的解是x=1,同时x=1也是不等式+1>0的解，则称方程2x-1=1是不等式 +1>0的“学梅方程”.反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方 程为该不等式（组）的“思梅方程”. (1)在下列方程①5(+2)-(+4)=26：②x-3=20:③6-2(x-3)=0中，不等式组2x-3>X-1 3(x-1)-x≤5 的“学梅方程”是 一；（填序号） C2》若关于x的方程4如x=2(x-a)是2+1≤x+a的“思梅方程，求a的取值范围。 (3)若关于x的方程45-3m=0是关于x的不等式组 2 40>m 的“学梅方程”，且此时不等式组恰 x-m≤2m+1 好有3个整数解，试求m的取值范围， 26.在数学课上，老师让同学们以两条平行线N,PQ和一块含30°角的直角三角尺ABC(A、B、C逆时针方向 排列)，其中∠ABC=60°，∠C=90°，为主题展开数学活动，B点始终在线段PQ上. y D M- -N M M N ED 0 C B p Q B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当AB⊥PQ时，求∠CDN的大小. (2)如图2，三角尺ABC绕着点B旋转，当C点在P)下方，A点在两平行线之间时，CA延长线交线段MW 于点D,∠CDN与∠QBC的平分线交于点O,请你探究∠BOD是否为定值，并说明理H. (3)若直角三角尺ABC的C点在线段MN上，边AB交线段MN于点E,将三角形ABC沿AB翻叠，C落在点 F处，∠CBQ=5∠FBP,点（行为射线BC上一动点，连接FG,∠MF(G的平分线所在直线交线段PQ于点K,求 ∠EGB与∠EKQ的数量关系 (直接写答案). 5 外国语2025-2026学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学第③次考试 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题（每小题3分，共18分) 1.在数学巾，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形巾既是轴对称图形又是巾心对称图形的是 (D) A B. C. D. 笛卡尔心形线 斐波那契螺旋线 赵类弦图 伯努利双纽线 2.“墙角数枝梅，凌寒独白开.遥知不是雪，为有暗香米.”出白宋代诗人王安石的《梅花》.诗人以梅花的坚强和 高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人.梅花的花粉直径约为0.000036m,将数据 0.000036用科学记数法表示为（A) A.3.6×105 B.3.6×106 C.-3.6×105 D.-3.6x105 3.下列各式中，可以用平方差公式计算的是(C) A.(x11)2 B.(x-1)(x-2)C.(x11)(x-1)D.(-x11)(x-1) 4.已知关于0y的方程组6+5y二26的解利x+》二16的解相同，则(a16)测5修值为(D） A.-2026 B.-1 C.2026 D.1 【解爷】解，国为关于)的方程细+8》=2的解和哈+三16的解相同。 所以可得新方程组： 2x+5y=-6① 3x-5y=16② ①+②得：5x=10, 得：x=2, 将x=2代入①得：y=-2, 将x=2,y=-2,代入可得： 2b+2a=2③ 2b-2a=-8④ 解得： a= 3 b=- (a+b)2025 53、 =号-20 =1. 5.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C”的位置，ED的延长线交BC于点G, 若∠BGE=a,则∠EFC=(A)(州含a的代数式表示) 6 D D F C A.180-70 B.180°-a 1 C.z D.360°-70 【解答】解：根据题意可知，∠DEF=∠D'EF, ,四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC, ,∠BGE=, ∴.∠DED'=∠DEF+∠D'EF=2∠DEF=a, :.LDEF= ∠EFC=180°-za, 则∠EFC的值为180°一0， 故选：A 6.已知a、b为常数，若ar+b>0的解集是r<了则bx-a<0的解集是（B) A.X>-3 B.x<-3 C.x>3 D.X<3 【解答】解：：a+b>0的解集是x<字 a<0且-名=号 ∴.a=-3b<0, ..b>0, .bx-a<0, ∴.bx<a, ∴.bx<-3b, x<-3, 二、填空题(30分) 7.计算：（-2a29=-5a5 8.在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是10：51 9.《九章算术》是我国一部杰出的数学著作.其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 9元，多4元：每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有×人，物品价值Y元，则可列二元一 次方程组为} 9x-4=y 8x+4=y 10.若关于×的不等式组 兰>1无解，则a的取值范围是≤1 (2x-a≤1， 解：不等式组整理得： 些， x>1 ,不等式组无解， 7 : 2s1, 解得：a≤l. 11若x2-(a+2)x+9是完个平方式.则常数a的值是4，-8 12.若3x+2-3*+1=162,则×的值是3 .3*2-3*1=162, 3.32-3X3=34X2, 9×3"-3×3=34×2, 6X3=34X2, 3X3=34, 31x=34, .1+x=4, 解得：x=3. 13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE,若∠CAE=62°，∠E=70°，且AD⊥BC,则∠BAC=82° 【解答】解：，△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE, .∠BAD=∠CAE=62°，∠ACB=∠E=70°， ,AD⊥BC, .∠CAD=90°-70°=20°， ∴.∠BAC=∠BMD+∠CAD=62°+20°=82°. 故答案为：82°. 14.如图，长方形ABcD的长是14cm,宽是5cm,动点P从点A出发，沿边AD以每秒3cm的速度运动，同时点Q 从点B出发，沿边Bc以每秒1.5cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 28 9 秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称. 【解答】解：设运动时间为1秒，则AP=31cm,PD=(14-31)cm,BQ=1.51cm, 当PD=BQ时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称， 则14-31=1.5，解得t=2罗 15如图，线段AB和线段CD交于点O,连AC、BD,∠CAP=∠CAB,∠CDP-∠CDB,AP、DP分别交CD,AB于M、 N;则∠C、∠B、∠P之间数量关系是4∠P=3∠C+∠B （双八字形) 16.如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下方，使其重叠部分是长 方形，面积记为S3,两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S1,S2.已知BF=6,DF=10,且S1+S2=120, 则S= 52 A P 0 1e0 0 Q 题8 题13 题14 B D B E C D S, 题15 题16 16.【解答】解：，正方形ABCD, ∴BC=CD, .CE+BE=CF+DF, BE=6,DF=10, ∴.CE=CF+4, 设CF=x,则：CE=+4, .S=x2,S2=(+4)2, ∴.x2+(+4)2=120, .x2+4x=52, ..S3=CE.CF=(x+4)x=x24+4x=52. 故答案为：52. 三、解答题(102分) 17.计算：（木题共3小题，每小题5分，共15分) (1)1-3÷(-1)2026x(m-3)厂3(2)(2x2y)3。(-xy2)÷4xy (3)(3y+2)2(3y-2)2. =.5 =-2x3y =81y4+16-72y2 18.解方程（不等式）组：（本题共2小题，每小题5分，共10分） 5x-10y=-4 (2x-7<3(x-1) (2) -号 (2) 2 侵c+1)-x≤1并把它的解集表示在数轴上 (X=0 (2x-7<3(x-1)① 方程组的解为 =号 解： x+1)-7x≤1@ 1 解不等式①，得>-4， 解不等式②，得x≤3， 把不等式①、②的解集表示在数轴上如下： -5-4-3-2-1012345 19.(本题6分)先化简，再求值：(2x-12-(x+3(x-3)-3x×-2),其中×=-1 化简得2x+10计算得8 20.(本题8分)对于任意实数m,n,定义一种新运算m※n=mn-m-n+2.例如：2※6=2×6-2-6+2=6.请 根据上述定义解决以下问题： 9 (1)若2※x<4,求实数×的取值范围. (2)若a<4※×<7，且×的解集中有3个整数解，求实数a的取值范围 (1)x<4(2)-5≤x<-2 21.如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上： (1)将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1: (2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应的△AB2C2: (3)第(1)问中△ABC平移过程中边AB“扫过”的面积为8· B A 【分析】（1)将△ABC三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可： (2)将点B,C绕点A顺时针旋转90°得到点B2,C2,再首尾顺次连接即可： (3)根据题意得：△ABC平移过程中边AB“扫过”的部分是平行四边形AA1BB1,根据平行四边形的面积公式 即可解决问题. 【解答】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求： B A (2)如图所示，△AB2C2即为所求： (3)根据题意得：△ABC平移过程中边AB“扫过”的部分是平行四边形AA1BB1, ∴.AB“扫过”的面积为4×2=8， 故答案为：8 【点评】本题考查作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键 22.如图，在长方形ABCD内有一点B' (I)将长方形ABCD沿EF折叠，使点B落在B'处，折痕与边BC、AD分别交于E、F,请用直尺与圆规作出 折痕EF（保留作图痕迹)： (2)连接B'E,将点C沿过点E的直线EH折登，EH与CD交于点H,使点C落在射线EB'上，请用直尺 10 与圆规作出折痕H(保留作图痕迹)： (3)直接写出折痕EF与EH的位置关系EF⊥E丑· A D B B C 【分析】(I)连接BB',作BB'的线段垂直平分线即可： (2)作∠B'EC的角平分线即可： (3)求出∠B'EF=∠BEF,∠B'EH=∠CEH,则∠FEH=90°，据此即可得. 【解答】解：(I)将长方形ABCD沿EF折叠，使点B落在B'处，如图1，折痕EF即为所求： F A D B 心 C 图1 (2)如图2，折痕EH即为所求： F D B B C 图2 (3)EF⊥EH.理由如下： 由折叠的性质得：∠B'EF=∠BEF,∠B'EH=∠CEH, .∠B'EF+∠BEF+∠B'EH+∠CEH=180°， ∴.2∠B'EF+2∠B'EH=180°， ∴.∠B'EF+∠B'EH=90°， ∴.∠FEH=90°， ∴.EF⊥EH. 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了线段垂直平分线的作法，角平分线的作法，折叠的性质，解题的关键 是灵活运用所学知识解决问题，学会利用折叠的性质解决问题. 23.随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷洒农药相比传统人工喷 洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎.某公司目前有A,B两款 无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A 款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园。 (1)求A,B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ (2)当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A,B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个 11 小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 【分析】(1)设A款无人机每小时可喷洒茶园α亩，B款无人机每小时可喷洒茶园b亩，根据题意列出方程组， 解方程组，即可求解： (2)设使用x架A款无人机，则使用(16-x)架B款无人机，根据题意列出不等式求得不等式的最小整数解， 即可求解. 【解答】解：（1)设A款无人机每小时可喷酒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园b亩，根据题意得： 2a+3b=540 3a+2b=560 解得：8二168 答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩： （2)设使用x架A款无人机，根据题意得： 120+100(16-x)≥1700， 解得：x≥5， 最小整数解为5， 答：最少需使用5架A款无人机. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，建立所需的方程组及不等式是 关键. 24.小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为PQ,SR,且PQ∥SR,小球从点 A滚向挡板PO,碰着PQ上的点B后进行第一次反弹滚向挡板SR(A、B为定点)，碰着SR上的点C后进行第 二次反弹滚向点D.经过多次测量.她进一步发现BN⊥PO,MC⊥SR,且∠ABN=∠CBN,∠BCM=∠DCM. Q 34 M ‘12 0 Q IN5856 0 C R 图1 图2 图3 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径CD平行于原来的路径AB,请你借助图2帮助小丁完善证明 过程. (1)因为BN⊥PQ, 所以∠PBN=∠QBN=90° 所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， 又因为∠1=∠2， 所以∠3=∠4 (等角的余角相等)， 同理，∠5=∠6， 又因为PQ∥SR, 所以∠4=∠5 (两直线平行，内错角相等)， 所以∠3=∠6（等量代换）， 又因为PQ∥SR, 所以∠3=∠BAC, 所以∠BAC=∠6， 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 【引申拓展】(2)如图3，小丁把挡板SR固定，将挡板PQ绕点B逆时针旋转a(0°<a<30°)至直线GH, 若∠BAC=69°，球从A打到挡板GH和球从B打到挡板SR均按照【探索模型】中的规律反弹. ①则∠QBC=69°-2a(用含a的代数式表示)： ②当a=23°时，CD∥GH. 【分析】(1)利用等角的余角相等得到∠3=∠4：再由P2∥SR得到∠4=∠6，进而推出∠BAC=∠6，最后根 12 据内错角相等判定AB∥CD (2)①根据平行线性质及反弹规律可求得结果： ②利用CD∥GH则同旁内角互补，可求出∠BCD的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出∠RCD与∠ BCA的表达式，最后通过平角为180°建立方程求解α. 【解答】解：(1)因为BN⊥PQ, 所以∠PBN=∠QBN=90°， 所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90° 又因为∠1=∠2， 所以∠3=∠4（等角的余角相等）. 同理，∠5=∠6 又因为PQ∥SR, 所以∠4=∠5（两直线平行，内错角相等）. 所以∠3=∠6（等量代换）. 又因为PQ∥SR, 所以∠3=∠BAC, 所以∠BAC=∠6， 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 故答案为：∠3=∠4：等角的余角相等：∠5：两直线平行，内错角相等：∠6：同位角相等，两直线平行. (2)①如图， H H P B a p G D R 图3 ,PQ∥SR,∠BAC=69°， ∴.∠PBA=∠BAC=69°（两直线平行，内错角相等），即∠GBA+=69°， ,根据“反弹规律”，∠GBA=∠HBC=a+∠OBC, ∴.a+∠QBC+a=69°， ∴.∠QBC=69°-2a 故答案为：69°-2a. ②当CD∥GHI时，∠HBC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 由反弹规律，∠HBC=∠GBA=69°-a, .∠BCD=180°·(69°-a)=111°+a 由PQ∥SR,并结合反弹规律得∠RCD=∠ACB=∠QBC=69°-2a, ,∠RCD+∠ACB+∠BCD=180°， ∴.2(69°-2a)+111°+a=180°， 整理得，3α=69°， 解得α=23°，符合0°<<30°的范围， 故答案为：23°· 【点评】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相 等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导. 25.定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学 梅方程”.例如，方程2x-1=1的解是x=1,同时x=1也是不等式+1>0的解，则称方程2x-1=1是不等式 +1>0的“学梅方程”.反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方 程为该不等式（组）的“思梅方程”. 13 (1)在下列方程①5(+2)-(+4)=26：②x-3=20:®6-2(x-3)=0中，不等式组2x-3>X-1 3(x-1)-x≤5 的“学梅方程”是②：（填序号） (2)若关于x的方程46-x=2(x-。)是+1≤x+a的“恩梅方程求a的取值范围。 (3)若关于x的方程牛-3m=0是关于x的不等式组 +2m>m 2 2 的“学梅方程”，且此时不等式组恰 x-m≤2m+1 好有3个整数解，试求m的取值范围. 【分所1)依据题意，解不等式仔-3)：55可得254，然后分别解方程进而逐个刻衡可以得解 (2)依据题意，由4a-x=2(x-a),可得x=2a,又二+1≤x+a,则x≥2-3a,再结合方程4a-x=2 2 (x-a)是二2+1≤x+的“思梅方程”，从而2a<2-3a,进而计算可以得解： 2 (3)依据题意，由45-3m=0,则=6m-5,又解不等式组 g+2m>m① 2 ,可得0<x≤3m+1,又不 2 x-m≤2m+1② 等式组有3个整数解，可得整数的值为1,2,3，则3≤3+1<4，再根据关于x的方程生—3m=0是关于 (x+2m>m 的不等式组}2一 的“学梅方程)从而可得<m≤2，最后即可判断得解 x-m≤2m+1 【解答】解：(1)：不等式组为2x-3>X-1 3(x-1)-x≤5 ∴.2<x≤4. ①由题意，5(x+2)-(x+4)=26, ∴x=5,故①不合题意. ②由题意，9x-3=20, x=3,故②符合题意. ③由题意，6-2(x-3)=0, ∴x=6,故③不合题意. 综上，不等式组2x-3>x-1 的“学梅方程”是② 3(x-1)-x≤5 故答案为：②. (2)由题意，.4ax=2(x-a), x=2a. X0+1≤x+a, 2 ∴.x≥2-3a 叉~方程4a-x=2(x-a）是2+1≤x+a的“思梅方程， .2a<2-3a. a<晕 (3)由题意，…x+5 -3m=0, ,.x=6m-5. 又不等式组为 x+2m>m① 2 x-m≤2m+1② 14 ∴.解不等式①得：x>0,解不等式②得：x≤3m+1. ∴.原不等式组的解集为：0<x≤3m+1. 不等式组有3个整数解， .整数的值为1,2,3， .3≤3m+1<4. ，2 3≤m<1, :关于x的方程生5-3m=0是关于：的不等式 (x+2m >m 2 的“学梅方程”， x-m≤2m+1 *8-8≥3m+1 5 “6<m≤2. 综上，m的取值范围是m: 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的信总是解题的关键， 26.在数学课上，老师让同学们以两条平行线W,PQ和一块含30°角的直角三角尺ABC（A、B、C逆时针方向 排列)，其中∠ABC=60°，∠C=90°，为主题展开数学活动，B点始终在线段PQ上. A D M M N N E D Q B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当AB⊥PQ时，求∠CDN的大小. (2)如图2，三角尺ABC绕若点B旋转，当C点在PQ下方，A点在两平行线之间时，CA延长线交线段MN 于点D,∠CDN与∠QBC的平分线交于点O,请你探究∠BOD是否为定值，并说明理由. (3)若直角三角尺ABC的C点在线段MN上，边AB交线段N于点E,将三角形ABC沿AB翻叠，C洛在点 F处，∠CBQ=5∠FBP,点G为射线BC上一动点，连接EG,∠MEG的平分线所在直线交线段PQ于点K,求 ∠EGB与∠EKQ的数量关系2∠EKO+∠EGB=255°（直接写答案）. 【分析】(I)延长AC交PQ于点F,根据角的和差关系，求出∠BFC的度数，再根据平行线的性质，求出∠CDN 的大小即可； (2)设CD交PQ于点G,OD交P于点H,设∠OBQ=∠OBC=a,∠ODN=∠ODC=B,根据平行线的性 质和三角形的内角和为180度，推出∠BOD=45°即可： (3)根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出∠PBF的度数，进而求出∠CBQ的度数， 分点G在BC上和BC的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【解答】解：(1)延长AC交PQ于点F,当AB⊥PQ时， 由题意，∠ACB=90°，∠ABF=90°，∠ABC=60°， ∴.∠BCF=180°-∠ACB=90°，∠CBF=∠ABF-∠ABC=30°， .∠BFC=90°-∠CBF=60°， ,N∥P2, ∴.∠CDN=∠BFC=60°： 15 A N ED C B Q (2)解：∠BOD是定值，理由如下： 三角尺ABC绕着点B旋转，当C点在PQ下方，A点在两平行线之间时，CA延长线交线段N于点D,∠CDN 与∠QBC的平分线交于点O, 设CD交PQ于点G,OD交PQ于点H, D N A P G H Q 由题意可得：∠OBQ=∠OBC,∠ODN=∠ODC, 设∠OBQ=∠OBC=a,∠ODN=∠ODC=B, ∴.∠CBQ=2a,∠CDN=2B, ∴.∠ABQ=∠ABC-∠CBQ=60°-2a, .MN∥Pg, ∴.∠DGB=∠CDN=2B,∠NDO=∠PHD=B, ∴.∠BHO=180°-∠BHD=180°-B, 由题意，∠BAC=30°， ∴.∠BAC+∠ABG+∠AGB=30°+60°-2a+2β=180°， ∴.β-a=45°， ,∠B0D=180°-∠0BH-∠OHB=180°·a-180°+B=B-a=45°， 故∠BOD是定值； (3)若直角三角尺ABC的C点在线段MN上，边AB交线段MN于点E,将三角形ABC沿AB翻叠，由题意可 得：∠ABF=∠ABC=60°， ,∠CBQ=5∠FBP, ∴.设∠FBP=a,则∠CBQ=5a,∠EBP=60°-a, ∴.∠EBP+∠ABC+∠CBQ=60°·a+60°+5a=180°， .a=15°， .∠CBQ=75°， 当点G在线段BC的延长线上时，如图， H M N Q B 'MN∥PQ, ∴.∠NCG=∠CBQ=75°，∠MEH=∠PKE, ∴.∠ECG=180°-75°=105°， 设∠CEG=阝，则∠CGE=180°-105°-B=75°-B,∠MEG=180°-∠CEG=180°-B, 16 设∠CEG=B,则∠CGE=180°-105°-B=75°-B,∠ME0=180°-∠CL(-180+: 由题意可得：LMEH=2MEG=90°-B, ∴LPKE=LMEH=90-iB, ∴.LEKQ=180°-∠PKE=B+90, .2∠EKQ=B+180°， .2∠EKQ+∠BGE=+180°+75°-B=255°： 当点G在线段BC上时，如图，设∠CEG=Y,则∠MEG=180°-Y, M Q B ∴LMEK=ZMEG=90°-ZY, .N∥PQ, ∴LEKQ=LMEK=90-2y,∠MCG=∠QBC=75°， .∠EGC=180°-75°-Y=105°-Y, ∴.∠EGB=180°-∠EGC=75°+Y, .2∠EKQ+∠EGB=180°-Y+75°+y=255 综上：2∠EKB+∠EGB=255°. (F在上方) 5 M E 50- B50' k b 4EkQ=n片-单4E6B=才 <EGB+2∠EkQ=130 故答案为：2∠EKB+∠EGB=255°，230° 【点评】本题考查三角形的内角和定理，正确进行计算是解题关键， 17