精品解析：重庆市朝阳中学2025-2026学年度八年级下学期5月阶段学情自测数学试题

朝阳中学2025—2026学年度八年级下期考试 数学试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 分式，的最简公分母为（ ） A. B. C. D. 3. 微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知点关于轴对称的点是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 8. 早上9点，甲车从地出发去地，20分钟后，乙车从地出发去地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（ ） A. 两地相距240千米 B. 乙车平均速度是90千米/小时 C. 乙车在12:00到达地 D. 甲车与乙车在早上10点相遇 9. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 当分式有意义时，满足的条件是________． 12. 变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是___________． 13. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为_______ 14. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 15. 已知实数x满足，则分式的值为_____________； 16. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 三、解答题（共9个大题，总分86分，17、18题每题8分，后面每个大题每题10分） 17. 计算： （1）（结果化为正整数指数幂） （2） 18. 如图，四边形中，，，请用尺规作图完成基本作图：作的平分线交于点E，连接，则四边形是菱形，请按照题目要求完成尺规作图并根据以下证明思路完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）． 证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）． 是的平分线 ． ． ∴①_______________． ∴②_______________． ∴③_______________． ∴④_______________． ∴四边形是菱形． 19. 先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 20. 如图所示，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，∠AEC=2∠ABC． （1）求证：四边形ABFC为矩形； （2）若△AFD是边长为4的等边三角形，求四边形ABFC的面积． 21. 完成下列题目 （1）为何值时，关于的分式方程的解为． （2）当为何值时，关于的方程有增根． 22. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低元，用元购买A型计数跳绳的数量和用元购买B型计数跳绳的数量相同． （1）求两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买两种型号的计数跳绳共根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23. 矩形的和两顶点两边分别在直角坐标系的与轴的正半轴上，顶点在第一象限，点坐标为．动点从点出发，沿折线向终点运动．在上速度为每秒个单位长度．在上速度为每秒个单位长度，设点运动的时间为秒．若点为射线上一点，且．连接和，令的面积为，的面积为．回答下列问题： （1）请直接写出、之间的函数关系式以及对应的的取值范围； （2）请在平面直角坐标系中，画出、的图像，并写出一条的性质； （3）请直接写出时，的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 24. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； （3）将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 25. 如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连． （1）若点E为的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳中学2025—2026学年度八年级下期考试 数学试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 平面直角坐标系中各象限点的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； 又∵ 点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的符号特征； ∴ 点在第二象限. 2. 分式，的最简公分母为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，由此即可得出结果，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵分母和的系数最小公倍数为12，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为， ∴最简公分母为：， 故选：A． 3. 微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：∵的第一个非零数字是9，其前面有7个零（包括小数点前的零）， ∴，， ∴． 故选：D． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可． 【详解】解：将代入得： 解得：， 故选：B． 5. 已知点关于轴对称的点是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是，所以点关于轴对称的点坐标为． 故选：B 6. 如图，在四边形中，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，再由折叠的性质解答即可． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：． 7. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形规律探索​​，解题的关键是求得前面几个数据，正确找出规律，然后求解．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，代入即可求解． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为， 第②个图案中“●”的个数为， 第③个图案中“●”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“●”的个数为（个）， 因此第⑨个图案中“●”的个数为（个）． 故选：D． 8. 早上9点，甲车从地出发去地，20分钟后，乙车从地出发去地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（ ） A. 两地相距240千米 B. 乙车平均速度是90千米/小时 C. 乙车在12:00到达地 D. 甲车与乙车在早上10点相遇 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图像中的数据，可以计算出各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图像可知， 两地相距240千米，故A选项不符合题意； 乙车的平均速度为：（千米/小时），故B选项不符合题意； 乙车到达地的时刻为：，故C选项不符合题意； 设甲车出发小时后两车相遇，则， ， 解得：， （分钟）， 即甲车与乙车在早上10点48分相遇，故D选项不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 10. 对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据“同函数”的定义，结合一次函数与反比例函数的性质，对三个结论逐一进行分析判断． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了是否有交点的判断以及交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，明确函数与方程的关系是解题的关键． 【详解】解：①若函数与互为“同函数”，则，， 令，整理得， ， 函数与函数一定相交， ①正确； ②若函数与互为“同函数”，当时，则，， 令，整理得， ， ， ， 两函数图象的交点是，， ②正确； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，则交点为， 把代入得，， ， ， ， 函数过定点． ③错误． 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 当分式有意义时，满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，根据条件列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义， 分母， 解得． 12. 变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】把代入变量y与x之间的关系式求解即可． 【详解】解：当时，则． 13. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，由图象所在的象限得到关于k的不等式是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 15. 已知实数x满足，则分式的值为_____________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值； 由已知条件 ，可得 ，即 ．代入分式的分母可得 ．再化简分式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为 ． 16. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 【答案】 ①. 9216 ②. 【解析】 【分析】根据“阴阳数”的定义可得x与y的关系，进而根据的求法可得x的值，即可判断出y的值，进而可得A的值；根据“阴阳数”的定义可得a与b，c，d的关系，分别得到N和的值，根据所给条件，判断出a，b，c合适的值即可得到满足条件的N的最小值． 本题考查新定义的相关知识．理解并应用新定义的意义解决问题是解决本题的关键．难点是判断出各个数位上合适的数字． 【详解】解：四位数为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得， ； 为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∵为整数， ∴为整数， 为整数， ∴是11的倍数， ∵N的十位数字与千位数字调换后可以组成新的四位数， ∴， 当时，∴d可取的最小自然数为6（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为1（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个各数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为7（要满足是11的倍数）， ∴，此时不符合题意； 当c取别的自然数时，此时a的值一定大于3，即满足题意的N一定比大， 综上所述，满足条件的N的最小值为， 故答案为：9216，． 三、解答题（共9个大题，总分86分，17、18题每题8分，后面每个大题每题10分） 17. 计算： （1）（结果化为正整数指数幂） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据积的乘方和幂的乘方计算，再根据同底数幂相除法则计算，然后根据负整数指数幂解答； （2）根据，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，四边形中，，，请用尺规作图完成基本作图：作的平分线交于点E，连接，则四边形是菱形，请按照题目要求完成尺规作图并根据以下证明思路完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）． 证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）． 是的平分线 ． ． ∴①_______________． ∴②_______________． ∴③_______________． ∴④_______________． ∴四边形是菱形． 【答案】图见解析，，，，四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据角平分线的作图方法作图，证明，根据即可证明四边形是平行四边形．再根据即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）． 是的平分线 ． ． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 19. 先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【详解】解：原式 ， ∵，， ， 当时， 原式 . 20. 如图所示，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，∠AEC=2∠ABC． （1）求证：四边形ABFC为矩形； （2）若△AFD是边长为4的等边三角形，求四边形ABFC的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形ABFC的面积为4． 【解析】 【分析】（1）由条件可证得△ABE≌△FCE，可证得四边形ABFC为平行四边形，再由外角的性质得出∠ABC=∠BAE，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论； （2）由等边三角形的性质得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性质得出∠ACF=90°，得出AC=2，即可得出四边形ABFC的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠ABC=∠FCB， 在△ABE和△FCE中，， ∴△ABE≌△FCE（ASA）， ∴AB=CF，AE=EF， ∴四边形ABFC为平行四边形， ∵∠AEC=∠ABC+∠BAE=2∠ABC， ∴∠ABC=∠BAE， ∴AE=BE=CE=EF，即BC=AF， ∴四边形ABFC为矩形； 【小问2详解】 解：∵△AFD是等边三角形， ∴∠AFC=60°，AF=DF=4， ∴CF=CD=2， ∵四边形ABFC是矩形， ∴∠ACF=90°，∠AFC=60°，∠FAC=30°， 由勾股定理得AC=2， ∴四边形ABFC的面积=AC•CF=4． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 21. 完成下列题目 （1）为何值时，关于的分式方程的解为． （2）当为何值时，关于的方程有增根． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据方程的解是得出答案； （2）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得出方程的解，再根据有增根可得，然后求出m的值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 22. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低元，用元购买A型计数跳绳的数量和用元购买B型计数跳绳的数量相同． （1）求两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买两种型号的计数跳绳共根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型计数跳绳单价为元，B型计数跳绳单价为元 （2）购买A型计数跳绳根时采购费用最少，最少采购费用为元 【解析】 【分析】本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为元，根据题意，得，解方程即可； （2）设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为根，且，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为元， 根据题意，得 ， 解得 经检验是原方程的解． 此时．： 答：A型计数跳绳单价为元，B型计数跳绳单价为元． 【小问2详解】 解：设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为根，即，，且a为非负整数， 根据题意，得 由，得w随a增大而减小， ，且a为非负整数， ∴当时，w取得最小值，最小值为(元)， 答：购买A型计数跳绳根时采购费用最少，最少采购费用为元． 23. 矩形的和两顶点两边分别在直角坐标系的与轴的正半轴上，顶点在第一象限，点坐标为．动点从点出发，沿折线向终点运动．在上速度为每秒个单位长度．在上速度为每秒个单位长度，设点运动的时间为秒．若点为射线上一点，且．连接和，令的面积为，的面积为．回答下列问题： （1）请直接写出、之间的函数关系式以及对应的的取值范围； （2）请在平面直角坐标系中，画出、的图像，并写出一条的性质； （3）请直接写出时，的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）作图见解析；在里，随着的增大而增大；在时，随着的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意将四边形的四个点的坐标表示出来，直接套用面积公式求出的面积；按照点在线段或线段上分类讨论，然后根据几何面积求解； （2）在平面直角坐标系中描点，然后画出图像，观察图像中的性质； （3）联立两解析式求出交点坐标，再根据图像判断符合条件的图像是在交点的左侧还是右侧，在交点左侧，小于交点的横坐标，在交点的右侧，大于交点的横坐标． 【小问1详解】 解；∵四边形是矩形，且点坐标为，和两顶点两边分别在直角坐标系的与轴的正半轴上， ∴， ， ∵点为射线上一点，且， ∴， 即； ∵点在上速度为每秒个单位长度， ， ∴点在上运动的时间是， ∵点在上速度为每秒个单位长度，， ∴点在上运动时间为秒，即； 如图所示： 当点在线段上，即，此时， ， 当点在线段上，即时，此时， 综上所述：； 【小问2详解】 解：画图如下： ①作的图像，当时，；当时，， 在平面直角坐标系中将点描出来，连接两点并延长交原点； ②作的图像，当时，；当时，， 在平面直角坐标系中将点描出来，连接两点并延长交点； ③作的图像， 1 2 3 5 6 6 3 2 1 在平面直角坐标系中将这5个点描出来，用平滑曲线将这5个点顺次连接； ， 由图像可知，在里，随着的增大而增大；在时，随着的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：联立和的解析式， ，解得或（舍）； ，解得（舍），， 由图像可知，当时，， 又∵，， ∴ ． 24. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； （3）将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键是利用轴对称求最短路线． （1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标即可； （3）先求出点，作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标即可． 【小问1详解】 解：点和都在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点和代入得，， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：令，则，解得， 令，则， ，， ， ， ， 或； 【小问3详解】 解：将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 25. 如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连． （1）若点E为的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【小问1详解】 解：证明：如图1中， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； 【小问2详解】 延长到，使得，连接， ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【小问3详解】 取的中点，连接，， ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $