第二章 函数与基本初等函数 测试卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与基本初等函数核心考点，以题组形式构建从基础概念到综合应用的知识逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、7、9|定义域、奇偶性、运算辨析|从函数定义出发，构建定义域、奇偶性等概念体系，强化符号意识| |性质应用|选择4-6、10、11、填空12-13|零点判断、单调性参数、大小比较|以函数性质为核心，推导零点存在性、单调性应用，发展推理意识| |综合应用|选择8、填空14、解答15-19|抽象函数、实际建模、零点综合|整合函数性质与实际问题，通过建模与证明提升数学思维与应用意识|

2027年一轮复习第二章  函数与基本初等函数 高三数学测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 2．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【详解】函数，则， 所以. 3．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用偶函数性质得，得. 周期，，因此. ，且， 则 因此. 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 5．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 6．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    7．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 8．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 11．已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】CD 【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得. 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 13．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可． 【详解】由函数在上单调递减， 则，解得， 所以a的取值范围是． 14．已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可. 【详解】定义在上函数满足，可得为奇函数， 又由，可得有对称轴， 由，可得， 则最小正周期为4， 函数的零点即函数与函数图象交点的横坐标， 又当时，， 在同一坐标系内作出函数与函数图象如下： 两函数图象有3个公共点， 则函数的零点个数是3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数. （2）令，应用作差法比较、的大小即可证. 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 16．已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 17．已知幂函数 (1)求的值及函数的解析式； (2)若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或，或. (2). 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或. 所以或. （2）因为为偶函数，故， 又方程有一正一负两个实根， 即方程有一正一负两个实根， 设方程根为，则，解得. 所以实数k的取值范围为. 18．经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数的取值范围. 【答案】(1)百元 (2) 【分析】（1）比较与的大小后可确定销售量，即可计算得到该月的销售额； （2）均衡价格即为时的价格，设，因为该商品均衡价格不低于每吨6百元，并且每吨的价格为百元，结合函数单调性，故有，，解不等式即得. 【详解】（1）若时，， ，由可得， 所以该月销售额为：（百元）； （2）设， 因为，所以在区间上是增函数， 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，即函数在区间上有零点， 所以，即，解得. 19．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为 (2)当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为 (3)的取值范围为 【分析】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域； （2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，最后判定区间增减性即可； （3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得：，即 ， 所以函数 的定义域为 . （2） ， 定义域为 ， 令 ，则 ， 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上： 当 时， 在上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （3）当 时， ，定义域为 ， 因为 有两个零点，则 在 上有两个不同的解， 即： ， 令 ，，则 ，因此： ， 要使方程 有两个不同解， 即直线 与函数 的图像有两个交点， 则，即 ， 所以实数 的取值范围为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年一轮复习第二章  函数与基本初等函数 高三数学测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 3．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 11．已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 13．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 14．已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 16．已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 17．已知幂函数 (1)求的值及函数的解析式； (2)若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 18．经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数的取值范围. 19．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $