精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年第二学期高三数学5月练习试卷

2025学年第二学期高三数学5月练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，则用列举法表示集合_______. 2. 抛物线的准线方程是__________． 3. 已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______． 4. 样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 5. 二项式，则该展开式中的常数项是______. 6. 已知是关于的方程的两根，则__________. 7. 已知正数、满足，则的最小值为_______. 8. 高三拍毕业照时，、、、、五位同学站成一排照相，在、两位同学不相邻的条件下，、相邻的概率为_______. 9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______． 10. 已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 11. 公比为的无穷等比数列满足恒成立，则的取值范围是_______. 12. 已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 14. 已知，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 15. 周末，小赵同学临时起意想去电影院看电影，当他打开订票软件时，只剩下第1至12排最左边的12个座位，电影院的俯视图如图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小赵想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择第（ ）排的座位？ A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 16. 如果函数的定义域为R，且满足对任意的，均有，则称这样的函数具有“性质P”.有如下两个命题： 命题α：若函数具有“性质P”，且，则； 命题β：“函数对任意的，，均有”是“具有性质P”的充要条件． 关于两个命题的真假判断正确的是（ ） A. 真真 B. 真假 C. 假真 D. 假假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司年前个月的带货金额： 月份 带货金额万元 （1）求关于的线性回归方程，并据此预测年月份该公司的直播带货金额； （2）该公司随机抽取人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 男性 总计 请填写上表，并判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考公式：，； ，其中. 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，平面． （1）证明：平面平面； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角大小． 19. 已知，． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． 20. 已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的方程； （2）若与的面积相等，求出M的坐标； （3）直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 21. 已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. （1）已知，，求的“优点”坐标； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高三数学5月练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，则用列举法表示集合_______. 【答案】 【解析】 【分析】在复数范围内求解方程，将所有解用列举法表示即可得到集合. 【详解】由题意，集合的元素为满足的复数： 设，其中，为虚数单位，代入方程得： ,  根据复数相等的充要条件，实部、虚部分别对应相等，可得方程组：  , 若，则，无实数解，舍去；若，代入第一个方程得，解得, 因此满足方程的解为或，故 2. 抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是 3. 已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解即得. 【详解】令扇形所在圆的半径为，依题意，，所以. 故答案为：3 4. 样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 【答案】 11 【解析】 【详解】因为，所以第40百分位数为第4个数据11. 5. 二项式，则该展开式中的常数项是______. 【答案】180 【解析】 【分析】 求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得，即展开式的常数项是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 已知是关于的方程的两根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得. 【详解】由题意：，所以， 所以，即，解得. 故答案为：. 7. 已知正数、满足，则的最小值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件得出，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正数、满足，则. 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 8. 高三拍毕业照时，、、、、五位同学站成一排照相，在、两位同学不相邻的条件下，、相邻的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】通过计算“不相邻且相邻的排列数”与“不相邻的总排列数”，再结合古典概型，条件概率公式求解即可. 【详解】记、两位同学不相邻为事件，、相邻为事件， 由题意知，、、、、五位同学站成一排照相，共有种排法， 首先计算条件对应的样本空间大小，即不相邻的所有排列数： 采用插空法，先排列三位同学，共种排法； 3位同学排完后形成4个空隙，从中选取2个插入，共种排法，故不相邻的排列总数为； 所以 再计算事件“相邻且不相邻”的排列数： 先将绑定为一个整体，内部排序共种排法； 将该整体与共同排列，共种排法；二者排完后形成3个空隙，从中选取2个插入，共种排法， 故满足条件的排列数为， 所以 所以，由条件概率公式得：. 9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，根据两角和的正弦函数公式可求的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】，，， 由正弦定理，可得：，可得：， 可得：，可得：， 可得：，， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 10. 已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 11. 公比为的无穷等比数列满足恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，不等式显然成立，当时，对分类讨论，对于的情况，根据指数函数单调性即可得到不等式恒成立，对于的情况，先对分析得到，再证明当时，不等式对也成立，综合得到或. 【详解】已知等比数列的通项公式为， 依题意恒成立， 因为，所以恒成立， 当时，该式为，显然成立， 接下来讨论的情况，当时，有， 原不等式等价于，显然成立；当时， 有，原不等式等价于，显然成立； 当时，先分析时的情况，此时不等式为， 即，因为，可化为， 解得或，结合得， 接下来验证当时，不等式对也成立， 当为奇数时，为偶数，， 原不等式等价于即， 因为且，所以该式成立； 当为偶数时，为奇数，， 原不等式等价于即， 因为且，所以该式成立， 故综上所述，或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于合理的分类讨论，其中对于的情况，需要利用时的情况得到必要条件，再证明其充分性. 12. 已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】依题意建系，设，由推得的轨迹方程，设，求出，将其看成关于角的函数，可得，化简得，设，换元化成二次函数，求其最大值即可得解. 【详解】如图以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则，，设， 由可得， 整理得，即， 又，则，即， 故动点在以为直径的单位圆上，其轨迹方程为， 不妨设， 则， ， 将上式看成关于角的函数， 则可得 ， 设，则， 故当时，即时，. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立， 并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 14. 已知，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果. 【详解】 . 15. 周末，小赵同学临时起意想去电影院看电影，当他打开订票软件时，只剩下第1至12排最左边的12个座位，电影院的俯视图如图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小赵想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择第（ ）排的座位？ A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设表示第n排座位的位置、表示第n排座位的水平方向视角，则在中利用勾股定理求出即可利用余弦定理去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角. 【详解】如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角． 16. 如果函数的定义域为R，且满足对任意的，均有，则称这样的函数具有“性质P”.有如下两个命题： 命题α：若函数具有“性质P”，且，则； 命题β：“函数对任意的，，均有”是“具有性质P”的充要条件． 关于两个命题的真假判断正确的是（ ） A. 真真 B. 真假 C. 假真 D. 假假 【答案】D 【解析】 【分析】先根据性质推出，进而判断命题真假，再通过性质证明必要性成立，结合满足该式的函数形式判断充分性成立，从而确定命题真假. 【详解】 由题意可知，性质：对任意，， 所以对任意实数和整数，， 因为，则：，  所以，因此命题为假， 若具有性质，令，则， 又因为，所以， 因此：， 两边取绝对值得，必要性成立， 满足对任意，，则， 无法保证符号始终为正，也就无法推出可加性， 构造符号函数，使得对任意， 始终满足，同时存在使得：  ， 即满足对任意a,b成立，但不满足性质， 因此，由无法推出具有性质， 充分性不成立，命题为假命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司年前个月的带货金额： 月份 带货金额万元 （1）求关于的线性回归方程，并据此预测年月份该公司的直播带货金额； （2）该公司随机抽取人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 男性 总计 请填写上表，并判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考公式：，； ，其中. 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 关于的线性回归方程为，预测年月份该公司直播带货金额为万元； （2） 列联表见解析，有的把握认为参加直播带货与性别有关。 【解析】 【分析】（1）先计算样本均值，代入回归系数公式求得线性回归方程，再将代入方程得到预测值；  （2）先根据已知数据补全列联表，再计算卡方统计量，与临界值对比判断是否存在相关性. 【小问1详解】 由题意，得，。 根据参考数据，得，，则 ，  ， 因此关于的线性回归方程为， 年月对应，代入得（万元），即预测月带货金额为万元. 【小问2详解】 由题意，补全列联表如下： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 男性 总计 代入卡方公式，得， 由于，对应，因此有的把握认为参加直播带货与性别有关. 18. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，平面． （1）证明：平面平面； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线线垂直证明平面，再根据面面垂直的判定即可证明结论； 要证明面面垂直，即需要证明线面垂直，那么过这条线的平面就会垂直于另一平面． （2）先根据三棱锥体积取得最大这个条件得出的结论，再找出二面角的平面角，再根据线段关系和相似三角形求出该二面角的平面角的正切值，进而即可求出其大小． 【小问1详解】 证明：由平面，且平面，则， 又为半圆的直径，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由平面，为半圆的直径，且， ， 当且仅当时，达到最大， 设圆心为，连接，作，且点F在BE上， 连接，作，且点在上，如下图所示， 由，，则，且， 又平面，且平面，则平面平面， 由平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，且，平面，则平面， 又平面，则，所以为二面角的平面角， 在平面上，有，且，， 则，得， 则，， 又，有，得， 则，所以， 故二面角大小为． 19. 已知，． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性和真数大于零来解不等式； （2）解一元一次或一元二次方程，使满足的根只有一个即可. 【小问1详解】 当时，， 则，得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 ，则， 得且， 若，则，得满足； 若，则或且， 若，即，此时方程的根为，满足； 若即， 因为，所以由题意可知，得， 综上，的取值范围为. 20. 已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的方程； （2）若与的面积相等，求出M的坐标； （3）直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的外接圆面积为定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）点代入双曲线方程，点代入渐近线方程，求出得双曲线的方程； （2）与的面积相等，则M是BN的中点，利用中点坐标公式和双曲线方程求出M的坐标； （3）把直线l方程代入双曲线方程，利用韦达定理表示出P，Q两点，得到中点E的坐标， 可求的外接圆方程和面积. 【小问1详解】 双曲线过点，则有， 双曲线的渐近线方程为，点为渐近线上一点，得，解得， 因此双曲线C的方程为. 【小问2详解】 由三点共线，和共顶点A，有公共边，底边都在直线l上， 两个三角形的高(点A到直线l的距离)相等，由面积相等可得底边长， 即M是BN的中点， 设，若M是BN中点，则N的坐标为， 将代入双曲线方程：，解得， 代入双曲线方程得，，即. 【小问3详解】 设过点的直线l方程为，设, 联立直线与双曲线方程得 ， 整理得 ， 由韦达定理得，， 直线AM的方程为，令得，同理得， 因为 ， ， ， 所以PQ中点E的纵坐标恒为，即E为定点， 已知均为定点， 设外接圆方程为，代入三点坐标， 解得，所以外接圆方程为，即， 外接圆半径的平方，因此外接圆面积，为定值. 21. 已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. （1）已知，，求的“优点”坐标； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，由两直线垂直得到，从而得到， 利用点斜式求出切线方程，两条切线方程联立方程组求解，即为“优点”. （2）利用导数的几何意义求出斜率，利用两条直线垂直条件得到的值， 利用点斜式求出两条切线的方程，这两个切线方程通过联立方程组，求出，将其代入得到的值，由的值得到，从而得到所有“优点”所在的直线方程. （3）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令交点为，通过联立两切线方程得到，令，则上式变为 ，由得到，即，要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，将其视为关于的二次方程，则有，通过讨论得到实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 设两条互相垂直的切线的切点横坐标为， 则它们的斜率分别为， 由两直线垂直得，即， 因为，，故或， 即或， 当时，，，则两切点为，， 则切点处的切线方程：， 切点处的切线方程： ，即， 当时，结果同上， 联立方程：，解得，即“优点”为 . 【小问2详解】 因为，所以， 设两切点横坐标为，斜率， 由垂直条件得到，解得， 两个切点分别为， 过的切线方程为，即， 过的切线方程为 ，即， 联立， 两式相减：， 因为，所以， 将代入得到， 由，故，因此所有“优点”都在直线上. 故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为. 【小问3详解】 因为，所以， 设两切点横坐标为，则斜率， 两个切点分别为，， 则过的切线方程为 ， 过的切线方程为 ， 联立两切线方程，令交点为，两式相减， 得到， 左边因式分解： ， 右边因式分解： ， 因为，所以 ， 令，则上式变为， 且满足， 由得到 ， 得到 ， 即， 要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程， 将其视为关于的二次方程， 则有， 即，即，即， 这说明存在实数使得 ， 即或有解， 当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式； 当时，， ，两条切线斜率均非负， 无法满足乘积为，故不成立， 故实数的取值范围是：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $