精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级期末数学试卷

七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则__________. 2. 关于的不等式的解集为____________. 3. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 4. 已知球的体积为，则球的表面积为______. 5. 复数的虚部为___________. 6. 二项式的展开式中的系数为，则_____. 7. 已知数列通项公式，则数列的前9项和为______. 8. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 9. 已知正实数满足，则的最小值为_________． 10. 在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 12. 已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列曲线：①；②；③；④则其中是型曲线的是_________．（填序号） 二、选择题（本大题满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 15. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）. A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数 . （1）求函数的极值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 19. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? （3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， （1）求双曲线的方程； （2）过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； （3）若直线交于点，证明：在定直线上． 21. 已知函数的定义域为，且函数图像连续不断，若它的任一函数值都恰好被取到次，则称是阶覆盖函数，若它的任一函数值都被取到无数次，则称是阶覆盖函数． （1）若是1阶覆盖函数，求实数的取值范围； （2）已知函数图像连续不断，请证明是阶覆盖函数． （3）证明：不存在2阶覆盖函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定集合，再解不等式得解集合，利用交集定义即可求得. 【详解】依题意，. 因，解得，即. 所以. 故答案为： 2. 关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 4. 已知球的体积为，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 5. 复数的虚部为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据复数的代数形式可直接得到其虚部. 【详解】由复数的概念可得复数的虚部为. 故答案为： 6. 二项式的展开式中的系数为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，结合题意即可得方程，求解即可. 【详解】由展开式的通项公式得：， 令，则，所以， 由题意得：，而，故，解得. 故答案为： 7. 已知数列通项公式，则数列的前9项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解. 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 8. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由捆绑法，结合全排列即可求解. 【详解】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 9. 已知正实数满足，则的最小值为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】首先根据对数化简得出的关系式，然后化简，最后用基本不等式求最值. 【详解】已知， 化简得，， 整理为， 由对数运算法则，得， 由题意， 已知. 由基本不等式：， 当且仅当，即时取等号. 将代入，得， . 故答案为：16 10. 在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度. 【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，，其中， 则，，，则， 可得， 则， 故答案为：. 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的非负性求的取值范围，然后两边同时平方解不等式，讨论的不同取值得到不等式的解集，根据题意列方程，解得，即可求得结果. 【详解】∵，∴或 ∵，∴， ∵，∴， 即， 当时，恒成立， ∴不等式的解集是不符合题意，舍去. 当时，， ∴不等式的解集是， 即，即， 则，或（舍去）， 则. 当时，不等式的解集是， 即，即， ∴，即，则（舍去）或（舍去） 当时，， 当，，即时， 不等式的解集是，不符合题意，舍去. 当，，即时， ∵， 当且仅当，即时取等号， ∴当时，， 不等式的解集是或，不符合题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：. 12. 已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列曲线：①；②；③；④则其中是型曲线的是_________．（填序号） 【答案】③④ 【解析】 【分析】将形的问题转化为代数方法及数形结合解决，同时需要注意的是每条曲线的范围即可求解． 【详解】对于①，到直线的距离为， 若直线上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则， 以A为圆心，以为半径的圆的方程为，联立， 解得或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是． 对于②，化为，图形是第二象限内的四分之一圆弧， 此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是． 对于③，曲线为双曲线在第四象限的部分，以为圆心作圆， 由图可知，存在圆半径逐渐变大时，圆与曲线由相切变为相交， 当该圆与曲线相交于两点时，且逐渐接近， 所以存在两点满足 ，所以曲线③是型曲线． 对于④：，化为（）这是椭圆在第二象限的部分. 以为圆心作圆，由图可知，存在圆半径逐渐变大时，圆与曲线由相切变为相交， 当该圆与曲线相交于两点时，存在两点满足 ，因此④是Γ型曲线. 故答案为：③④ 二、选择题（本大题满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出满足两枚骰子出现的点数不一样的基本事件个数，再求出两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件个数，利用古典概型求解. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有个基本事件， 去掉点数一样的基本事件， 得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有个， 其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有，共6个， 由古典概型可得. 故选：A 14. 小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 15. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用三次多项式的因式分解性质说明必要性成立，从而得解. 【详解】设命题为“存在实数，使得既是的零点又是驻点”(即且)，命题为“恰好有两个零点”. 若成立，当时，， 则，满足且， 所以既是的零点又是驻点，但是只有一个零点，所以， 若成立，即恰好有两个不同的实零点，则根据三次多项式的因式分解性质可得： ，其中为函数的两个不同零点， 此时满足且，故成立，即. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 16. 对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）. A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】的几何意义，即向量与的夹角大于等于，结合单位球的性质，通过分析球面上点的分布情况即可确定的最大值. 【详解】设与的夹角为，已知，且，则，所以， 在单位球面上，要使任意两个向量与的夹角大于等于，可以先考虑正多面体的顶点情况. 对于正四面体，它有4个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角大于，满足的条件. 对于正八面体，它有6个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角为，满足的条件. 若，在球面上必然存在两个点，，使得与的夹角小于，不满足条件. 因此，的最大值为6. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可得，然后根据线面平行的判定定理得出证明； （2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案. 【小问1详解】 连接，交于点，则是的中点，连接. 因为分别是的中点，所以. 又因平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因平面，底面为正方形，即两两垂直， 故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，. 易得即为平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数 . （1）求函数的极值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可求解极值， （2）就的符号分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知的定义域为R，且， 令时，， 则的关系为 0 ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取到极大值为1，没有极小值． 【小问2详解】 若，即恒成立， 设，则， ①当时，则恒成立，符合题意； ②当时，则，可知在上单调递增， 因为，所以不恒成立； 当 时，的关系为 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 可知的最小值为，则， 因为，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是 19. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? （3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析， （2）数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. （3）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）根据题目数据完善列联表，然后利用频率估计概率即可求解； （2）利用列联表的数据求出的观测值，与临界值比较即可求解； （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望即可. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为. 【小问2详解】 零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. 【小问3详解】 由题意知的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， （1）求双曲线的方程； （2）过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； （3）若直线交于点，证明：在定直线上． 【答案】（1） （2）24 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用离心率和焦点到渐近线的距离这两个条件，求出的值，从而确定双曲线方程； （2）由双曲线的对称性四边形为平行四边形，故，设出直线的方程，分别与双曲线联立，由计算四边形面积并借助函数的单调性求最小值； （3）写出直线和的方程，联立求解交点的坐标，证明其横坐标为定值. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率，故， 而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为， 而，故， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 显然直线与轴不垂直，设， 由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形， 且为平行四边形的对角线中点，故， 联立，故， 由于均在双曲线右支，故，故， 而 ， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上，四边形的面积的最小值为 【小问3详解】 证明：左顶点，右顶点， 设过的直线方程 直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得，代入 计算：． 由（2）知， 注意到，代入得：， 因此，解得. 故交点的横坐标恒为，即在定直线上. 21. 已知函数的定义域为，且函数图像连续不断，若它的任一函数值都恰好被取到次，则称是阶覆盖函数，若它的任一函数值都被取到无数次，则称是阶覆盖函数． （1）若是1阶覆盖函数，求实数的取值范围； （2）已知函数图像连续不断，请证明是阶覆盖函数． （3）证明：不存在2阶覆盖函数． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“阶覆盖函数”的定义结合函数的单调性和导数计算参数的取值范围； （2）分类讨论结合“阶覆盖函数”的定义证明即可； （3）利用反证法证明结论. 【小问1详解】 由题意可知，的任一函数值只能取到一次， 故在上具有单调性，故不变号， 于是可知恒成立， 则. 【小问2详解】 ：显然函数的定义域为，取序列， 则，因为可以取遍全体整数，且图像连续不断，故的值域为． 下证：对任意的实数，关于的方程都有无数个解 ①若，考虑区间，其中为正整数，令， 因， 当正整数首次超过时，记为，则，即， 由函数零点存在性定理可知，区间上至少存在一个零点， 于是当以后，区间上均有零点，即方程都有无数个解； ②若，显然都是方程的解； ③若，考虑区间，其中为正整数，类似分析同① 综上：对任意的实数，关于的方程都有无数个解， 即的任一函数值都可以被取无数次，即是阶覆盖函数. 【小问3详解】 反证法，假设存在定义在的函数，函数图像连续不断，且它的任一函数值都恰好被取到2次. 设，满足，由题意可知，任意的， 且总有或总有（否则若有，使得， 则，由零点存在性定理知存在，使得，与只有使矛盾）. 不妨设任意的，总有，在区间上达到最大值，按题意，恰好存在唯一的，， 不妨设 为在内的最小值， ，，对， 由图像连续不断，故至少存在， 使得，与题设矛盾； ，对介于及之间的数， 至少存在，使得， 也与题设矛盾，故这样的函数不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $