专题10 新定义型答案【重难点培优：知识梳理+5大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 聚焦实数、坐标系、方程组、不等式四大领域新定义问题，通过分层题型设计培养抽象理解与知识转化能力，体现数学眼光与思维的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数新定义|8题（含高斯定义、新运算☆）|以新运算、新概念（如四次方根）为载体，考查数的性质|从具体数到抽象定义，通过示例转化为代数运算| |坐标系新定义|6题（友好点、绝对距离）|定义新点坐标关系、距离概念，结合图形性质|坐标几何基础→新定义规则→图形表征与推理| |方程组新定义|7题（相异数、对称方程）|新运算下的方程求解、概念辨析（如“亲民点”）|方程解法→新定义转化→参数求解与验证| |不等式新定义|9题（新运算解集、相斥不等式组）|新运算下的不等式（组）求解、解集关系判断|不等式性质→新定义规则→解集分析与整数解| |压轴真题|12题（含跨领域综合题）|多模块融合，考查定义迁移与综合应用|基础定义→多领域关联→复杂问题建模与解决|

专题10 新定义型重难点题型分类 【题型1：实数中的新定义型问题 1】 【题型2：平面直角坐标系中的新定义型问题 3】 【题型3：二元一次方程组中的新定义型问题 4】 【题型4：不等式（组）中的新定义型问题 6】 【题型5：压轴真题 9】 实数中的新定义型问题 1．新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 3．对实数，定义运算，已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．5或 4．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则______． 5．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______． 6．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 7．（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 8．对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 平面直角坐标系中的新定义型问题 1．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点 这样依次得到点，，， ，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于任意一点的“绝对距离”，给出如下定义：若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为．例如：点，因为，所以点的“绝对距离”为．当点的“绝对距离”为时，所有满足条件的点组成的图形为（　　） A． B． C． D． 3．对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第_____________象限． 4．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为________． 5．新定义：在平面直角坐标系中，点A到x轴，y轴的距离的较大值称为点A的“长距”，点B到x轴，y轴的距离相等时，称点B为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求m的值； (2)若点在第四象限，且其“长距”是4，点E的坐标是，试说明点E是“完美点”． 6．在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____； (2)若，，则点坐标为_____； (3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标； (4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 二元一次方程组中的新定义型问题 1．对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 2．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 3．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 4．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 5．定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 6．定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 7．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 不等式（组）中的新定义型问题 1．对于任意实数定义一种运算：，例如，．请根据上述的定义，若不等式，则该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 4．新定义题定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：．不等式的解集为_____________． 5．新定义：对于任何数，符号表示不大于的最大整数．若，则满足．例如：．如果那么的取值范围是____________． 6．定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 7．新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 8．我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． (1)直接写出的值； (2)已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； (3)点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 9．如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）． (1)直接写出与x，的大小关系； 提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系； 提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系． (2)根据（1）中的结论解决下列问题： ①直接写出满足的m取值范围； ②直接写出方程的解． 压轴真题 1．（25-26八年级上·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 2．（25-26六年级上·山东东营·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“+”号表示数的加法，则的值是（　　） A．1 B．0 C．2025 D．-2024 3．（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论： ①第四象限内有无数个“1和点”；②第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；③y轴上没有“3和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 二、填空题 5．（25-26九年级上·重庆开州·月考）如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与个位数字的乘积恰好等于它的百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“调控数”．如：3186，，是“调控数”；又如：4297，，不是“调控数”．若一个“调控数”为，则这个数为 ；对一个“调控数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“调控数”M的最小值是 ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 7．（25-26九年级上·重庆·开学考试）对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为 ；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为 ． 三、解答题 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点． (1)已知点，在点中，点的轴距等点是___________； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是___________（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是___________； (3)已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值． 9．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 10．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 11．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 新定义型重难点题型分类 【题型1：实数中的新定义型问题 1】 【题型2：平面直角坐标系中的新定义型问题 5】 【题型3：二元一次方程组中的新定义型问题 10】 【题型4：不等式（组）中的新定义型问题 16】 【题型5：压轴真题 24】 实数中的新定义型问题 1．新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，根据题意求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数，， ∴，， ∴ ∴的算术平方根为4， 故选：C． 2．对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 3．对实数，定义运算，已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．5或 【答案】C 【分析】此题考查实数运算，根据新定义分别列式计算求出m的值，再判断即可得到答案 【详解】由题意可分两种情况讨论： ①当时，有， 解得，不符合， 此种情况不符合题意； ②当时，有，解得． ，舍去，即． 故选：C． 4．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则______． 【答案】3.8 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，，据此代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：3.8 5．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______． 【答案】5 【分析】将8和9替换定义中的a和b即可计算． 【详解】解：由题意得： 8☆9=+=2+3=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可． 6．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 7．（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）3；（2）见解析 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据题意确定出所求新运算即可 【详解】解：（1）⊕2＝|2|+1 ＝21 ＝3； （2）定义：a*b＝﹣20（a﹣b），（答案不唯一）， *（1）＝﹣20×（1） ＝﹣20×（﹣1） ＝20． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 平面直角坐标系中的新定义型问题 1．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点 这样依次得到点，，， ，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先分别算出，，，，，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则， ， 则 ∴ 同理得，，，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，对于任意一点的“绝对距离”，给出如下定义：若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为．例如：点，因为，所以点的“绝对距离”为．当点的“绝对距离”为时，所有满足条件的点组成的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的特点，理解题意，掌握点到坐标轴距离的计算是关键． 根据题意，当时，，当时，，则或，由此即可求解． 【详解】解：已知若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为， ∴点的“绝对距离”为时，或， 当时，，当时，， ∴或， ∴所有满足条件的点组成的图形为边长为4的正方形， 故选：D ． 3．对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第_____________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的符号特征，根据新定义求出，再根据点的符号特征，判断点所在的安象限即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第三象限， ∴， ∴， ∵ ∴在第四象限； 故答案为：四． 4．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为________． 【答案】3或6 【分析】本题考查了新定义背景下坐标的确定，理解新定义是解答本题的关键． 先根据“完美点”的定义列出绝对值方程求解，再分别将值代入，然后利用“短距”的定义即可得出答案． 【详解】解：∵点是“完美点”， ∴点到轴、y轴的距离相等，即， ∴或， 解得或． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为3； 当时，点． ∵，， ∴“短距”为6． 综上所述，点的“短距”为3或6． 故答案为：3或6 5．新定义：在平面直角坐标系中，点A到x轴，y轴的距离的较大值称为点A的“长距”，点B到x轴，y轴的距离相等时，称点B为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求m的值； (2)若点在第四象限，且其“长距”是4，点E的坐标是，试说明点E是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】本题主要考查了点的坐标，解一元一次方程，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）由“长距”的定义求出的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴， 即或， 解得或； （2）解：∵点在第四象限，且其“长距”是4， ∴，解得， ∴， ∴点E的坐标是， 即点E到x轴，y轴的距离相等， ∴点E是“完美点”． 6．在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____； (2)若，，则点坐标为_____； (3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标； (4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 【答案】(1)8 (2)或， (3)或． (4)见详解 【分析】本题考查了，坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想解决问题． （1）根据题中的定义直接回答即可； （2）由可得点P在x轴上，由可得，据此求出点P的坐标； （3）设点P的坐标为：，分别求出，，根据已知条件可得出，解方程即可点P的坐标． （4）根据可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图象即可． 【详解】（1）解：∵点A坐标为点B坐标为， ∴， 故答案为：8， （2）解：∵， ∴点P在x轴上， ∵ ∴， 设， ∴， 解得：， ∴或， 故答案为：或， （3）解：设点P的坐标为：， ，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴或． （4）解：解：设点P坐标为，则：， ∴． ∴或， 即为一三象限和二四象限的角平分线． 画图如下： 二元一次方程组中的新定义型问题 1．对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 2．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 【答案】B 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题中定义． 根据“”表示出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴有无数组可以满足， 故选：B． 3．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 4．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 5．定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52 (2)13，31 (3)是常数为9，见解析 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义即可判断； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 6．定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的定义，读懂“对称方程”的定义是关键． （1）根据对称方程”的定义写出答案即可； （2）先根据对称方程”的定义写出二元一次方程的“对称方程”，联立构成方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得，的“对称方程”是， （2）由（1）可知，的“对称方程”是， 将这两个方程组成方程组得， 将①代入②得，解得， 将代入①得，， ， 7．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】（1）将点代入，进行判断即可； （2）根据题意，易得，代入，进行求解即可； （3）先把代入求出的关系，再把代入，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故①，②，③，三个点均是“亲民点”； （2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∵点是“亲民点”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵， ∴， 解得． 不等式（组）中的新定义型问题 1．对于任意实数定义一种运算：，例如，．请根据上述的定义，若不等式，则该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义的含义，一元一次不等式的应用，理解新定义，列出不等式是解题的关键．根据新定义，可得到关于 的不等式，解出即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：A． 2．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式，准确理解新定义是解题的关键．根据新定义将不等式转化为关于的一元一次不等式组，求出解集后根据整数解的个数确定的范围。 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 3．对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可． 【详解】解：∵    ， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 4．新定义题定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：．不等式的解集为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．新定义：对于任何数，符号表示不大于的最大整数．若，则满足．例如：．如果那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据若，则满足列出方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 6．定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 7．新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，即可解答； （）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，分情况讨论即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 8．我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． (1)直接写出的值； (2)已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； (3)点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新的“坐标变换规则”列出方程组，即可求解； （2）根据新的“坐标变换规则”，可得，然后根据“非和谐点”的定义，即可求解； （3）根据新的“坐标变换规则”，可得，再由“和谐点”的定义，可得，然后结合点在第二象限，，可得，从而得到关于y的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 和， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ， ∴， 当是关于的“非和谐点”时，， 当是关于的“非和谐点”时，， ∵点和中至少有一个是关于的“非和谐点”， ∴的取值范围为； （3）解：由题意可得，， ∵是关于的“和谐点”， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 9．如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）． (1)直接写出与x，的大小关系； 提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系； 提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系． (2)根据（1）中的结论解决下列问题： ①直接写出满足的m取值范围； ②直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）提示1：通过举例子的形式进行推导即可；提示2：根据得到，进一步推出，则； （2）①根据（1）的结论可得，解不等式组即可；②根据（1）的结论可得，求出，再由为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：提示1：当时，，， 则， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 由“不完全归纳法”可得：； 提示2：，且， ； （2）解：①由（1）的结论得： ， ， 解得； ②由（1）的结论得：， ， ， 解得， ， ， 为整数， 则或， 解得或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，理解新定义，正确求解不等式组是解题关键． 压轴真题 1．（25-26八年级上·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 2．（25-26六年级上·山东东营·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“+”号表示数的加法，则的值是（　　） A．1 B．0 C．2025 D．-2024 【分析】本题考查新定义运算，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据给定的新运算，运用规则进行变形，通过代入特殊数值简化计算，逐步推导得出结果 【详解】解：∵ 对任意有理数 ，有 和 ， 令 ， 则 ， 即 ， 又 ∵ ， ∴ ①， 计算： 令 ， 则 ， 即 ， ∵ ， ∴ ②， ②式代入①式得： ∴， ∴ ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论： ①第四象限内有无数个“1和点”；②第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；③y轴上没有“3和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握“k和点”的定义是解题的关键．根据“k和点”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①“1和点”满足横、纵坐标之和为1， 第四象限内的点横坐标，纵坐标， 只要，即可满足，有无数个这样的点， 所以第四象限内有无数个“1和点”，①正确； ②“2和点”满足， 第一、三象限的角平分线上的点横、纵坐标相等，即， 将代入， 解得：，， 只有这一个点，所以②错误； ③y轴上的点横坐标， “3和点”满足， 当时，， 所以y轴上有“3和点”，所以③错误； ④第三象限内的点横、纵坐标都为负数， 即，，所以， 所以第三象限内没有“k和点”，则 故④正确． 故选：D 4．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 二、填空题 5．（25-26九年级上·重庆开州·月考）如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与个位数字的乘积恰好等于它的百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“调控数”．如：3186，，是“调控数”；又如：4297，，不是“调控数”．若一个“调控数”为，则这个数为 ；对一个“调控数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“调控数”M的最小值是 ． 【分析】本题考查了整式的加减的应用，新定义计算，二元一次方程的解，整除的应用；根据定义可得，进而得出，即可求解；根据定义可得，根据已知可得，，则，根据整除可得能被19整除，得到或38，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是“调控数” ∴ 解得： ∴这个数为； ∵对一个“调控数”， ∴， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数 ∴能被19整除 ∵，，且都为整数， ∴ ∴或38 当时，或或， ∴当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴此时“调控数”M为5153； 当时，，不符合题意； 当时， ∴， ∴， ∴此时“调控数”M为7568 ∴满足条件的“调控数”M的最小值是5153． 故答案为：，5153． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·重庆·开学考试）对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为 ；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为 ． 【分析】本题考查整式的加减，不等式组的应用，根据“方三数”的定义求解即可． 【详解】解：当这个四位数是1234时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1235时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1236时，是平方数，符合题意， 所以最小的“方三数”为； ∵一个“方三数”， ∴是一个平方数， 去掉其千位与个位数字得到一个两位数，则， 去掉千位与十位数字得到一个两位数，则， ∴， ∵除以21余数为3，， ∴， ∴， ∴是一个平方数，且这个平方数必定是的倍数， ∵，， ∴，即 ∴或， ∵满足条件的的最大值， ∴取值时按照千位、百位、十位、个位的顺序尽量从大往小取值， 当时，， 当，时，则，找不到各个数位上的数字互不相等且均不为零的和，不合题意； 当，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 当时，，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 综上所述，满足条件的的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点． (1)已知点，在点中，点的轴距等点是___________； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是___________（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是___________； (3)已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值． 【分析】本题主要考查了新的定义、线段的平移、坐标与图形等知识点，正确理解轴距等点的定义是解题的关键． （1）根据轴距等点的定义逐个判断即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值即可解答；②求出平移后的的坐标，再轴距等点列出等式求解即可； （3）设，可得，且，再根据轴距等点即可列出等式，即可判断出a的最小值． 【详解】（1）解：点两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为． 故点A的轴距等点是． 故答案为：． （2）解：设点E的坐标为， ∵点在第三象限，点E与点为轴距等点， ∴，，，即，满足该等式的值不唯一， 如，，即． ②由①得，， ∴， ∵点与点R为轴距等点， ∴，即， ∴，即， ∴或（不合题意，舍去），得， ∴， ∴． 故答案为． （3）解：设， ∵ ∴，且， ∵两点为轴距等点， ∴， ∴， ∴时，， ∴a的最小值为． 9．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 10．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 11．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 【分析】本题考查了新定义“汇和数”和有理数混合运算． 【详解】（1）证明：，且， 是一个3阶“汇和数”； （2）证明：若n是一个k阶“汇和数”， 不妨设，， 则， 且， 故是阶“汇和数”； ， 且， 故是阶“汇和数”； （3）①解：505是“汇和数” 理由：由（1）知11是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， 是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， ，，，， 是“汇和数”； ②证明：设，， ， ， 是一个阶“汇和数”． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $