专题10.2【提升】含参数的二元一次方程组5大题型专项突破（期末复习）2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦含参数二元一次方程组的5大核心题型，通过“例题+变式”构建从概念理解到综合应用的阶梯训练，强化参数与解的关系分析，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |错解复原问题|1例+3变式|利用错解求参数|基于方程组解的定义，区分看错参数对解的影响，培养符号意识| |同解问题|1例+3变式|解相同求参数|联立不含参数方程求公共解，代入含参方程推理参数，强化推理能力| |解满足条件问题|1例+3变式|解满足特定关系求参数|用参数表示解后代入条件等式，体现模型意识| |整数解问题|1例+3变式|解为整数求参数|用参数表示解后分析整数条件，发展运算能力| |解的存在性问题|1例+3变式|无解/无数解求参数|依据方程组解的判定条件（系数关系）推理，深化逻辑思维|

专题10.2【提升】含参数的二元一次方程组 【5大题型专项突破】 【题型1 二元一次方程组中的错解复原问题】.........................................................................................1 【题型2 二元一次方程组中的同解问题】.................................................................................................4 【题型3 二元一次方程组中解满足某个条件问题】.................................................................................7 【题型4 二元一次方程组中的整数解问题】.............................................................................................9 【题型5 二元一次方程组中的解的存在性问题】...................................................................................12 题型1 二元一次方程组中的错解复原问题 【例1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】正确解：必须同时满足方程组中的每一个方程．错误方程的解：它满足的是“被看错系数后”的新方程组，因此，它一定满足那些没有被看错系数的方程，就能将看似混乱的条件清晰地转化为几个简单的方程，从而轻松求解． 【详解】解：将代入方程组得到， 将代入方程得到， 整理得， 解得． 【变式1-1】（25-26七年级下·福建漳州·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为． (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)a的值为1，b的值为2 (2) 【分析】（1）将甲的解代入方程，将乙的解代入方程，分别求解即可； （2）将a，b的正确值代入原方程组求解即可． 【详解】（1）解：将甲的解代入方程， 可得：， 解得：． 将乙的解代入方程， 可得：， 解得：． ∴a的值为1，b的值为2； （2）解：将，代入原方程组可得， 解方程组得． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东东莞·期中）甲、乙两位同学解方程组时，由于甲看错方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】先利用甲、乙的错解分别求出原方程组中正确的和，再代入原方程组，用加减消元法求解即可 【详解】解：甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足方程② 把代入，得 整理得 解得 乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足方程①， 把代入，得 整理得 解得 因此原方程组为 得 得 解得 把代入①得 解得 因此原方程组的正确解为 【变式1-3】（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】． 【分析】将代入方程，将代入方程，求出，的值，再把，代入解方程组即可． 【详解】解：将代入方程，得：，解得， 将代入方程，得：，解得， 把，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 题型2 二元一次方程组中的同解问题 【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）若两个关于x，y的方程组和的解相同，求a，b的值． 【答案】 【分析】先解方程组，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由题意，可知关于x，y的方程组的解满足和． 解方程组得． 把代入， 得． 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【答案】， 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，进而求出a、b的值即可． 【详解】解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【答案】0 【分析】先求出，再将代入，解得，即可得到答案． 【详解】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解， 解得， 将代入，得， 解得， ． 【变式2-3】（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个方程组的解相同，得出新的方程组，求出解，然后根据方程组的解求出参数； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：∵两方程组的解相同， ∴x，y满足， 解得， ∴方程组相同的解为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得，代入得，． 题型3 二元一次方程组中解满足某个条件问题 【例3】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）若关于，的方程组的解满足，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的关系求参数，运用整体思想求解即可，将方程组中两个方程相减整理得到关于的表达式，再结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式3-1】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）若方程组的解x，y互为相反数，则______． 【答案】3 【分析】根据二元一次方程组的解x，y互为相反数，推出，再代入二元一次方程组，即可求出k的值． 【详解】解：∵x，y互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【变式3-2】（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 【变式3-3】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组两个方程相加整理得到的表达式，结合已知条件建立关于k的一元一次方程即可求解． 【详解】解：， 由得，， ， 解满足， 解得：． 题型4 二元一次方程组中的整数解问题 【例4】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【答案】C 【分析】先通过加减消元法解方程组，再根据为整数，m为正整数，确定是28和70的正公约数，进而求出m的值． 【详解】解： ∵ ①+②得 ∴ 将代入②得 ∵ 方程组的解均为整数，为正整数 ∴ 是28和70的正公约数，且 28和70的正公约数为 符合条件的或 当时，；当时， ∴ 正整数的值为2或9． 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为正整数，则非负整数a的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把a看作常数，利用加减消元法求解，根据求出的方程组的解是正整数，a为非负整数，得出或4，求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∵方程组有正整数解，a为非负整数， ∴或4， 解得或2， 故答案为：0或2． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【答案】1或4 【分析】先解方程组得，根据方程组的解是整数，且a是正整数，可得或4，再将a的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组，得 ， ∵a是正整数， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是6的因数， ∴或6， ∴或4， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，或4． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 【答案】3或15 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组得出，，结合二元一次方程组的解是正整数求出或，分情况代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：， 由可得：， ∴， 将代入②可得：， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为3或15． 题型5 二元一次方程组中的解的存在性问题 【例5】（25-26七年级下·重庆万州·期中）若关于，的方程组有无数个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键． 根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴，则 故答案为：． 【变式5-1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 【答案】/0.5 【分析】先将二元一次方程组化为关于x的一元一次方程，由二元一次方程组无解，得到，求出k的值即可． 【详解】解：由方程组，得 ， ， ∵原方程组无解，且， ∴， 解得． 【变式5-2】（25-26七年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2【提升】含参数的二元一次方程组 【5大题型专项突破】 【题型1 二元一次方程组中的错解复原问题】.........................................................................................1 【题型2 二元一次方程组中的同解问题】.................................................................................................2 【题型3 二元一次方程组中解满足某个条件问题】.................................................................................2 【题型4 二元一次方程组中的整数解问题】.............................................................................................3 【题型5 二元一次方程组中的解的存在性问题】.....................................................................................4 题型1 二元一次方程组中的错解复原问题 【例1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【变式1-1】（25-26七年级下·福建漳州·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为． (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东东莞·期中）甲、乙两位同学解方程组时，由于甲看错方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【变式1-3】（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 题型2 二元一次方程组中的同解问题 【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）若两个关于x，y的方程组和的解相同，求a，b的值． 【变式2-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【变式2-3】（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 题型3 二元一次方程组中解满足某个条件问题 【例3】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）若关于，的方程组的解满足，则______． 【变式3-1】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）若方程组的解x，y互为相反数，则______． 【变式3-2】（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【变式3-3】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 B． 题型4 二元一次方程组中的整数解问题 【例4】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为正整数，则非负整数a的值为______． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 题型5 二元一次方程组中的解的存在性问题 【例5】（25-26七年级下·重庆万州·期中）若关于，的方程组有无数个解，则的值为______． 【变式5-1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 【变式5-2】（25-26七年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $