专题10.1 解二元一次方程组 5大题型专项突破（期末复习）2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦解二元一次方程组的5大核心方法，构建从基础解法到综合应用的系统性训练体系，以题载法培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代入法|1例+5变式|消元变形代入技巧|基于等式性质的基础解法| |加减法|1例+5变式|系数配平消元规则|方程变形与加减运算结合| |换元法|1例+3变式|整体代换简化策略|体现数学抽象与整体思想| |整体代入法|1例+3变式|代数式整体代换方法|强化推理意识与转化能力| |适当方法选择|1例+3变式|解法优化决策路径|综合应用前4类方法解决复杂问题|

专题10.1【强化】解二元一次方程组 【5大题型专项突破】 【题型1 代入法解二元一次方程组】.........................................................................................................1 【题型2 加减法解二元一次方程组】.........................................................................................................7 【题型3 换元法解二元一次方程组】........................................................................................................12 【题型4 整体代入法解二元一次方程组】................................................................................................16 【题型5 用适当的方法解二元一次方程组】............................................................................................21 题型1 代入法解二元一次方程组 【例1】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②，得 去括号、合并同类项：，即 解得： 将代入①，得 ∴ 方程组的解为 （2） 由②得： 将代入①，得 去括号、合并同类项：，即 解得： 将代入，得 ∴ 方程组的解为 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 即，解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 将代入②中得：， 即，解得， 把代入①中得：，即， 则方程组的解为． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）用代入法解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1-3】（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法解答即可； （2）利用代入法解答即可． 【详解】（1）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是； （2）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 【变式1-4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由①得③， 把③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③，解得， 所以这个方程组的解是． 【变式1-5】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 把②代入①，得 解这个方程，得． 把代入②得，． 所以这个方程组的解是； （2）解： 由②，得③． 把③代入①，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为； （3）解： 由①，得③． 把③代入②，得． 解这个方程，得． 将代入③，得． 所以这个方程组的解是． 题型2 加减法解二元一次方程组 【例2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得， 则方程组的解为； （2）解： 整理得 得，， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）用加减消元法解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 故方程组的解为：； （2）解：将方程组变形可得：， 得：， 解得，         将代入①，可得：， 解得， 故方程组的解为：． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川眉山·期中）用加减消元法解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）用加减消元法求解方程组即可； （）整理后用加减消元法求解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 解：由方程组整理得， 由，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式2-3】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入，得，解得； 因此方程组的解为； （2）解：， ，得，解得； 把代入，得，解得； 因此方程组的解为. 【变式2-4】（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）用加减消元法解下面的方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ①得，③ ②得，④ ③④得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为：； （2）解： 由①得：③ 由②得：④ ③得，⑤ ⑤④得， 解得： 将代入③得， 解得： ∴方程组的解为： 【变式2-5】（25-26七年级下·山东聊城·期中）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组变形为 由得，， 解得 将代入得，， 解得 ∴原方程组的解为． 题型3 换元法解二元一次方程组 【例3】（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 【变式3-1】（25-26六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：令， 原方程组为， 得，解得， 将代入得，解得， ， 得，解得， 将代入得，解得， ． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆永川·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解：设，， 则原方程组化为：， 即， 得：， 即， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即， 又由得：， 解得， 把代入得：， ∴． 【变式3-3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 【答案】 【分析】模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理可得原方程组的解为． 【详解】解：设， 则原方程组可化为关于的方程组 由①＋②×2得，解得， 把代入②，得， ，整理得， 两式子相加得，， 把代入，解得， 原方程组的解为 题型4 整体代入法解二元一次方程组 【例4】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 【答案】 【详解】解：由②，得                      ③ 将①变形得  ④ 把③代入④，得                        把代入③，得                         这个方程组的解是 【变式4-1】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 【答案】(1) (2)该方程组有无数个解，其解为（t为任意实数） (3)无法确定的值 【分析】（1）使用“整体代入”的思想解方程组即可． （2）根据第二个方程是第一个方程的2倍，两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解． （3）同（2）可知该方程组有无数个解．故无法确定的值． 【详解】（1）解： 由①得：， 将整体代入②，得， 去括号、合并同类项：，即， 解得：， 将代入①，得，解得， ∴ 方程组的解为； （2）解：有无数解， 理由：第二个方程是第一个方程的2倍， 两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解， ∵（x为任意实数）， ∴其解为（t为任意实数）． （3）解：无法确定的值， 理由：方程组中，第二个方程是第一个方程的2倍，实际上只有一个独立方程，x、y的值不唯一，因此的值无法确定． 【变式4-2】（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考： 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． (1)善于思考的小军在解方程组时， 选择将方程②进行变形，得到 把①代入③求得这个方程组的解 请思考上述小军同学的思路中，当成整体的是__________，从而求出这个方程组的解是__________． (2)请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将方程②进行变形，得到，即，故把看成一个整体，再代入消元求解即可； （2）整理方程组得：，由②得③，再用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将方程②进行变形，得到， 将①代入③得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为：； （2）解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【变式4-3】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）按要求完成下列各题： (1)观察发现：解方程组 将①整体代入②，得，解得．将代入①，解得． 所以原方程组的解是．这种解法称为“整体代入法”． 请写出方程组的解为______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． (3)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）将①式整体代入②求解即可； （2）先将①式进行变形得③，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形得③，由②，得，求出，将代入③，得，进而可求出的值． 【详解】（1）解：已知方程组 将①整体代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得 所以原方程组的解为 （2）解： 由①得③ 将③整体代入②，得， 化简得， 解得， 将代入③，得， 解得， 所以原方程组的解为； （3）解：， 由①变形得， 整理得③， 由②，得， ， 两边同乘得， 解得， 将代入③，得， 所以． 题型5 用适当的方法解二元一次方程组 【例5】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）选择合适的方法解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由②可得出， 把代入①得， 解得， 把代入得∶， ∴方程组的解为． （2）解： 整理得： 由①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴方程组的解为． 【变式5-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）用适当的方法解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察方程组，第一个方程中、的系数绝对值均为1，适合用代入消元法：先由 变形得到，再代入第二个方程消去，先求的值，再反求； （2）观察方程组，两个方程中的系数存在倍数关系（4是2的2倍），适合用加减消元法：将方程乘以2，使的系数与方程中的系数相同，再两式相减消去，先求的值，再反求． 【详解】（1）解：由方程，变形得 ， 将其代入方程， ， 展开并化简：， 解得：， 把代入：， 方程组的解为 ． （2）解：方程 两边同乘2，得： ， 用其减去方程： ， 展开并化简：， 解得：， 把代入方程： ， 解得：， 方程组的解为 ． 【变式5-2】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法即可求解； （2）把①式整体代入②式即可求解． 【详解】（1）解： 得： 把代入①式得 方程组的解为． （2）解： 把① 式代入② 式得 解得 把代入①式得： 方程组的解为 ． 24．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法消去y．先求出x的值．再代入求出y的值． （2）通过换元法简化原方程组．求解后回代得到原方程组的解． 【详解】（1）解： 得 得 解得 把代入①得 解得 因此方程组的解为 （2）解：设，， 原方程组可化为 得 得 解得 把代入②得 解得 因此可得 两式相加得 解得 把代入得 因此原方程组的解为 【变式5-3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得，即③， 得，即④， 得， 解得， 把代入③得， 解得， 所以，方程组的解为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1【强化】解二元一次方程组 【5大题型专项突破】 【题型1 代入法解二元一次方程组】.........................................................................................................1 【题型2 加减法解二元一次方程组】.........................................................................................................2 【题型3 换元法解二元一次方程组】.........................................................................................................3 【题型4 整体代入法解二元一次方程组】.................................................................................................5 【题型5 用适当的方法解二元一次方程组】.............................................................................................7 题型1 代入法解二元一次方程组 【例1】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）解下列方程组： (1) (2) 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组． (1) (2) 【变式1-2】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）用代入法解方程组： (1) (2) 【变式1-3】（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式1-4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式1-5】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 题型2 加减法解二元一次方程组 【例2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）用加减消元法解方程组 (1) (2) 【变式2-2】（25-26七年级下·四川眉山·期中）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【变式2-3】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【变式2-4】（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）用加减消元法解下面的方程组： (1) (2) 【变式2-5】（25-26七年级下·山东聊城·期中）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 题型3 换元法解二元一次方程组 【例3】（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2) 运用上述方法解下面的方程组： 【变式3-1】（25-26六年级下·上海·期中）解方程组：． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆永川·期中）解方程组： 【变式3-3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 题型4 整体代入法解二元一次方程组 【例4】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 【变式4-1】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 【变式4-2】（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考： 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． (1)善于思考的小军在解方程组时， 选择将方程②进行变形，得到 把①代入③求得这个方程组的解 请思考上述小军同学的思路中，当成整体的是__________，从而求出这个方程组的解是__________． (3) 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【变式4-3】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）按要求完成下列各题： (1)观察发现：解方程组 将①整体代入②，得，解得．将代入①，解得． 所以原方程组的解是．这种解法称为“整体代入法”． 请写出方程组的解为______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． (3)已知，满足方程组，求的值． 题型5 用适当的方法解二元一次方程组 【例5】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）选择合适的方法解方程组： (1) (2) 【变式5-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）用适当的方法解下列方程组． (1) (2) 【变式5-2】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）解下列方程组： (1) (2) 24．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）解下列方程组： (1) (2) 【变式5-3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）解方程组：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $