精品解析：辽宁丹东市振兴区丹东市第五中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025-2026（下）八年级期中教学质量监测数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 1. 下列四幅图分别对应节气“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个选项中，只有C选项中的不等式成立， 故选C． 3. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 4. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误； C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确； 故选：D． 5. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由旋转的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵将线段平移后，点的对应点的坐标为， ∴平移规则为先向左平移个单位，再向上平移5个单位， ∴点的对应点的坐标为，即. 7. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D、无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于点E，连接CE，如果，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，可得出，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ， 的垂直平分线交的平分线于， ， ， 设， ，， 在中， ， 解得：， ． 9. 若不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 10. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，交的延长线于， 由作图步骤①可知，平分，  ，，  ，， 在和中，  ，  ， ， 由作图步骤可知，垂直平分，点在上，  ，  ，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ，，  ， ，  ，  ， 解得， 在中，， 即点到直线的距离为． 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 12. 如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象即可确定不等式组的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：把代入， 可得， 解得， ， 由图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 13. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 故答案为． 14. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若点M是边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点，则线段长度的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、垂线段最短，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得，从而可得当时，的长度最小，则长度的最小，然后利用三角形的面积公式求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的长度最小，则长度的最小， ∴此时， ∴， 则线段长度的最小值是， 故答案为：． 15. 如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接．则当的度数为_______时，是等腰三角形． 【答案】 或或 【解析】 【分析】先证和为等边三角形，用证，推导出的三个内角，再分三种等腰情况列方程，求出的度数为、或． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ 即：， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 由三角形内角和得： 等腰三角形，分三种情况： 若：则，即，解得； 若：则，即，解得； 若：则，即，解得 综上，的度数为、或． 三、解答题（共70分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）   （2）   【解析】 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将原式整理为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，最后提取公因式得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 18. 如图，各顶点的坐标分别为 （1）请画出先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的； （2）请画出绕点逆时针旋转后得到； （3）若与关于某点成中心对称，且，请写出对称中心的坐标_____________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C平移后对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C绕点逆时针旋转后对应点、、，然后顺次连接即可； （3）根据中点坐标公式求出的中点，即可得出对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：作出点A、B、C平移后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示： 【小问2详解】 解：作出点A、B、C绕点逆时针旋转后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示： 【小问3详解】 解：∵与关于某点成中心对称， ∴对称中心为的中点， ∵点，， ∴的中点坐标为， 即的中点坐标为， ∴对称中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转作图，中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是作出平移或旋转后，点A、B、C对应点的位置． 19. 我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 【答案】（1） ( 且 为整数 ) （2）550元 【解析】 【分析】（1）根据总利润甲种商品利润乙种商品利润即可解决问题； （2）列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【小问1详解】 解：与的函数关系式为且为整数； 【小问2详解】 解：∵该商场计划最多投入2300元， ∴ ， 解得， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大为 （元）， ∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是元． 20. 如图，在中，，是的角平分线，，． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据角平分线的性质，过点作于点，作于点F，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵，是的角平分线，，， ∴，， 在中，， 设， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴，即． 21. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】（1）玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 （2）， （3）在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【解析】 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【小问1详解】 解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； 【小问2详解】 解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 22. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②， 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为________； （2）解一元二次不等式； （3）解分式不等式． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （2）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （3）利用分式的性质，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ①或②， 解①得；解②得， 故一元二次不等式的解集为：或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ①或②， 解①得；解②无解， 故一元二次不等式的解集为：； 【小问3详解】 解：∵． ①或②， 解①得；解②得． 故不等式的解集为或． 23. 如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转（）得到，点A，C的对应点分别为点E，D，连接，与的延长线交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点E作，交延长线于点G．求证：； （3）如图3，若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转得出相等的边和角，利用等边对等角以及余角定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出内错角相等，借助（1）的结论得出，根据等角对等边得出，证明即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质得出等边三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：根据旋转的性质可得，， ∴，且， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴根据旋转的性质可得，与为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由（2）可得， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（下）八年级期中教学质量监测数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 1. 下列四幅图分别对应节气“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 4. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于点E，连接CE，如果，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 12. 如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是____． 13. 若分式的值为零，则______． 14. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若点M是边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点，则线段长度的最小值是_________． 15. 如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接．则当的度数为_______时，是等腰三角形． 三、解答题（共70分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 计算： （1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，各顶点的坐标分别为 （1）请画出先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的； （2）请画出绕点逆时针旋转后得到； （3）若与关于某点成中心对称，且，请写出对称中心的坐标_____________． 19. 我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 20. 如图，在中，，是的角平分线，，． （1）求的面积； （2）求的长． 21. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 22. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②， 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为________； （2）解一元二次不等式； （3）解分式不等式． 23. 如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转（）得到，点A，C的对应点分别为点E，D，连接，与的延长线交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点E作，交延长线于点G．求证：； （3）如图3，若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $