2026年浙江省杭州市上城区中考二模考试数学试题

2025学年第二学期九年级学情调查（二） 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分斌题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2、答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题 卷和答题纸规定的位置； 3.不得使用计算器；如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑： 4.务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上与试卷题号对应区域规范作答，注意不要 错位，在本试题卷上作答一律不得分。 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，年小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.小明准备去东北雪乡旅游，出发 城市 沈阳 长春 哈尔滨 大连 前了解东北城市的当日最高温度如 温度 -10℃ -12℃ -15℃ -8℃ 右裘，其中温度最高的城市是( A.沈阳 B.长春 C.哈尔滨 D.大连 2.如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半)，得到的几何体 如图所示，它的俯视图是（) A B 主视方向 (第2题图) 3.某市人工智能领域融资总额高达103.9亿元，覆盖大模型、具身智能、AI算力、行业 应用等全产业链。103.9亿用科学记数法可以表示为（) A.103.9×108 B.1.039×109 C.1.039×1010 D.0.1039×1011 4,如图，将纸带沿AB折叠，下列能判定纸带的两条边线m,n互相 平行的是（) A.∠1=∠4 B.∠1=∠3 B C.∠1=∠2 D.∠2=∠4 (第4题图) 2025学年第二学期九年级学情调查（二) 第1页共6页 5.当5个自然数a,b,5,6,6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众 数是6，那么所有满足条件的a,b中，ab的最大值是（) A.12 B.10 C.8 D.6 6.如图，△ABC中，AB=BC,∠CBA=120°。将△ABC D 绕点A顺时针旋转110得到△ADE,点B、C的对应点 分别为点D、E。那么∠CAD的度数为() A.70° B.80° (第6题图) C.90° D.100° 2.1 7.设a,b,c是互不相等的实数，且a+二c=b,下列式子正确的是（) 3 3 A.a>b>c B.c>b>a C.a-c=3(a一b) D.a-c=4 (a-b) 8.某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了25%。因此，按照原收费标 准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟。如果设原收费标准下每分钟 收费x元，则根据题意可列出方程() 6 6 6=10 6 A. B. 25%x 6-10 (1-25%)x 66 -10 D. 6 C. =10 x25%x X (1-25%x 9.如图，△ABC中，∠ABC=60°，AC>AB。利用直尺和圆规作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA于M, 交BC于M②分别以点MN为圆心，大于二N 长为半径作弧，两弧相交于点F,作射线BF交AC 于点G:@分别以点么、C为圆心，大于4C长为 H B 半径作弧，两弧相交于点D,E两点，连接DE,交 (第9题图) BF于点P,交BC于点H,连接AP,CP。下列判断 错误的是() A.∠ABP=30° B.PA=PC C.若PIlBC,则四边形ABHP是菱形D.∠BAP=90+∠PCA 2025学年第二学期九年级学情调查（二) 第2页共6页 10.已知点A（m,y)在直线h:y=cx十k上，点B（m一1，y2)在直线2：y=一ac一k 上。下列结论正确的是（) A:若k>0时，0<2≤州，则m>- B.若k>0时，0<y2<y,则m<0 C.若<0时，n<<0,则-1<m<-】 D.若<0时，2<n<0,则- <m<0 3 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。 11.已知 x=-2 是方程2x一my=2的…个解，那么m的值是▲一。 y=3 12.分解因式：x3一4x=▲ 13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠OAB=50°，则∠ACB 的度数是▲一。 14.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后， 指针分别落在数字1、2、3所示区域内。随机转动两次，则两次 (第13题图) 数字相同的概率为▲。 15.假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面 积也随之变化。《圆锥体积V=二S%,其中S(cm2)表示圆锥的 01202 120i 底面积，h(cm)表示圆锥的高线长)。某工厂要制作一系列等 (第14题图) 体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为 30 cm,高线长为10cm。当高线长限定为50≤h<100时， 底面积的取值范围为▲一。 G 16.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E为边CD上- 点，且CE=2DE,连接BE。若点G为点D关于BE的对称 C 点，连接DG并延长交BC延长线于点F,连接BG,则FG (第16题图) =▲。 2025学年第二学期九年级学情调查（二) 第3页共6页 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步镰骤。 17.(本小题满分8分)计算：22--V8-W2。 5x-2>3(x+1) 18.(本小题满分8分)解不等式组： 2x-17- 19.(本小题满分8分)随着人工智能的快速发展，初中生使用A大模型辅助学习快速 普及，并呈现出多样化趋势。某中学为了解本校学生日常使用AI大模型辅助学习次数的 情况，随机抽取部分学生进行 条形统计图 扇形统计图 问卷调查，按每周使用次数(x 人数 20 次)分为四组（A:x<15;B: 15 15≤x<20:C:20≤x<25: 109% D:x≥25)，根据调查结果， m% 绘制了如下尚不完整的条形 B 组别 统计图和扇形统计图。 (第19题图) 根据以上信息，解答下列问题 (1)本次抽取的学生人数为▲人，扇形统计图中m=▲一。 (2)求D组的人数，并补全条形统计图。 (3)若该校共有1200名学生，估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有多少人。 20.(本小题满分8分)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 点E为BC边一点，DE交AC于点F,∠AFD=2∠DAF,连接BF。 (1)求证：△DOF为等腰三角形。 (2)若F是OC中点，AC=5,AD=4,求BF的长。 B (第20题图) 2025学年第二学期九年级学情调查（二) 第4页共6页 21.(本小题满分8分) (1)观浆发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ①1×2×3×4+1=52 ②2×3×4×5+1=112 ③3×4X5×6+1=192 ④4X5X6X7+1=▲。 (2)思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为n(n+1)n+2)(n+3)+1=▲一。 ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方。 小明的部分证明过程如下： 证明：原式=[n(n+3)][(n+1)(n+2]+1 =(m2+3n)n2+3n+2)+1 设M=n2+3n,则原式=M(M十2)+1 小明证明过程中用了▲思想方法，谢把小明没有完成的过程补充完整。 (3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于1092，求四个正整数巾最小的整数。 22.（本小题满分10分)定义：若一个三角形存在两个内角之差为90°，则成这个三角形 为“差直角三角形”。例如，在△ABC中，∠A=110°，∠B=20°，∠C=50°，满足∠A 一∠B=90°，所以△ABC是“差直角三角形”。 (1)若△ABC是差直角三角形，∠A=120°，则sinB的值为▲一。 (2)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，求证：△ABD是差 直角三角形。 (3)如图2，在△ABC中，AB=AC,BC=8,tanB= 4'点D是边AB上一动点(BD< CD),若△ABD是差直角三角形，求AD的长度。· D B C 图1 图2 (第22题图) 2025学年第二学期九年级学情调查（二） 第5页共6页 23.(本小题满分10分)已知二次函数y=a2十bx十c(a,b,c为常数)的图象与y轴 交于点(0，一1)，且过点（2，一1)。 (1)求a与b的关系式。 (2)若a<0,当一1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值。 (3)在(2)的条件下，若点M(1,m),点N(1十1，n)两点在该函数图象上，且一9 <n≤m,求t的取值范围。 24.(本小题满分12分)如图，CD是⊙0的切线，D是直径AB延长线上的一点，连结 AC、BC,设∠A=a(0°<a<45°)。 (1)若a=20,求∠D。 (2)延长BC至E,使BC=CE,过点E作AB的垂线，分别交AC、AB于点F,H。 @若na=,直径AB=10,求B班的长。 ②求证： S4erc=l-tan2a。 SABCD E B D 图1 图2 (第24题图) 2025学年第二学期九年级学情调查（二) 第6页共6页2025学年第二学期九年级学情调查 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分： 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题 卷和答题纸规定的位置： 3.不得使用计算器：如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑： 4.务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上与试卷题号对应区域规范作答，注意不要 错位，在本试题卷上作答一律不得分。 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.小明准备去东北雪乡旅游，出发 城市 沈阳 长春 哈尔滨 大连 前了解东北城市的当日最高温度如 温度 -10℃ -12℃ -15℃ -8℃ 右表，其中温度最高的城市是(D A.沈阳 B.长卷 C.哈尔滨 D.大连 2.如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半)，得到的几何体 如图所示，它的俯视图是(A) A 主视方向 (第2题图) D 3.某市人工智能领域融资总额高达103.9亿元，覆盖大模型、具身智能、AI算力、行业 应用等全产业链。103.9亿用科学记数法可以表示为(C) A.103.9×108 B.1.039×109 C.1.039×1010 D.0.1039×10川 4.如图，将纸带沿AB折叠，下列能判定纸带的两条边线m,n互相 平行的是(A) A.∠1=∠4 B.∠1=∠3 人4 C.∠1=∠2 D.∠2=∠4 (第4题图) 2025学年第二学期九年级学情调查 第1页共10页 5.当5个自然数a,b,5,6,6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众 数是6，那么所有满足条件的a,b中，ab的最大值是(A) A.12 B.10 C.8 D.6 6.如图，△ABC中，AB=BC,∠CBA=120°。将△ABCC 绕点A顺时针旋转110°得到△ADE,点B、C的对应点 分别为点D、E。那么∠CAD的度数为(B) A.70° B.80° (第6题图) C.90° D.100° 设a,6,c是互不相等的实数，且Q+,C=b,下列等式正确的是（C A.a>6>c B.c>b>a C.a-c=3 (a-b) D.a-c=4 (a-b) 8.某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了25%。因此，按照原收费标 准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟。如果设原收费标准下每分钟 收费x元，则根据题意可列出方程(B) 6_6=10 6 A. B. 6=10 25%xx (1-25%)x c.66 D.6 6 =10 =10 x25%x x(1-25%)x 9.如图，△ABC中，∠ABC=60°，AC>AB。利用直尺和圆规作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA于M, 交BC于N:②分别以点M、N为圆心，大于N A G 长为半径作弧，两弧相交于点F,作射线BF交AC M/F 于点G:®分别以点A、C为圆心，大于】4C长为 H 半径作弧，两弧相交于点D,E两点，连接DE,交 (第9题图) BF于点P,交BC于点H,连接AP,CP。下列判断 正确的是(D) A.∠ABP=30 B.PA=PC C.若API∥BC,则四边形ABHP是菱形D.∠BAP=90+∠PCA 2025学年第二学期九年级学情调查 第2页共10页 10.己知点A(m,y)在直线11：y=c+k上，点B(m一1,2)在直线2：y=一x一k 上。下列结论正确的是（C) A.若k>0时，0<2<，则m>- 2 B.若k>0时，0<y2<y,则m<0 C.若<0时，n<n<0,则-1<m<- 2 D.若k<0时，<n<0,则-<m<0 2 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。 1.已知X=,2是方程2x-m=2的一个解，那么m的值是一-2_。 y=3 12.分解因式：x3-4xx(x十2)-2)。 13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠OAB=50°，则∠ACB 的度数是40°。 14.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后， 指针分别落在数字1、2、3所示区域内。随机转动两次，则两次 (第13题图) 1 数字相同的概率为 一 15.假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面 01202 积也随之变化。（圆锥体积r=上sh,其中S(cm2)表示圆锥的 120 3 (第14题图) 底面积，h(cm)表示圆锥的高线长)。某工厂要制作一系列等 体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为 3 cm,高线长为10cm。当高线长限定为50≤h<100时， 底面积的取值范围为3≤S≤6。 16.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E为边CD上一 点，且CE=2DE,连接BE。若点G为点D关于BE的对称 点，连接DG并延长交BC延长线于点F,连接BG,则FG (第16题图) 2025学年第二学期九年级学情调查 第3页共10页 7W13 13 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分8分)计算：2V2--v8-（V2。 解：原式=2√2-2-2√2-2=-4 …8分 5x-2>3(x+1) 18.（本小题满分8分)解不等式组： -s7-3 解：解不等式①，得x心 2 解不等式②，得x≤4 2 <x≤4。 …8分 19.(本小题满分8分)随着人工智能的快速发展，初中生使用A1大模型辅助学习快速 普及，并呈现出多样化趋势。某中学为了解本校学生日常使用A虹大模型辅助学习次数的 情况，随机抽取部分学生进行 条形统计图 扇形统计图 人数， 问卷调查，按每周使用次数(x 20 次)分为四组（A:x<15:B: 15 15≤x<20:C:20≤x<25: C10% B D:x≥25)，根据调查结果， m% 绘制了如下尚不完整的条形 B C D 组别 统计图和扇形统计图。 (第19题图) 根据以上信息，解答下列问题 (1)本次抽取的学生人数为▲人， 扇形统计图中m=▲%。 (2)求D组的人数，并补全条形统计图。 (3)若该校共有1200名学生，估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有多少人。 解：（1)50,40 …4分 (2)D组人数：50-10-一20一5=15（人)，略 …6分 (3)1200x15+5=480(人) …8分 50 2025学年第二学期九年级学情调查 第4页共10页 20.(本小题满分8分)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E为BC边一点， DE交AC于点F,∠AFD=2∠DAF,连接BF。 (1)求证：△DOF为等腰三角形。 (2)若F是OC中点，AC=5,AD=4,求BF的长。 (I)证明：在矩形ABCD中，AC=BD。 因为OA=二AC,OD=二BD, (第20题图) 所以OA=OD。 所以∠DAO=∠ADO, 所以∠DOC=∠DAO+∠ADO=2∠DAO。 因为∠AFD=2∠DAF, 所以∠AFD=∠DOC。 所以△DOF为等腰三角形。 …4分 (2)在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AC=5,AD=4, 由勾股定理得CD=3。 因为△DOF为等腰三角形中DO=DF,矩形ABCD中，OB=二BD=OD, 所以OB=FD。 因为∠AFD=∠DOC, 所以∠BOF=∠DFC。 因为F是OC中点， 所以OF=FC。 所以△BOF≌△DFC。 所以BF=DC=3。 …8分 21.(本小题满分8分) （1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ①1×2×3×4+1=52 ②2×3×4×5+1=112 ③3×4×5×6+1=192 ④4×5X6×7+1=▲_。 (2)思考探究：设n为正整数， ①用含n的整式表示第n个算式为n(n+1)(n+2)n+3)十1=▲ ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方。 2025学年第二学期九年级学情调查 第5页共10页 小明的部分证明过程如下： 证明：原式=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)n2+3n+2)+1 设M=n2+3n,则原式=M(M+2)十1… 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整。 (3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于1092，求四个正整数中最小的整数。 解：(1)292： …1分 (2)①(n2+3n+1)2: …2分 ②整体思想（换元思想等） …3分 原式=MM+2)+1=MP+2M什1=(M+1)2=(2+3n+1)2 …5分 (3)设四个正整数中最小的整数为x,则x(x+1)x+2)x+3)+1=1092, 即(x2+3x+1)2=1092 x是正整数， 所以x2+3x+1=109,解得x=9,x=一12（舍去）。 答：四个正整数中最小的整数是9。 …8分 22.（本小题满分10分)定义：若一个三角形存在两个内角之差为90°，则成这个三角形 为“差直角三角形”。例如，在△ABC中，∠A=110°，∠B=20°，∠C=50°，满足∠A 一∠B=90°，所以△ABC是“差直角三角形”。 (1)若△ABC是差直角三角形，∠A=120°，则sinB的值为 ▲ (2)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的平分线，求证：△ABD是差直 角三角形。 3》如图2，在△1BC中，8=4C,BC=8,mB=子，点D是边AB上一动点(B0 CD),若△ABD是差直角三角形，求AD的长度。 B D B 图1 (第22题图) 图2 2025学年第二学期九年级学情调查 第6页共10页 解：(1)。 …2分 (2)因为AD是△ABC的平分线， 所以∠BAD=∠CAD, ,∠BAD=∠C+∠CAD=90°+∠CAD, ∴.∠BDA=90°+∠BAD,即∠BDA-∠BAD=90°， ∴.△ABD是差直角三角形。 …5分 (3)作AELBC于E,因为AB=4C,BC=8,所以BE=BC=4。 2 3.AE3 :在R△ABE中，anB=4,六4=4 =二，解得AE=3, ∴.在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=5。 如图2，当∠ADB-∠ABD=90°时，∠ADF=∠ADB-∠BDF=∠ADB-90°=∠ABD, 因为∠BMD=∠DAB,所以△AD∽△ABD,所以AD-DF A AB BD .Rt△BDF中，tanB= 3·AD-3 4’ 4,解得，4D=15 5= B D (或证明∠DAE=∠B,利用三角函数求解) E 如图2，作DF⊥BC交AB于D,当∠ADB一∠BAD=90°时，∠ADF=∠ADB一∠BDF =∠ADB-90°=∠BAD, 所以DF=DA。 :Rt△BDF中，tanB= DF 3 ,.DF:BD:BF=3:4:5。 DB 4 易求BD= ,所以DE专由勾股定理得0=35 …10分 2 2 23.（本小题满分10分)已知二次函数y=ax2+bx十c（a,b,c为常数)的图象与y轴 交于点(0，一1)，且过点(2，一1)。 (1)求a与b的关系式。 (2)若a<0,当一1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值。 (3)在(2)的条件下，若点M(t,m),点N（t+1,n)两点在该函数图象上，且-一9 <n≤m,求1的取值范围。 解：（1)因为函数图象经过(0，一1)，(2，一1)， 所以对称轴为直线x=1, 2025学年第二学期九年级学情调查 第7页共10页 所以-二b=1,则2a+6=0。 …2分 2a (2)因为函数图象经过(0，一1)，则c=一1，由（1)可知y=ax2一2ax一1 因为a<0,且对称轴直线x=1在一1≤x≤4内，且|一1一川<4-1， 所以当x=1时，y=a一2a一1=一a-1的值最大， 当x=4时，y=16a一8a一1=8a-1的值最小， 因为函数y的最大值与最小值之差为9， 所以(-a-1)-(8a-1)=9,解得a=-1。 …6分 (3)由(2)得y=一x2+2x-1, 令y=-9,得-x2+2x一1=-9，解得x=一2，a=4。 当-9<n时，-2<1+1<4，即-3<1<3， 当m≤m时，++1≥1，即≥， 2 2 :1 ≤1<3。 …10分 2 24.（本小题满分12分)如图，CD是⊙O的切线，D是直径AB延长线上的一点，连结 AC、BC,设∠A=a(0°<a<45°)。 (1)若a=20°，求∠D。 (2)延长BC至E,使BC=CE,过点E作AB的垂线，分别交AC、AB于点F,H。 1 ①若tana=二，直径AB=I0,求EH的长。 2 ②求证： SAEFC=1-tan2a。 SABCD E A 图1 图2 (第24题图) 解：(1)连接OC,因为CD是⊙O的切线， 2025学年第二学期九年级学情调查 第8页共10页 所以OC⊥CD, 所以∠OCD=90°。 因为∠A=20°， 所以∠COB=2∠CAB=40°。 所以∠D=90°-40°=50°。 …4分 (2)因为AB是直径， 所以∠ACB=90°。 因为R△MBC中，ana=2,AB=I0, 易求BC=2√5,4C=4V5。 因为BC=CE, 所以EB=BC+CE=2BC=4√5。 因为EH⊥AB, 所以∠EHB=90°。 因为∠E+∠EBH=90°，∠A+∠CBA=90°， 所以∠E=∠A。 所以△EHB∽△ACB, 所以EH、EB 即EH-4w5 解得EH=8。 …8分 AC AB 4W510 (3)因为∠E=∠A,∠ECF=∠ACB, 所以△EFC∽△ABC, 因为BC=CE, 所以SBc -tan'a. 所以SaE=SaAm·tan2ao 因为∠OCD=∠ACB=90°， 所以∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°， 所以∠BCD=∠OCA, 因为OA=OC, 所以∠OAC=∠OCA, 2025学年第二学期九年级学情调查 第9页共10页 所以∠BCD=∠OAC。 因为∠D=∠D,∠BCD=∠ACB, 所以△BCD∽△CAD, 所以 SAPCD 2 BC =tan2u。 SACAD CA 所以SABCD=SACAD·tan2a。 所以SCD= SABCD 一= Sacp'tan2a tan2a SAABC SACAD-SaBCD SAcAp-SacADtan2a 1-tan2a tana 所以SABCD=S△ABC·1 1-tana 所以 tan2c=l-tan2a。 …12分 S ABCD tan2a 1-tan2a 2025学年第二学期九年级学情调查 第10页共10页