上海市格致中学20252026学年高一下学期数学期中复习卷（四）

**基本信息** 高一（下）期中复习卷，覆盖函数、数列、三角等核心模块，通过基础题（函数单调性）、能力题（解三角形）及创新题（新定义“函数”），梯度考查数学抽象、运算推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|函数单调性（1）、等差数列（3）、解三角形（9）|基础巩固，注重概念理解与基本运算| |选择题|4/18|数学归纳法（13）、充要条件（14）、三角函数图像（15）|辨析性强，考查逻辑推理与知识辨析| |解答题|5/78|应用题（18鱼塘设计）、新定义“函数”（21）、数列综合（19）|综合应用，突出数学建模与创新探究，贴合高考命题趋势|

2028届高一（下）期中复习卷（四） 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 函数的单调递减区间是__________． 2. 若，则______． 3. 记为等差数列的前n项和，若，则________ 4. 函数（其中）为奇函数，则____________； 5. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 6. 若是无穷等比数列，首项，公比，则各项的和 7. 已知，则的值为______________； 8. 已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 9. 锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3且b2＋c2-bc＝9，则b的取值范围是________． 10. 设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为 . 11. 已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 12. 已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时， 取得最大值，则的值为________ 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13.用数学归纳法证明对任意的自然数都成立,则的最小值为（ C ） A. B. C. D. 14. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 已知下列命题，其中假命题有（ ） A. 要得到函数的图像，需把函数的图像上所有点向左平行移动个单位长度． B. 已知函数，当时，函数的最小值为． C. 已知角、、是锐角的三个内角，则点在第二象限． D. 对任意角均有：． 16. 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的， 均有恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三.解答题 17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. （1）若，求：A的大小； （2）若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 18. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 19. 设数列，及函数（），（）. （1）若等比数列满足，，，求数列的前（）项和； （2）已知等差数列满足，，（、均为常数，且），（），试求实数对，使得成等比数列. 20. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一（下）期中复习卷（四） 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 函数的单调递减区间是__________． 【答案】； 2. 若，则______． 【答案】 3. 记为等差数列的前n项和，若，则________ 【答案】 4. 函数（其中）为奇函数，则____________； 【答案】 5. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 6. 若是无穷等比数列，首项，公比，则各项的和 【答案】 7. 已知，则的值为______________； 【答案】 8. 已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 【答案】 9. 锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3且b2＋c2-bc＝9，则b的取值范围是________． 【详解】因为且，，故， 因为为锐角三角形，则，， 由正弦定理，因为， 所以由可得， 故的取值范围是. 10. 设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为 . 【答案】9. 11. 已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 12. 已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时， 取得最大值，则的值为____21_____ 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13.用数学归纳法证明对任意的自然数都成立,则的最小值为（ C ） A. B. C. D. 14. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【详解】在中，等价为， 若，则，由正弦定理得成立，即必要性成立， 若，则由正弦定理得，即成立，即充分性成立， 则“”是“”的充要条件.故选：C 15. 已知下列命题，其中假命题有（ ） A. 要得到函数的图像，需把函数的图像上所有点向左平行移动个单位长度． B. 已知函数，当时，函数的最小值为． C. 已知角、、是锐角的三个内角，则点在第二象限． D. 对任意角均有：． 【解】对于A，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度， 得的图象，而， 即得到函数的图象，故A正确； 对于B，，，而，， 所以当时，函数的最小值为，故B正确； 对于C，在锐角中，，且， 因此， 而正弦函数在上单调递增，则，即，于是， 同理，即，所以点在第四象限， 故C错误； 对于D， ，故D正确.故选：C 16. 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的， 均有恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 为奇数时，，易证单调递减，且，所以； 为偶数时，，易证单调递增，且，所以； 所以的最大值为，最小值为， 考虑到在上单调递增， 所以， 所以的最小值为，选. 三.解答题 17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. （1）若，求：A的大小； （2）若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，，则，又，所以. 【小问2详解】 由边上的高等于，得，即， 由余弦定理得，于是， 则，， 由，得，因此，， 所以的取值范围为. 18. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【小问1详解】 在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 【小问2详解】 由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，，则 ， 则从而则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 19. 设数列，及函数（），（）. （1）若等比数列满足，，，求数列的前（）项和； （2）已知等差数列满足，，（、均为常数，且），（），试求实数对，使得成等比数列. 【答案】（1）；（2）. 20. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【1详解】 ， 由， 所以函数的单调递减区间为； 【2详解】 因为不等式在上恒成立，所以， 因为，所以，所以， 所以，即； 【3详解】 ，由，得， 因为函数在上恰有3个零点，所以，解得， 所以的取值范围为. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【小问1详解】 不是“函数”，理由如下： ， ，， 则，故不是“函数”； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因，所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，，则， 当，即时，函数单调递增，经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $