精品解析：2026年甘肃渭源县麻家集中学初中学业水平考试押题卷（一）数学

2026年甘肃省初中学业水平考试押题卷（一）数学 考生注意：本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 某市2026年春节连续四天的天气预报信息如表所示，其中日温差最大的一天是（ ） 2月16日（除夕） 2月17日（春节） 2月18日（初二） 2月19日（初三） 晴 西北风级 多云 北风级 阴 北风级 阴 北风级 A. 2月16日 B. 2月17日 C. 2月18日 D. 2月19日 2. 鸡心杯的造型为敞口，口以下内收，瘦底，圈足．因杯心下凹呈深圆涡状，底心凸起鸡心形而得名．如图是一款鸡心杯的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（ ） A. 将A向右平移5个单位 B. 将B向右平移5个单位 C. 将C向右平移4个单位 D. 将C向右平移2个单位 7. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米． A. B. C. D. 8. 如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）滑轮之间没有滑动，拉动绳索使定滑轮上一点绕定滑轮中心顺时针旋转，则物体上升的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点与点都不重合），现将沿直线折叠，使点落到点处；过点作的角平分线交于点．设，，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 10. 分解因式：______． 11. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 12. 计算：______． 13. 如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则______． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的边长为______． 15. 如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点．若，，则的长为______． 三、解答题：本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根木杆，在太阳光照射下，木杆会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．如图2是在地测算太阳光与木杆所成夹角的示意图，在图中作出影子；（按如下步骤作图，保留作图痕迹）． （1）延长至点，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （3）连接并延长，与直线交于点，则线段可以看成是木杆在地面上形成的影子． 20. 陕西拥有丰富的传统文化，华县皮影、凤翔泥塑、陕北民歌是其中极具特色的代表．某校九年级（1）、（2）两班各4名同学对这三项传统文化中的一项特别熟悉，具体情况如下表： 华县皮影 凤翔泥塑 陕北民歌 九（1）班 1 2 1 九（2）班 2 1 1 （1）若从九（1）班4名同学中随机抽取一名，则抽到对“华县皮影”特别熟悉的同学的概率为______； （2）若从两班各4名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对“凤翔泥塑”特别熟悉的同学的概率． 21. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 四、解答题：本大题共5小题，共39分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 为了了解初中生对“健康饮食”知识的掌握情况，促进同学们养成良好的饮食习惯，某校在七、八年级开展了“健康饮食知识竞赛”活动．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为整数，满分分，分及分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级抽取的名学生的竞赛成绩为：，． 八年级抽取的名学生的竞赛成绩条形统计图如图： 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩的平均数、众数、中位数、分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的_________，_________，_________； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“健康饮食”知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级各有名学生参加了此次竞赛活动，估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩合格的学生人数一共是多少？ 23. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C的坐标为，求三角形的面积． 24. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 26. 如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线的表达式： （2）请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： （3）如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省初中学业水平考试押题卷（一）数学 考生注意：本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 某市2026年春节连续四天的天气预报信息如表所示，其中日温差最大的一天是（ ） 2月16日（除夕） 2月17日（春节） 2月18日（初二） 2月19日（初三） 晴 西北风级 多云 北风级 阴 北风级 阴 北风级 A. 2月16日 B. 2月17日 C. 2月18日 D. 2月19日 【答案】C 【解析】 【分析】日温差为当日最高气温减去当日最低气温，计算出四天的日温差后比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 日温差最高气温最低气温 ∴ 分别计算四天的日温差： 2月16日：， 2月17日：， 2月18日：， 2月19日：， ∵ ， ∴ 2月18日的日温差最大． 2. 鸡心杯的造型为敞口，口以下内收，瘦底，圈足．因杯心下凹呈深圆涡状，底心凸起鸡心形而得名．如图是一款鸡心杯的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．根据俯视图的定义判断即可． 【详解】解：它的俯视图如图所示： ． 故选：B． 3. 下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 4. 随着时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：如图： 两平面镜平行， ， 由光的反射定律可知， ． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法法则，零指数幂，幂的乘方，合并同类项进行运算即可判断，熟练掌握以上运算规则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 6. 四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（ ） A. 将A向右平移5个单位 B. 将B向右平移5个单位 C. 将C向右平移4个单位 D. 将C向右平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换，以及图形的平移，关键是掌握关于y轴对称点的坐标特点：纵不变，横相反． 根据关于y轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：将A向右平移5个单位，可得，能使四个“中国结”关于y轴对称． 故选：A 7. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，可得结论． 【详解】解：为边的黄金分割点，即 米 米 故选B． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是记住黄金分割的定义． 8. 如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）滑轮之间没有滑动，拉动绳索使定滑轮上一点绕定滑轮中心顺时针旋转，则物体上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，定滑轮不省力也不省距，而动滑轮省力但是费距，故点P转动的距离是物体上升距离的2倍，据此根据弧长计算公式求出点P转动的距离即可得到答案． 【详解】解：， ∴物体上升的高度为． 故选：C 9. 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点与点都不重合），现将沿直线折叠，使点落到点处；过点作的角平分线交于点．设，，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，熟练的建立二次函数的解析式是解本题的关键，先证明，再利用相似三角形的性质建立二次函数，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，， ∵将沿直线折叠，使点落到点处；过点作的角平分线交于点， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 则，y是x的二次函数，且开口向下． 故选B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 11. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题关键． 根据随的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得：， ∵k为正整数，则的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，通过平行四边形性质将圆心角与圆周角关联并建立方程是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质和圆周角定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．根据菱形的对角线互相平分且垂直得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：菱形中，，， ，， ， 则该菱形的边长为， 故答案为：． 15. 如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，则∠CGE＝90°，根据等角的余弦相等可得CG的长，进而可得结论． 【详解】解：∵正方形ABCD中，BC＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF， ∴∠CBE＋∠CEB＝∠ECG＋∠CEB＝90°， ∴∠CGE＝90°， ∴cos∠CBE＝cos∠ECG＝， ∴， ∴CG＝， ∴GF＝CF−CG＝5−＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘除运算性质，先算乘除，后算加减即可得到结果． 【详解】原式 ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】解：解不等式得； 解不等式得； 故不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，  【解析】 【详解】先运用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式去小括号，中括号内合并同类项，再计算乘法去中括号，最后代入的值计算即可． 【点睛】解：原式   ． 把，代入得， 原式． 19. 《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根木杆，在太阳光照射下，木杆会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．如图2是在地测算太阳光与木杆所成夹角的示意图，在图中作出影子；（按如下步骤作图，保留作图痕迹）． （1）延长至点，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （3）连接并延长，与直线交于点，则线段可以看成是木杆在地面上形成的影子． 【答案】（1）如图所示 （2）如图所示 （3）如图所示 【解析】 【分析】本题考查的是依据尺规作图步骤，理解如何作出木杆影子，通过一系列作图步骤构造出与影子形成相关的几何关系，把实际“立竿测影”的情境转化为几何作图问题，利用圆规和直尺的基本作图方法来实现影子的绘制． 本题就是用尺规作图的方法，通过定长、构造交点等操作，作出符合“立竿测影”原理的影子线段，把实际测量情境转化为几何作图流程，考查对尺规基本作图和实际应用几何转化的理解． 【小问1详解】 延长至点，以为圆心，任意长为半径作弧交、于、（在、上且到距离相等 ），如图所示： 【小问2详解】 分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，根据“线段垂直平分线”原理，两弧交点，如图所示： 【小问3详解】 连接并延长，与直线交于点，则线段可看成是木杆在地面上形成的影子，如图所示： 20. 陕西拥有丰富的传统文化，华县皮影、凤翔泥塑、陕北民歌是其中极具特色的代表．某校九年级（1）、（2）两班各4名同学对这三项传统文化中的一项特别熟悉，具体情况如下表： 华县皮影 凤翔泥塑 陕北民歌 九（1）班 1 2 1 九（2）班 2 1 1 （1）若从九（1）班4名同学中随机抽取一名，则抽到对“华县皮影”特别熟悉的同学的概率为______； （2）若从两班各4名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对“凤翔泥塑”特别熟悉的同学的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解∶ 从九（1）班4名同学中随机抽取一名，则抽到对“华县皮影”特别熟悉的同学的概率为， 故答案为∶； 【小问2详解】 解∶设（1）班中特别熟悉华县皮影、凤翔泥塑、陕北民歌的同学分别用A、、、C表示，（2）班中特别熟悉华县皮影、凤翔泥塑、陕北民歌的同学分别用、、b、c表示． 画树状图为： 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中都抽到对“凤翔泥塑”特别熟悉的同学的情况有2种，所以都抽到对“凤翔泥塑”特别熟悉的同学的概率为． 21. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）度 （2）此时手绢端点与舞者距离在规定范围内，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 四、解答题：本大题共5小题，共39分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 为了了解初中生对“健康饮食”知识的掌握情况，促进同学们养成良好的饮食习惯，某校在七、八年级开展了“健康饮食知识竞赛”活动．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为整数，满分分，分及分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级抽取的名学生的竞赛成绩为：，． 八年级抽取的名学生的竞赛成绩条形统计图如图： 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩的平均数、众数、中位数、分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的_________，_________，_________； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“健康饮食”知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级各有名学生参加了此次竞赛活动，估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩合格的学生人数一共是多少？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生较好，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、平均数、众数、中位数，用样本百分数估计总体百分数． 七年级名学生竞赛成绩出现次数最多的是分，所以七年级的众数是；八年级学生成绩的第名是分，第名是分，所以八年级学生的中位数是；由条形统计图可知八年级学生成绩分及以上的有人，所占百分比为； 根据七、八年级学生的平均分、中位数、众数、分以上学生占的百分比进比较说明； 用样本百分数估计总体百分数，计算达到合格的总人数． 【小问1详解】 解：七年级名学生竞赛成绩出现次数最多的是分， 七年级学生竞赛成绩的众数是， 由条形统计图可知，把八年级学生成绩从小到大排列，其中第名是分，第名是分， 八年级学生成绩的中位数是分， 八年级学生成绩分及以上的人数有人， 八年级学生成绩分及以上人数所占百分比为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：七、八年级学生的平均分相等，八年级学生的众数和中位数比七年级学生的高，八年级学生成绩分及以上的人数所占的百分比也比七年级学生多， 八年级学生掌握“健康饮食”知识较好； 【小问3详解】 解：七年级抽查的名学生中合格的人数占的百分比是， 八年级抽查的名学生中合格的人数占的百分比是， 估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩合格的学生人数一共是人， 答：，估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩合格的学生人数一共是人． 23. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C的坐标为，求三角形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）反比例函数为：， 求解，即，如图，连接，进一步即可求得答案． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点C的坐标为， ∴， ∴反比例函数为：， ∵， ∴，即， 如图，连接， ∴三角形的面积为：． 24. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到，求得，过点B作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． （1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可求解周长； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线的表达式： （2）请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： （3）如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为（），可得点E的坐标为，点F的坐标为，由，可得，解得，即可求解； （3）在上方作．使得，，连接，证明，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， ∴． ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 设点P的坐标为（）， 结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得，． 如图，在上方作．使得，，连接， ∵点B的坐标为，轴， ∴，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴（当M，Q，B三点共线时取等号）， ∴的最小值为的长， ∵， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $