精品解析：2025年甘肃省定西市渭源县联考九年级中考第一次模拟数学试题

甘肃省定西市渭源县2024-2025年渭源县中考数学模拟试题 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，由绝对值的意义可得，再根据相反数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 2. 某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．根据圆柱的侧面展开图得出答案，两个底面为圆，侧面展开为长方形． 【详解】解：如图所示：这个几何体是圆柱． 故选：D． 3. 如图，直线a与b相交，若 ，则等于（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对顶角，邻补角的概念，解答的关键是对相应的知识的掌握． 由对顶角相等可得，从而可求的度数，再利用邻补角的定义即可求的度数． 【详解】解：直线a与b相交，， 由图可知，， ， ， 故选：D． 4. 已知，，则等于（     ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5. 如图，在平行四边形中， ，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，，再结合 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：B 6. 如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意连接，则，，利用勾股定理即可求得，最后由完成解答． 【详解】解：连接， 则， ∴， 由勾股定理得： ∴ 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，一次函数的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，求出，，勾股定理，根据角平分线的性质得出，设，则，根据等积法得出求出t的值，即可得出答案． 【详解】解：过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示： 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴，， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得， ∴， 把代入得． 故选：A． 8. 交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了求概率．用1减去他在路口遇到绿灯和黄灯的概率，即可求解． 【详解】解：， 即他遇到红灯的概率为． 故选：A 9. 小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（ ） A. 向北直走，再向西直走 B. 向北直走，再向西直走 C. 向北直走，再向西直走 D. 向南直走，再向西直走 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据题意，画出坐标系，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系， 由图可知：小文向北直走，再向西直走就能到游乐园门口了； 故选A． 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键． 结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为，即，由E为的中点，得到，当点P运动到点D处时，运动路程为，得，由为中位线，求出，根据的面积s为，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出长，求出 【详解】解：结合图形得， 当点P运动到点E处时，运动路程为，即， 为的中点， ， 当点P运动到点D处时，运动路程为， ， D，E分别是，的中点， 为中位线， ， 此时的面积s为，即， ， ， ， ，即 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将代入求出的值，得到点的坐标，代入双曲线函数解析式中即可得到答案． 【详解】解：将代入， ， 即直线与双曲线的一个交点的坐标为， 将代入， ， ． 故答案为：． 13. 若m是方程的根，则式子的值为________ 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及整体代入思想的应用，难度中等，熟练掌握整体代入思想是解题关键． 利用整体思想解答即可． 【详解】解：∵m是方程的根， 把代入，得， 则． 所以． 故答案为：2029． 14. 如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为______ 【答案】6米## 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键． 如图，由，由此得到，再由米，可得米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故答案为：6米． 15. 东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为______ cm（碗的厚度不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，用待系数法求出函数解析式是解题的关键. 设抛物线解析式为，用待系数法求出函数解析式，当汤面高度为时，代入解析式计算即可得到答案. 【详解】解：设抛物线解析式为， 根据题意得， ， ， 抛物线解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降cm时，汤面高度为， ， ， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：. 16. 如图，在矩形中，，，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得线段．在边上取点，使，连接交延长线于点，则线段长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，根据旋转的性质可知：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，，从而可求，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作的延长线于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 根据旋转的性质可知：，， ，， ， 在和中， ， ，， ， ，，， 在和中， ， 又， ， ． 故答案为： ． 三、解答题：本大题共6小题，共32分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键． 根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解分式方程 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，化分式方程为整式方程，找出最简公分母和验根是解题的关键． 由题意得，先通分，再去分母，化分式方程为整式方程，求整式方程的解，验根，写出分式方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，，分母不为0，不是增根， 所以是原分式方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的性质，代入求值是关键． 根据分式的混合运算化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴把代入得：原式． 20. 如图，是的直径，D为上的一点，E为的中点，点C在的延长线上，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形： （1）连接，等边对等角，得到，直径得到，进而得到，等量代换，推出，即可得证； （2）连接，证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 小问1详解】 解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 连接，则：，， ∵E为的中点， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1）、、 （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多， 众数， 乙款软件、组人数和为%%人， 乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、， 中位数， 乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即， 故答案为：、、； 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意用户总人数为名； 【小问3详解】 画树状图： 共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种， 所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 22. 在学习了测高相关知识后，小明和小丽想利用所学知识测量学校一棵大树的高度，如图所示，大树的影子落在 处，小明站在影子顶端C 处，此时小丽测量小明影子长度，小丽将测倾器插在 D处测得点A 的仰角( ．已知小明的身高，测倾器的高度， 点 B、C、D在同一直线上，， 求大树的高度． (结果精确到．参考数据： ) 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点F作于H，交于G，证明四边形和四边形都是矩形，得到，，，由太阳光是平行光线，得到，进而推出，设，则，解得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于H，交于G， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵太阳光是平行光线， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴大树的高度约为． 四、解答题：本大题共5小题，共40分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共20个，半盔型进价是180元，全盔型进价是210元，半盔型售价为230元，全盔型售价为250元． （1）若该店第一次购买两种头盔共花了3840元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ （2）第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了m元；全盔型售价比第一次降低了m元，结果半盔型获得260元的利润和全盔型获得190元的利润售卖数量相同，求m的值． 【答案】（1）购买半盔型12个，全盔型8个 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购买半盔型x个，则全盔型个，由此列式求解即可； （2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设购买半盔型x个，则全盔型个， 由题意得：， 解得， ； 答：半盔型购买了12个，全盔型购买了个； 【小问2详解】 解：第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为， 全盔型降价后，一个全盔型的获利为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， ∴m的值2． 24. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，说明是切线的理由； （3）若半径为3，，求的长． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的作法与证明，还涉及切线的性质、线段垂直平分线的性质、圆的性质、勾股定理等，解题的关键是熟知圆的相关性质． （1）根据题干提供的方法作出的切线即可． （2）依据直径所对的圆周角是直角可推得半径，则即为的切线． （3）连接．先由勾股定理求得的长，再由线段垂直平分线的性质可设，则，然后利用中的三边关系可求得x的值即可． 【小问1详解】 画图：如图所示． 【小问2详解】 证明：由题意，得：为的直径， ∴． ∴． ∵为的半径， ∴直线为的切线； 【小问3详解】 解：连接OD． ∵，， 在中，． 由作图可知：为的垂直平分线， ∴． 设．，则 在中，， ∴． 解得． 即：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】（1）把代入，可得，把代入，可得反比例函数的表达式为，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标； （2）观察函数图象，由交点坐标即可求解． 【小问1详解】 （1）把代入，可得： ∴ 把代入，可得： ∴反比例函数的表达式为． ∵点B与点A关于原点对称 ∴． 【小问2详解】 由A、B点的坐标，根据图象可知：的解集是或． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，解题的关键时掌握待定系数法求函数解析式，会求一次函数和反比例函数的交点坐标，会结合图象求不等式的解集． 26. 【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）①；②；③；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． （1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； ②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果； ③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，．证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是正方形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，． ， 四边形是平行四边形， ，． ， 在和中， ， ； ，， 设，，则，． 在中，， 在中，， ． 在中，， ． ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ． 27. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）面积的最大值为， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点作轴，交直线与点，设，则，则，然后依据，列出的面积与的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为，先证明为等腰直角三角形，然后根据和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的交点坐标是、， 设该抛物线解析式为， 将点代入函数解析式代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为：， 联立方程组：， 解得或， ∵， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 解：如图所示： 过点作轴，交于点， 设，则， ， ， 当时，面积的最大，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：设直线与轴相交于点，则， ∵过点Q作轴于点F，交抛物线于点G， ∴设点坐标为，则点点坐标为， ， ， ， 轴， ， 若为直角三角形，则是等腰直角三角形， ①当时，过点作于， ，，， ，解得：（舍去）或， ； ②当，则， ， 解得（舍去）或， ； 综上所述，当为直角三角形时，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 甘肃省定西市渭源县2024-2025年渭源县中考数学模拟试题 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（ ） A B. C. D. 2. 某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，直线a与b相交，若 ，则等于（     ） A. B. C. D. 4. 已知，，则等于（     ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 7 5. 如图，在平行四边形中， ，则的度数为（       ） A B. C. D. 6. 如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 8. 交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（       ） A. B. C. D. 9. 小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（ ） A. 向北直走，再向西直走 B. 向北直走，再向西直走 C. 向北直走，再向西直走 D. 向南直走，再向西直走 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解__________． 12. 已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则的值为________ 13. 若m是方程的根，则式子的值为________ 14. 如图，一棵垂直于地面树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为______ 15. 东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为______ cm（碗的厚度不计）． 16. 如图，在矩形中，，，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得线段．在边上取点，使，连接交延长线于点，则线段长为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共32分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解分式方程 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，是的直径，D为上的一点，E为的中点，点C在的延长线上，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 21. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 22. 在学习了测高相关知识后，小明和小丽想利用所学知识测量学校一棵大树的高度，如图所示，大树的影子落在 处，小明站在影子顶端C 处，此时小丽测量小明影子长度，小丽将测倾器插在 D处测得点A 的仰角( ．已知小明的身高，测倾器的高度， 点 B、C、D在同一直线上，， 求大树的高度． (结果精确到．参考数据： ) 四、解答题：本大题共5小题，共40分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共20个，半盔型进价是180元，全盔型进价是210元，半盔型售价为230元，全盔型售价为250元． （1）若该店第一次购买两种头盔共花了3840元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ （2）第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了m元；全盔型售价比第一次降低了m元，结果半盔型获得260元的利润和全盔型获得190元的利润售卖数量相同，求m的值． 24. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，说明是切线的理由； （3）若半径为3，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集． 26. 【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 27. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$