精品解析：贵州铜仁市碧江区2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

数学 同学，你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 小宇和小恒各收集了一些邮票，已知小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚，则小宇收集的邮票数量为（ ） A. B. C. D. 4. 某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 5. 在单词“”中随机选择一个字母，选到的字母是“”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（ ） A. 以上，以下 B. 以上，以下 C. 以上，以下 D. 以上，以下 9. 如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为（ ） A. 28 B. 48 C. 50 D. 120 10. “二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（ ） A. 芒种 B. 白露 C. 立冬 D. 惊蛰 11. 如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接交于点，连接．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 12. 如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（ ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. 计算结果是______． 14. 学完《概率的进一步认识》后，小敏为了知道池塘中鱼的数量，捕捞了条鱼进行标记后放回池塘．一周后，小敏又随机捕捞条鱼，发现有条鱼有标记，则小敏估计池塘中鱼的数量为________条． 15. 将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为x，“”的个数为y，写出y与x之间的函数关系式为________． 16. 已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________． 三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形） 17. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程： ①；②；③． 18. 为迎接3月14日国际数学日，某校举办了数学素养大赛，如表所示是八年级（1）班和（2）班前10名学生的成绩（单位：分）： （1）班 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85 （2）班 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90 表格中的数据可以用折线统计图直观展示，如图所示（不完整）． 请根据上述信息，解答下列问题： （1）请在图中作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图； （2）现要在同一个班中选出5名学生参加全区八年级数学素养团体大赛，并尽可能取得好成绩，请通过计算分析，确定应从哪个班级选拔更为合理； （3）参赛的5名同学中，有、两名男生，、、三名女生．若从中随机抽取两名同学担任团队的队长，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女担任队长的概率． 19. 如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． （1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； （2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 20. 如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，． （1）若，试求四边形的周长； （2）若与的夹角，求四边形的面积． 21. 贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． （1）求两车的速度； （2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 22. 如图1，小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头，图2为洗手盆及水龙头的示意图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．其相关数据，，，，，，点、、、、、、、均在同一平面内．（参考数据：，，） （1）水流和水池底面的夹角的度数是_________； （2）求落水点距水池边缘的距离的长度． 23. 如图，为的直径，点为上的一点，连接，点为的中点，过点分别作、的垂线，交于点、交的延长线于点，连接． （1）证明：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求图中阴影部分的面积． 24. 截至年，贵州省已建和在建的桥梁总数超万座，世界前座高桥中近半数位于贵州，贵州省被誉为“世界桥梁博物馆”．为了更好地研究桥梁的结构，某数学兴趣小组借助电脑绘图工具，绘制了一幅桥梁模拟图，如图所示，拱桥是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为，桥面与河面平行，，，以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求拱圈抛物线的函数关系式； （2）一艘露出水面高的航船能否在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度） （3）如图2，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔处设置根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为，求的值． 25. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则、、之间满足的数量关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，且，，请补全图形并求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 同学，你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过移项计算即可得到的值． 【详解】解： ∴移项可得． 2. 下列4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图B不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，所以符合题意； 因为图D不是轴对称图形，所以不符合题意． 3. 小宇和小恒各收集了一些邮票，已知小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚，则小宇收集的邮票数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据数量关系列代数式，按照题干描述的倍数和增量关系，直接写出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵已知小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚， ∴小恒邮票数量的3倍为，比3倍多2枚可表示为， ∴小宇收集的邮票数量为． 4. 某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴小明最终的跳远成绩是线段的长度． 5. 在单词“”中随机选择一个字母，选到的字母是“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的定义，数出总字母数和目标字母的个数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵单词“”共有5个字母，其中字母“”出现2次， 根据概率公式， ∴选到字母“”的概率为． 6. 若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】∵代数式在实数范围内有意义， ∴x+1≠0， 解得：x≠-1． 故选D． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 7. 如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方， 由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限． 故选：B． 8. 如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（ ） A. 以上，以下 B. 以上，以下 C. 以上，以下 D. 以上，以下 【答案】D 【解析】 【分析】根据“颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满，再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出”即可求解． 【详解】解：∵颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴颗相同的玻璃球的体积最多是：， ∴1颗玻璃球的体积最多是：， ∵颗相同的玻璃球的体积最少是， ∴1颗玻璃球的体积最少是：， ∴根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在以上，以下． 9. 如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为（ ） A. 28 B. 48 C. 50 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长度，再用面积公式计算就行． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 10. “二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（ ） A. 芒种 B. 白露 C. 立冬 D. 惊蛰 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长即可得到正确选项． 【详解】解：由图象可知： A：芒种白昼时长在14至15小时之间，故该选项符合题意； B：白露白昼时长在12至13小时之间，故该选项不符合题意； C：立冬白昼时长在10至11小时之间，故该选项不符合题意； D：惊蛰白昼时长是11小时，故该选项不符合题意 11. 如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接交于点，连接．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得是的垂直平分线，即点是中点，根据勾股定理求得的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ∴点是中点， ∴在中，根据勾股定理可得， ∴． 12. 如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（ ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②； 再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④ 即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，； 当时，， ∴，则④正确． 所以正确的有①③④，一共3个． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. 计算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 14. 学完《概率的进一步认识》后，小敏为了知道池塘中鱼的数量，捕捞了条鱼进行标记后放回池塘．一周后，小敏又随机捕捞条鱼，发现有条鱼有标记，则小敏估计池塘中鱼的数量为________条． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用频率估计概率，通过样本中标记鱼的频率估计总体中标记鱼的概率，根据比例关系建立方程求解池塘中鱼的总数． 【详解】解：设池塘中鱼的总数为条， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解． ∴小敏估计池塘中鱼的数量为条． 15. 将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为x，“”的个数为y，写出y与x之间的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数关系式、图形的变化类，分别写出3个图中x与y的值，找到它们的变化规律并判断函数类型，从而利用待定系数法求出其函数关系式即可． 【详解】解：图（1）中，； 图（2）中，； 图（3）中，， ∴x增加1，y增加2， ∴y与x之间是一次函数的关系， 设y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 16. 已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________． 【答案】 ①. 120 ②. 【解析】 【分析】可证明得到，则可证明，再根据即可求；点F的运动路径是以点O为圆心的，且，连接、、、，证明得到，，进而可得，在中，，由勾股定理求出，进而可求、，根据，可得当O、F、C三点共线时，线段的长最小． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； 如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的，且， 连接、、、． ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得或（舍）， 此时，， ∵点F在上运动，总有，即， ∴当O、F、C三点共线时，线段的长最小，最小值为． 三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形） 17. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程： ①；②；③． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别根据负整数指数幂、特殊三角函数值、零指数幂的运算法则计算即可； （2）①利用直接开平方法解方程；②利用因式分解法解方程；③利用公式法解方程． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：选①， 移项，得， 解得，； 选②， 分解因式，得， ∴或， ∴，； 选③， 这里，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 为迎接3月14日国际数学日，某校举办了数学素养大赛，如表所示是八年级（1）班和（2）班前10名学生的成绩（单位：分）： （1）班 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85 （2）班 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90 表格中的数据可以用折线统计图直观展示，如图所示（不完整）． 请根据上述信息，解答下列问题： （1）请在图中作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图； （2）现要在同一个班中选出5名学生参加全区八年级数学素养团体大赛，并尽可能取得好成绩，请通过计算分析，确定应从哪个班级选拔更为合理； （3）参赛的5名同学中，有、两名男生，、、三名女生．若从中随机抽取两名同学担任团队的队长，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女担任队长的概率． 【答案】（1）作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图如答图1所示． ； （2）应从（2）班选拔更为合理，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据各班前5名总成绩判断即可； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：（1）班前5名总成绩为（分）， （2）班前5名总成绩为（分）． ∵， ∴应从（2）班选拔更为合理； 【小问3详解】 解：画树状图如答图2所示． ∴共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种． ∴恰好抽到一男一女的概率为． 19. 如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． （1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； （2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【答案】（1）> （2） 【解析】 【分析】（1）将两点横坐标代入反比例函数，求出，，再根据比较大小； （2）先证得四边形是矩形，再说明，，然后根据四边形的面积为20，得出点A的坐标，求出k的值． 【小问1详解】 解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 即． 【小问2详解】 解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴、、， ∴，， ∵四边形的面积为20， ∴，解得， ∴， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 20. 如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，． （1）若，试求四边形的周长； （2）若与的夹角，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形． （1）先证明平行四边形为菱形，用勾股定理求出菱形的边长，即可求解； （2）过点作，垂足为点，先由求出的长度，再求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形， ∴，，． 在中， 由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的周长为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点，如图所示． ∵四边形为平行四边形， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． （1）求两车的速度； （2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 （2）我不赞同甲队同学的看法，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． 【小问2详解】 解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 22. 如图1，小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头，图2为洗手盆及水龙头的示意图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．其相关数据，，，，，，点、、、、、、、均在同一平面内．（参考数据：，，） （1）水流和水池底面的夹角的度数是_________； （2）求落水点距水池边缘的距离的长度． 【答案】（1） （2）落水点距水池边缘的距离的长度约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）由，即可求解； （2）过点作于点，交于点，则四边形为矩形，求出的值，证明，即可求出的值． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，交于点，如答图所示． 则四边形为矩形， ∴， ． 在中，，， ∴ ， ， ∴， ． 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， ∴在中， ， ∴ ． 答：落水点距水池边缘的距离的长度约为． 23. 如图，为的直径，点为上的一点，连接，点为的中点，过点分别作、的垂线，交于点、交的延长线于点，连接． （1）证明：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）与相切，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）推导出，得到是的角平分线，再根据角平分线的性质进行解答即可； （2）连接，推导出，得到，求出，则与相切，即可解答； （3）先求出，，得到 ， ，则图中阴影部分的面积为，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵点D为的中点， ∴， ∴． ∴是的角平分线． 又∵，， ∴． 【小问2详解】 解：与相切．理由如下： 如答图所示，连接． 由（1）知，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵是的半径， ∴与相切． 【小问3详解】 解：由（1）知， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ， ． ∴图中阴影部分的面积为． 24. 截至年，贵州省已建和在建的桥梁总数超万座，世界前座高桥中近半数位于贵州，贵州省被誉为“世界桥梁博物馆”．为了更好地研究桥梁的结构，某数学兴趣小组借助电脑绘图工具，绘制了一幅桥梁模拟图，如图所示，拱桥是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为，桥面与河面平行，，，以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求拱圈抛物线的函数关系式； （2）一艘露出水面高的航船能否在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度） （3）如图2，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔处设置根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为，求的值． 【答案】（1） （2）一艘露出水面高的航船不能在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥，见解析 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标，再设顶点式求解即可； （2）分别过点、作、，垂足分别为点、点，根据对称性求出点的横坐标，进而求出点的纵坐标，再把的长度与比较即可求解； （3）先由得到从左起第4根垂直吊杆在抛物线的对称轴上，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线顶点坐标为， 设抛物线的关系式为， 将代入关系式，得， ∴， ∴拱圈抛物线的函数关系式为或； 【小问2详解】 解：一艘露出水面高的航船不能在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥． 理由如下：分别过点、作、，垂足分别为点、点，如答图所示， 根据对称性可知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴这艘航船不能在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴从左起第4根垂直吊杆在抛物线的对称轴上． ①当，即时， 由题意得，， 解得． 即从左起第3根与第4根吊杆高度差为． ②当时，根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等， ∴第4根与第5根的高度差也为米． ∴． 综上所述，的值为3或4． 25. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则、、之间满足的数量关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，且，，请补全图形并求的长度． 【答案】（1） （2） （3）图见解析，CE的长度为或 【解析】 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得，得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得，即可得出答案； （3）连接交于点，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【小问1详解】 解：， 连接，如答图1所示． ∵ ， ∴菱形是正方形． 又∵， ∴点为正方形对角线的交点． ∴，，． ∵菱形与菱形形状、大小完全相同， ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴ ． 【小问2详解】 解：如答图2所示，过点作 ，交于点G． ∵四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ∴ ， ． ∴和均为等边三角形． ∴ ，． ∵， ∴． ∴ 是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵ ， ∴． 【小问3详解】 解：连接，连接交于点，如答图3所示． ∵四边形是菱形， ∴，即． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 当点在线段上时，如答图3所示，则． ∴． 由（2）可知． ∴ ． ∴，∴． 当点在线段上时，连接，如答图4所示， 则． ∴． ∴ ． ∴． 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $